2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市順邁高級中學高一（下）期中

數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

復數(shù)z=2-i的虛部是（）

不等式2久2一y一1<0的解集是（

A.(-1,∣)D.(-2,1)

復數(shù)1++在復平面內(nèi)對應的點在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

已知COSa=?,α是第一象限角,貝!]sin(Tr+α)的值為(

若一個圓錐的底面半徑為1,母線長為2尸，則圓錐的體積是（）

若i是虛數(shù)單位，復數(shù)Z滿足（1一i）z=1,則∣4z-3∣=（

C.√^^6D.√^7

已知長方體的長、寬、高分別為1,1,2,并且其頂點都在球。的球面上，則球。的體積

B.√-6πC.2y∏π

8.國慶期間我校數(shù)學興趣小組的同學開展了測量校園旗桿高度的活動，如圖所示，在操場

上選擇了C,O兩點，在C，。處測得旗桿的仰角分別為45。、30。.在水平面上測得ZBCO=120°

且C、。的距離為15米，則旗桿的高度為多少米？（）

A.13B.13√^5C.15D.15√^

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列各式中，值為百的是（）

B.2sin15ocos15oC.2cos215°-1D.^tα∏210o

A.sinO

10.如圖，在正方形ABC。中，Q為BCk一點、，AQ交BD于E,且E,

F為BD的兩個三等分點，則（）

A.AE+AF-AC=0

B.AE+^AD

C.而=g南+∣而

D.FQ=?IAB-^OAD

11.設函數(shù)f（x）=sin（2x+%則下列結(jié)論正確的為（）

zT

A./Q）的最小正周期為2兀

B.f（x）的圖象關于點（一，0）對稱

C.f（x）的圖象可由函數(shù)g（%）=S譏2x的圖象向左平移3個單位長度得到

D./Q）在（Ow）上的最大值為1

12.如圖，在棱長為2的正方體ABCO-4當ClDl中，E為邊AO的中點，點P為線段DlB上的

動點，設DlP

A.當4=守時，EP〃平面力BIC

B.當A=：時，∣PE∣取得最小值，其值為，2

C.∣P4∣+∣PC∣的最小值為殍

D.當ClW平面CEP時，A=J

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.復數(shù)Z=i(l+2i)的共扼復數(shù)為.

14.已知向量d,b滿足五=(2,—2),Ibl=3，五?b=6,則,與b的夾角為

15.已知正四面體的棱長為2,則該正四面體的表面積為.

16.如圖，在四邊形4B0C中，麗.而=O,月.2DC=CB,若4B=D

AC=2,則就?而的最大值為./\\

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知a=(l,m),b=(2,1).

(1)當m為何值時，日與B共線？

(2)若m=0,當Zc為何值時，kd+B與d+23垂直？

18.(本小題12。分)

在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,已知cos4=余

(1)若b=2,c=3,求α的值；

(2)若α2=bc,判斷△4BC的形狀.

19.(本小題12.0分)

如圖，在直四棱柱ABCD-AlBIClDl中，底面ZBCD是平行四邊形，DAVDB,AB=2AD=

y∏.AA1=2,M為44ι的中點.

(1)證明：&C〃平面MBD；

(2)求三棱錐M-力BD的體積.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC〃平面PAD,BC=^AD,PA=AB=2,PB=C,點N是

力。的中點.求證：

(X)BC//AD；

(2)求異面直線P4與NC所成角余弦值.

21.(本小題12.0分)

在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,滿足α?+c2=從一cic.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若b=2y∕~3,求小ABC的面積的最大值.

22.(本小題12.0分)

某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地ABC,其中斜邊BC的長度為400米，為迎接“五一“觀

光游，欲在邊界BC上選擇一點P,修建現(xiàn)賞小徑PM,PN,其中M,N分別在邊界4B,AC上，

小徑PM,PN與邊界BC的夾角都是60。，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)種植部金香，區(qū)域AMPN內(nèi)

種植月季花.

(1)探究“觀賞小徑PM,PN的長度之和是否為定值？請說明理由

(2)為深度體驗觀賞，準備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑例N,當點P在何處時，三條小徑

(PMPN,MN)的長度之和最??？

(3)求金香區(qū)域面積之和的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的虛部的意義即可得出.

熟練掌握復數(shù)的虛部的意義是解題的關鍵.

【解答】

解：復數(shù)Z=2—i的虛部是一L

故選：C.

2.【答案】C

【解析】解：不等式2/一X-1<0,可化為(K-I)(2x+l)<0,

解得一;<x<1,

即不等式的解集為(—,1).

故選：C.

利用了一元二次不等式的解法求解.

本題主要考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

3.【答案】D

,,1.

[ft?析]解??1H——=14------------=14----=—l

、卅牛仞,舟F?1+i(l+i)(l-i)222

.?.i++在復平面內(nèi)對應的點為(|,-3，在第四象限.

故選：D.

先把復數(shù)化簡，再得到其在復平面內(nèi)對應點的坐標即可.

本題考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：cosα=,，α是第一象限角，

./~^?-12

???sιna=?Vl-CoSNa=—,

則Sin(TT+α)=-sina=-y∣'

故選：D.

由COSa的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關系求出Sina的值，原式利用誘導公式化簡將

Sina的值代入計算即可求出值.

此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，以及運用誘導公式化簡求值，熟練掌握基本關系是解

本題的關鍵.

5.【答案】C

【解析】解：因為圓錐的底面半徑為1,母線長為2「，

所以圓錐的高為九=Jɑ「)2_12=3/3，

所以圓錐的體積為卜九=WXTrXUX=√^3π.

故選：C.

先由已知條件求出圓錐的高，從而可求出圓錐的體積.

本題主要考查圓錐體積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解:山已知Z=口=(l-i)(l+i)

.?.∣4z-3∣=∣2+2i-3∣=I-1+2i∣=√1+4=√5?

故選：B.

先利用復數(shù)的除法求出Z的代數(shù)形式，再代入4z-3求模即可.

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，

即球心。即為體對角線交點，半徑為體對角線的一半，即球。的半徑,

46

222=πXX

故_Jl+l+2_口,則球。的體積IZ=lπr33-4-√26

r

-2一~3

故選：B.

長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，利用體對角線公式求得半徑，結(jié)合球的體積公

式，即得解.

本題考查了幾何體的外接球表面積的計算問題，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：設旗桿的高度為無，

所以BC=*=h,BD=*=

tan45tan30

?ΔBeD中，由余弦定理得BO?=BC2+CD2-2BC-CD-COSl20。，

BP(√^^∕ι)2=h2+152-2∕ι×15×(-1),

即2/-15∕ι-225=0,

解得∕ι=15或九=—7.5(舍去).

故選：C.

設旗桿的高度為九，在ABCO中，利用余弦定理求解.

本題考查了余弦定理的應用，屬于基礎題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于力，Sin等=Sinj=事正確;

OOL

對于B,2sin15ocosl5°=sin30o=?,正確；

對于C,2COS215O—1=COS30°=錯誤；

對于。，WCm210。=Wtan(180。+30。)=?位7130。=?*正確.

乙LLΛ4?

故選：ABD.

利用誘導公式，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值即可逐一求解.

本題考查了誘導公式，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了

轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于選項4,???荏+而=》荏+存一前=視故A選項錯誤；

對于選項B,???E,F為BD的兩個三等分點，

.?.^BE=∣BD,

.?.AE=AB+'BE=AB+^'BD=AB+^(AD-AB)=∣ΛB+∣?D,故B選項正確；

對于選項C,AE=AB+^BF=AB+l^BD=AB+1(AD-AB)=^AB+^AD,故C選項正確；

對于選項。，"^BE=^ED,

利用相似性質(zhì)可得的=T而，

則而=的-而f=T而_I麗=B而一：(而一荏)=|四一.而，故力選項正確.

故選：BCD.

利用向量的線性運算及三角形相似的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查平面向量的基本定理，考查向量的線性運算，屬于基礎題.

11.【答案】BD

【解析】解：對于函數(shù)"x)=sin(2x+>它的最小正周期為與=兀，故A錯誤；

令》=一?求得/(x)=0,可得/(x)的圖象關于點(一?0)對稱，故B正確；

把函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移泠單位長度得到函數(shù)y=sin(2x+今=cos2尢的圖象，故C

錯誤；

當Xe(O*2X+*∈G百),故當2X+R5時，函數(shù)/(X)取得最大值為1,故O正確.

故選：BD.

由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題.

12.【答案】BC

【解析】解：在棱長為2的正方體ABCD-AlBlClnl中，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),Bi(2,2,2),E(LO,0),

所以反了=(2,2,-2),市=4瓦豆=(2Λ,2Λ,-2λ).則點P(2尢24,2-22),

對于4,Λ=??PeEP=(—g，gg),而/C=(—2,2,0),4Bl=(0,2,2),

顯然瓦石-AC=2×(-2)+2×2)=0,^β?^=2×2-2×2=0,即用是平面4當。的一個

法向量，

而前,布=(-∣×2+∣×2+^×(-2)≠0,因此而不平行于平面礫C,即直線EP與平面ABIC

不平行，A錯誤；

對于氏EP=^2λ-l,2λ,2-2λ).則I前I=√(2λ-I)2+(2λ)2+(2-2λ)2=

√12λ2-12λ+5=J12(λ-∣)2+2)

因此當;l=g時，∣PE∣取得最小值，^ΣB正確；

對于C,而=(2λ-2,2λ,2-2λ),AC=(2Λ,2λ-2,2-2A).

于是IAP?+?AC?=2√(2λ-2)2+(2λ)2+(2-2Λ)2=4J3(Λ-∣)2+∣≥殍，當且僅當4=

爭寸取等號，C正確；

對于。，取Al%的中點廣,連接EF,C1F,CE,如圖,

因為E為邊4。的中點，則EF∕∕DD"/CC1，當Ge平面CEP時，P∈平面CEFC「

連接當。ICCiF=Q,連接BDnCE=M,連接MQ,顯然平面CEFCln平面BDDlBl=MQ,

因此MQrDlB=PBB1/∕CC1,CClU平面CEFCBBle平面CEFC「貝IJBBI〃平面CEFC「

即有MQ//BB］，而耦=能，

所以'=黯=疆=4,。錯誤?

故選：BC.

建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷4利用兩點間距離公式計算判斷BC；

確定直線DlB與平面CEP交點的位置判斷。作答.

本題主要考查了直線與平面平行的判定定理，考查了利用空間向量求空間中的距離問題，屬于中

檔題.

13.【答案】-2-i

【解析】解：復數(shù)z=i(l+2i)=-2+t,

其共桅復數(shù)為—2—i.

故答案為：-2—i.

先化簡復數(shù)z,進而可得其共輾復數(shù).

本題考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)的共擾復數(shù)，屬于基礎題.

14.【答案z】r?

【解析】

【分析】

本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎題.

先設a與B的夾角為。，再根據(jù)由向量夾角公式即可求解.

【解答】

解：設4與B的夾角為氏

則COSJ=j?=曰=?ΓΣ

又0e[0,τr],所以不與石的夾角為*

故答案為：≡

15.【答案】4√-3

【解析】解：根據(jù)題意，正四面體的棱長為2,則該四面體的4個側(cè)面都是邊長為2的等邊三角形,

則每個面的面積S'=gx2x2x?=√^3;

故該正四面體的表面積S=4S'=4θ?

故答案為：4√-3.

根據(jù)題意，正四面體的其表面積為4個三角形面積的和，由正三角形的面積進而求出表面積.

本題考查棱錐的表面積計算，注意棱錐的幾何結(jié)構，

16.【答案】6

【解析】解：設4SB=20,貝吧∈(0,合，

作DEJ.4C,交AC的延長線于點E,

由余弦定理得：BC2=4+4-Qcos2θ=8-8cos2θ=16sin2θ,

?BC=4sinθ,

即。C=2s譏。，Zτ4CF=^Y^=∣-0,

"CBCD=

.?.CBICD,

即NDCB=H

:?Z-DCE=θ,

???CE=DCcosθ=2sinθcosθ=sin2θ,

.?.AC-AD=?AC??AD?cos?DAE=AC-AE=2(2+sin2θ)=4+2sin2。，

vθe(θ,?),

???2θ∈(O,"),

則當2。=≡,即。=押,(sin2θ)max=1,

；?(4C?AD}rnax=4÷2=6?

故答案為：6.

設NCAB=2仇利用余弦定理可求得BC=4s譏氏結(jié)合垂直關系可得NDCE=仇根據(jù)向量數(shù)量

積定義可得而?而=4+2sin2θ,由正弦型函數(shù)最大值可求得結(jié)果.

本題考查了余弦定理，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題.

17.【答案】解：(l)α=(l,m),b=(2,1),I與」共線,

則IXI=2m,解得m=?;

(2)fcα÷h=(k+2,l),五+2,=(5,2)，

???上方+了與五+2另垂直，

.?.5(k+2)+2=0,解得k=-y.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)在44BC中，cosA=∣>b=2,c=3,由余弦定理a?=b2+C2—2bccos4得：

α2=22+32-2×2×3×∣=7,

所以α=√^^7.

(2)在△4BC中，cos4=3而0<4<τr,則A=M

由α?=be及余弦定理a?=fe2÷c2-2bccos4得：he=h2+c2-2bc??,整理得(b-c)2=0,則

b=c,

所以AABC為正三角形.

【解析】（1）直接利用余弦定理即可求解α的值；

（2）根據(jù)給定條件，利用余弦定理計算、推理判斷作答.

本題主要考查余弦定理的應用，三角形形狀的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎題.

19.【答案】解：CL）證明：連接4C,交BD于點O,連接MO,

???底面ZBCD是平行四邊形，??.。是AC的中點，

又M是44ι的中點，.?.M0〃&C,

s

?.?AiCC平面MB0,MoU平面MB0,.?.A1C∕∕^^MBD.

(2)矩形4D0IAl中，yΓ2AAλ=2AD，M為4公的中點，

.?.tan?MDA=tan?AD1D=:NMoA=^AD1D,

'?'Z-AD+ΛDγAD――,?'?Z.MDA+4D】AD—―,：.DJLA?MD,

易知DlAJ_BM,MDeBM=M,BMU平面BDM,Mz)U平面BDM,

.?.D1A，平面BDM,

?.?BDU平面80M,.?.D1A1BD,

JLDA1DB,D1AΩDA=A,D1A^^^ADD1A1,DAc∑^^ADD1A1,

.?.BD1平面ADDlA1,

VAB=2AD=V^^2∕1Λ1=2,

-22

??AD=1,AA1=√2,BD=√AB-AD=C，MA=?.

.?.三棱錐M-ABC的體積為：

O11

-X-X=√6

3212

【解析】（1）構造三角形中位線，利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）推導出Dla1MD,再由OlA1BM,可以證明上平面BDM,由此能證明0送1BD,結(jié)合ZM1

DB,得到BDI平面力DD14,利用等體積法求解.

本題考查線面平行的證明，考查線面平行、線面垂直的判定定理、等體積法等基礎知識，考查運

算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：?.?BC〃平面PAD,平面力BCz)fl平面PnD=4D,BCU平面ABCD,

.?.BC//AD-,

(2?。=：4。,/7是4。的中點，

?BC//AN,iLBC=AN,

二四邊形4NCB是平行四邊形，

.?.NC//AB,

.??4PAB(或其補角)為異面直線P4與NC所成角，

在APHB中，PA=AB=2,PB=C，

儲+加一所21

7==-

???8-4

CQSZ-PAB-2PAAB

???異面直線P4與NC所成角余弦值為;.

【解析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得出8C〃4D；

(2)可得出4B〃NC,從而得出NP4B(或其補角)為異面直線PA與NC所成角，然后根據(jù)余弦定理即

可求出COSNPAB的值.

本題考查了線面平行的性質(zhì)定理，異面直線所成角的定義，余弦定理，考查了計算能力和推理能

力，屬于基礎題.

21.【答案】解：(1)因為a?+c2=b2—ac,Bβa2+c2=b2—ac,

由余弦定理可得ɑ2+c2-b2=2accosB,

所以CoSB=因為B∈(0,τr),

可得B=∣7T;

(2)因為b=2√-3>由(1)即余弦定理可得爐=a2+c2-2accosB≥2ac-2ac?(-?),

即3αc≤Z√=(2θ,可得αc≤4,當且僅當α=C