天津天慈中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一個(gè)(

)A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形參考答案：A【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】由圖形和A′O′=通過直觀圖的畫法知在原圖形中三角形的底邊BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形為正三角形．【解答】解：由圖形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC為正三角形．故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面圖形的直觀圖的畫法及其先關(guān)性質(zhì)，把握好直觀圖與原圖形的關(guān)系，是個(gè)基礎(chǔ)題．2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝()

A．－12

B．－6

C．6

D．12參考答案：D略3.將十進(jìn)制下的數(shù)72轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制下的數(shù)（）A．011 B．101 C．110 D．111參考答案：C【考點(diǎn)】進(jìn)位制．【分析】根據(jù)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為八進(jìn)制的方法，把十進(jìn)制數(shù)除8取余轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)即可得到結(jié)果．【解答】解：72÷8=9…09÷8=1…11÷8=0…1∴72化成8進(jìn)制是110（8），故選：C．4.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.在1、2、3、4共四個(gè)數(shù)中，可重復(fù)選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略6.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C7.已知集合A={1，2，3}，B={1，2，4}，則A∩B等于（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{1，2} D．{1，2，3，4}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={1，2}．故選：C．8.對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算，運(yùn)算原理如右圖所示，則式子的值為（

）A．8

B．10 C．12

D．參考答案：C略9.參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線是（

）

A．一條射線

B．一條直線

C．兩條直線

D．兩條射線參考答案：D10.口袋中有n(n∈N*)個(gè)白球，3個(gè)紅球．依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數(shù)為X.若P(X＝2)＝，則n的值為()A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合A={0,2}，B={－1,2,4}，則A∪B=

．參考答案：{－1,0,2,4}由并集的運(yùn)算可得：.

12.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式是__________．參考答案：【分析】根據(jù)所給的圖象,得到三角函數(shù)的振幅,根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求出φ，ω,得到函數(shù)的解析式【詳解】根據(jù)圖象可以看出A＝2，圖像過（0,1）∴2sinφ=1,故φ∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)（，0）所以=2k,k∈Z,故,k∈Z由題即故當(dāng)k=-1,∴函數(shù)的解析式是．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的解析式,三角函數(shù)基本性質(zhì)，熟記五點(diǎn)作圖法是解題關(guān)鍵，是中檔題．13.若復(fù)數(shù),則

=__________參考答案：分析：先化簡復(fù)數(shù)z,再求，再求

的值.詳解：由題得，所以故答案為：.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).14.曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為__________．參考答案：【分析】求導(dǎo)，可得斜率，進(jìn)而得出切線的點(diǎn)斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點(diǎn)睛】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡整理.15.設(shè)，則

參考答案：略16.已知樣本數(shù)據(jù)3，2，1，a的平均數(shù)為2，則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是．參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【分析】先根據(jù)平均值求得a，再利用方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義，求得樣本的標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)3，2，1，a的平均數(shù)為2=，∴a=2，樣本的方差S2=[1+0+1+0]=，∴標(biāo)準(zhǔn)差為，故答案為：．17.在直角三角形ABC中，AB=AC=1，若一個(gè)橢圓經(jīng)過A、B點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為_________。

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若的最大值為0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）詳見解析；（2）.【分析】(1)本題首先可通過函數(shù)的解析式寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后可以根據(jù)函數(shù)方程的根的數(shù)目以及大小進(jìn)行分類討論，分為、、、四個(gè)區(qū)域，即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以根據(jù)函數(shù)的解析式寫出函數(shù)的解析式并寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果。【詳解】(1)，，方程的，當(dāng)時(shí)方程有兩根、，①當(dāng)時(shí)，無解或者僅有一解，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，有兩解，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。(2)，，①當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，無最大值；②當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，無最大值；③當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，有最大值，滿足題意，綜上所述，?！军c(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性以及最值，考查導(dǎo)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查推理能力，是難題。19.已知函數(shù)是定義域?yàn)閇－1,1]上的奇函數(shù)，且(1）求f(x)的解析式.(2)用定義證明：f(x)在[－1,1]上是增函數(shù).（3）若實(shí)數(shù)t滿足，求實(shí)數(shù)t的范圍.參考答案：(1)；(2)見證明；(3).【分析】(1)首先根據(jù)函數(shù)是定義域在上的奇函數(shù)可計(jì)算出的值，然后根據(jù)可計(jì)算出的值，即可得出結(jié)果；(2)可根據(jù)增函數(shù)的定義，通過設(shè)并計(jì)算的值得出結(jié)果；(3)可通過奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，然后列出算式即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義域在上的奇函數(shù),所以，，因?yàn)椋?，?2)在任取，設(shè)，即，則，因?yàn)椋?，，即?dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)。(3)由題意可知，所以，即，解得。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查奇函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及增函數(shù)的證明，奇函數(shù)有，可以通過增函數(shù)的定義來證明函數(shù)是增函數(shù)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是中檔題。20.（本小題滿分14分）已知圓錐曲線是參數(shù)）和定點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)。（1）求經(jīng)過點(diǎn)F2且垂直于直線AF1的直線的參數(shù)方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF2的極坐標(biāo)方程。參考答案：解：（1）圓錐曲線化為普通方程，所以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），則直線AF1的斜率，……………3分于是經(jīng)過點(diǎn)F2垂直于直線AF1的直線的斜率，直線的傾斜角是120°，所以直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），即（t為參數(shù)）．………7分

（2）直線AF2的斜率，傾斜角是150°，設(shè)是直線AF2上任一點(diǎn)，

則，，………………12分所以直線AF2的極坐標(biāo)方程：

………14分略21.(本小題滿分14分)已知，i是虛數(shù)單位.(1)若z為純虛數(shù)，求a的值；(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1），………………2分因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，且，解得或；……6分（2）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，當(dāng)且僅當(dāng)：，

…………10分解得：，…………13分所以的取值范圍是.…………14分

22.已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，E是線段AB上的點(diǎn)．（1）當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF∥平面PEC．（2）當(dāng)AE：BE=2：1時(shí)，求二面角E﹣PC﹣D的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）取PC中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，推導(dǎo)出四邊形AEGF是平行四邊形，從而AF∥EG，由此能證明AF∥平面PEC．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的余弦值．【解答】證明：（1）取PC中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)，∴FGDC，AEDC，∴FGAE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，∵EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

解：（2）以A為原點(diǎn)，AB為x