核心素養(yǎng)測評(píng)四十八圓的方程(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圓的充要條件是 ()A.QUOTE<m<1 B.m<QUOTE或m>1C.m<QUOTE D.m>1【解析】選B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得:m>1或m<QUOTE.2.(2020·太原模擬)兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點(diǎn)P在圓(x1)2+(y1)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪(1,+∞)C.QUOTE D.QUOTE∪[1,+∞)【解析】選A.聯(lián)立QUOTE解得P(a,3a),因?yàn)辄c(diǎn)P在圓內(nèi),所以(a1)2+(3a1)2<4,所以QUOTE<a<1.3.以點(diǎn)(2,1)為圓心且與直線3x4y+5=0相切的圓的方程為 ()A.(x2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y1)2=3C.(x2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y1)2=9【解析】選C.因?yàn)閳A心(2,1)到直線3x4y+5=0的距離d=QUOTE=3,所以圓的半徑為3,即圓的方程為(x2)2+(y+1)2=9.4.經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0),B(3,0),C(1,2)的圓的面積S= ()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】選D.設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將A(1,0),B(3,0),C(1,2)的坐標(biāo)代入圓的方程可得QUOTE解得QUOTE所以圓的方程為(x1)2+y2=4,所以圓的半徑r=2,所以S=4π.5.(2019·日照模擬)已知圓C:x2+y24x+3=0,則圓C關(guān)于直線y=x4的對(duì)稱圓的方程是 ()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1【解析】選A.根據(jù)題意,設(shè)要求圓的圓心為C′,其坐標(biāo)為(a,b),圓C:x2+y24x+3=0,即(x2)2+y2=1,故其圓心為(2,0),半徑r=1,C與C′關(guān)于直線y=x4對(duì)稱,則有QUOTE解得QUOTE則要求圓的圓心為(4,6),半徑r′=1,其方程為(x+4)2+(y+6)2=1.6.(多選)已知圓M的一般方程為x2+y28x+6y=0,則下列說法中正確的是()A.圓M的圓心為(4,3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為6【解析】選ABD.圓M的一般方程為x2+y28x+6y=0,則(x4)2+(y+3)2=25.圓的圓心坐標(biāo)為(4,3),半徑為5.顯然選項(xiàng)C不正確.ABD均正確.7.已知圓C與直線xy=0及xy4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.(x+1)2+(y1)2=2B.(x1)2+(y+1)2=2C.(x1)2+(y1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】選B.由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a),則有QUOTE=QUOTE,即|a|=|a2|,解得a=1.故圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑r=QUOTE=QUOTE,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y+1)2=2.二、填空題(每小題5分,共15分)8.圓x2+y2+2x2y=0的半徑為________.

【解析】由x2+y2+2x2y=0,得(x+1)2+(y1)2=2,所以所求圓的半徑為QUOTE.答案:QUOTE9.若圓x2+y2+2axb2=0的半徑為2,則點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離為________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】由半徑r=QUOTE=QUOTE=2,得QUOTE=2.所以點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離d=QUOTE=2.答案:210.若a∈QUOTE,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示的圓的個(gè)數(shù)為________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圓的條件為a2+4a24(2a2+a1)>0,即3a2+4a4<0,解得2<a<QUOTE.又a∈QUOTE,所以僅當(dāng)a=0時(shí),方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0,即x2+y2=1表示圓.答案:1個(gè)(15分鐘35分)1.(5分)(2020·臨沂模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y24x+1=0,則yx的最大值為________,x2+y2的最大值為________.

【解析】原方程可化為(x2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,QUOTE為半徑的圓.令yx=b,則yx可看作是直線y=x+b在y軸上的截距.如圖所示,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí)QUOTE=QUOTE,解得b=2±QUOTE,所以yx的最大值為2+QUOTE.x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方.由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為2,所以x2+y2的最大值是(2+QUOTE)2=7+4QUOTE.答案:2+QUOTE7+4QUOTE2.(5分)如圖,在等腰△ABC中,已知|AB|=|AC|,B(1,0),AC邊的中點(diǎn)為D(2,0),則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積為________.【解析】由已知|AB|=2|AD|,設(shè)點(diǎn)A(x,y),則(x+1)2+y2=4[(x2)2+y2],所以點(diǎn)A的軌跡方程為(x3)2+y2=4(y≠0),設(shè)C(x′,y′),由AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)知A(4x′,y′),所以C的軌跡方程為(4x′3)2+(y′)2=4,即(x1)2+y2=4(y≠0),所以點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形面積為4π.答案:4π3.(5分)當(dāng)方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時(shí),直線y=(k1)x+2的傾斜角α=________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】由題意知,圓的半徑r=QUOTE=QUOTE≤1,當(dāng)半徑r取最大值時(shí),圓的面積最大,此時(shí)k=0,r=1,所以直線方程為y=x+2,則有tanα=1,又α∈[0,π),故α=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)一圓經(jīng)過A(4,2),B(1,3)兩點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2,求此圓的方程. 導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=E.由題意知DE=2,即D+E+2=0.①又因?yàn)閳A過點(diǎn)A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.②1+9D+3E+F=0.③解①②③組成的方程組得D=2,E=0,F=12.故所求圓的方程為x2+y22x12=0.5.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2QUOTE的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求圓C的方程.(2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到定點(diǎn)F(4,0)的距離等于線段OF的長?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】(1)設(shè)圓C的圓心為C(a,b),則圓C的方程為(xa)2+(yb)2=8.因?yàn)橹本€y=x與圓C相切于原點(diǎn)O,所以O(shè)點(diǎn)在圓C上,且OC垂直于直線y=x,于是有Q