第3講函數(shù)的奇偶性與周期性考試要求

1.函數(shù)奇偶性的含義及判斷，B級要求；2.運用函數(shù)的圖象理解、研究函數(shù)的奇偶性，A級要求；3.函數(shù)的周期性、最小正周期的含義，周期性的判斷及應(yīng)用，B級要求．知

識

梳

理1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于

對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于

對稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點2. 奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性

，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性

(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定義域內(nèi) ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是

，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是

． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是

． ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是

． (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.相同相反奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)3．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

.

的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一個最小診

斷

自

測

1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(

) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(

) (3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．(

) (4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(

)××√√答案①3．(2014·新課標全國Ⅰ卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，給出下列結(jié)論：①f(x)g(x)是偶函數(shù)；②|f(x)|g(x)是奇函數(shù)；③f(x)|g(x)|是奇函數(shù)；④|f(x)g(x)|是奇函數(shù)．則上述結(jié)論中正確的是________(填序號)．解析依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，①錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，②錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，③正確；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，④錯．答案③4．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2015)＝________. 解析∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， ∴f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2015)＝－2. 答案－25．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x(1＋x)，則x＜0時，f(x)＝________. 解析當x＜0時，則－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．

答案x(1－x)

規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．答案(1)①

(2)奇非奇非偶規(guī)律方法函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值．考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則 ①f(－25)＜f(11)＜f(80)； ②f(80)＜f(11)＜f(－25)； ③f(11)＜f(80)＜f(－25)； ④f(－25)＜f(80)＜f(11)． 其中正確的是________(填序號)． (2)(2014·新課標全國Ⅱ卷)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.解析(1)∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．(2)因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案(1)④

(2)3規(guī)律方法比較不同區(qū)間內(nèi)的自變量對應(yīng)的函數(shù)值的大?。畬τ谂己瘮?shù)，如果兩個自變量的取值在關(guān)于原點對稱的兩個不同的單調(diào)區(qū)間上，即正負不統(tǒng)一，應(yīng)利用圖象的對稱性將兩個值化歸到同一個單調(diào)區(qū)間，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷． 深度思考你知道奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系了嗎(奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反)？在解決有關(guān)偶函數(shù)問題時，常利用f(x)＝f(|x|)這一結(jié)論進行轉(zhuǎn)化．[易錯防范]1．在用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷時，要注意自變量在定義域內(nèi)的任意性．不能因為個別值滿足f(－x)＝±f(x)，就確