浙江省寧波市余姚中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線(，)中，為右焦點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，點(diǎn)且，則此雙曲線的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案：D2.在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時(shí)，其上底長(zhǎng)為（）A． B．r C．r D．r參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；扇形面積公式．【分析】假設(shè)梯形的上底長(zhǎng)，將高用上底表示，從而表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．【解答】解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為2x，高為h，面積為S，∵h(yuǎn)=，∴S=（r+x）?，S′=，令S′=0，得x=，（x=﹣r舍），則h=r．當(dāng)x∈（0，）時(shí)，S′＞0；當(dāng)x∈（，r）時(shí)，S′＜0．∴當(dāng)x=時(shí)，S取極大值．∴當(dāng)梯形的上底長(zhǎng)為r時(shí)，它的面積最大．故選：D3.設(shè)橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上的點(diǎn)PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，則C的離心率為（） A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】設(shè)|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依題意可求得|PF1|與|F1F2|，利用橢圓離心率的性質(zhì)即可求得答案． 【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=x， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x， ∴C的離心率為：e==． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得|PF1|與|PF2|及|F1F2|是關(guān)鍵，考查理解與應(yīng)用能力，屬于中檔題． 4.直線l1與l2方程分別為y=x，2x﹣y﹣3=0．則兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，3）參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】把兩直線方程聯(lián)立方程組，這個(gè)方程組的解就是兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵直線l1與l2方程分別為y=x，2x﹣y﹣3=0，解方程組，得x=3，y=3，∴兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二元一次方程組的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5.曲線f（x）=在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；I2：直線的傾斜角．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，進(jìn)而利用斜率和傾斜角之間的關(guān)系求切線的傾斜角．【解答】解：因?yàn)閒（x）=，所以，所以函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=﹣1，由k=tanα=﹣1，解得，即切線的傾斜角為．故選D．6.已知實(shí)數(shù)a、b滿足“a＞b”，則下列不等式中正確的是

（

）A．|a|＞|b|

B．a(chǎn)3＞b3

C．a(chǎn)2＞b2

D．＞1參考答案：B7.若＋(1＋i)2＝a＋bi(a，b∈R)，則a+b＝

（

）

A.2

B.－2

C.2＋2

D.2－2參考答案：C8.雙曲線x2﹣4y2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線離心率的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣=1，則焦點(diǎn)在x軸上，且a=1，b2=，則c2=a2+b2=1+=，即c==，則離心率e==，故選：C9.若變量滿足約束條件，則的最大值為（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．10.某校高三理科實(shí)驗(yàn)班有5名同學(xué)報(bào)名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報(bào)一所高校．若這三所高校中每個(gè)學(xué)校都至少有1名同學(xué)報(bào)考，那么這5名同學(xué)不同的報(bào)考方法種數(shù)共有（）A．144種 B．150種 C．196種 D．256種參考答案：B【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【分析】由題設(shè)條件知，可以把學(xué)生分成兩類：311，221，所以共有種報(bào)考方法．【解答】解，把學(xué)生分成兩類：311，221，根據(jù)分組公式共有=150種報(bào)考方法，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平均分組和不平均分組的合理運(yùn)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知、、是函數(shù)的三個(gè)極值點(diǎn),且,有下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論:①；②；③；④恒成立,其中正確的序號(hào)為

．參考答案：②③④12.已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若=． 參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題． 【專題】壓軸題． 【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)a=2t，c=t，b=t，設(shè)直線AB方程為x=sy+t，由此可知． 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵=3，∴y1=﹣3y2， ∵e=，設(shè)a=2t，c=t，b=t， ∴x2+4y2﹣4t2=0①， 設(shè)直線AB方程為x=sy+t， 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0， ∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣， 解得s2=，k=． 故答案：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 13.函數(shù)f(x)＝alnx＋x在x＝1處取得極值，則a的值為．參考答案：略14.等比數(shù)列{an}中，a1+a3=5，a2+a4=4，則a4+a6=．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知式子可得公比的值，而a4+a6=（a2+a4）?q2，計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a2+a4=（a1+a3）?q=4，解得q=，故a4+a6=（a2+a4）?q2=4×（）2=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整體代入是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[0，）【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別求出每一段上函數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=2x﹣1≥1，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，∴1﹣2ax+3a必須到﹣∞，即滿足：，解得0≤a＜，故答案為：[0，）．16.恒大足球隊(duì)主力陣容、替補(bǔ)陣容各有名編號(hào)為的球員進(jìn)行足球點(diǎn)球練習(xí)，每人點(diǎn)球次，射中的次數(shù)如下表：隊(duì)員￥編號(hào)1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)主力4534替補(bǔ)5425

則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的方差

．參考答案：17.若對(duì)任意的自然數(shù)n,,則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，為的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)。(1)求證：直線平面

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2)求證：直線平面

(3)求平面與平面所成二面角的大小。

參考答案：解法一:（1）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，因?yàn)辄c(diǎn)M、F分別為、的中點(diǎn)，所以，又，————3分（2）因?yàn)榈酌鏋榱庑吻?，所以四邊形與全等，又點(diǎn)F為中點(diǎn)，所以，在等腰△中，因?yàn)椋?，可得，所以（線面垂直判定定理）————7分（3）延長(zhǎng)，連接AQ，則AQ為平面與平面ABCD的交線.所以FB為△的中位線,則QB=BC,設(shè)底面菱形邊長(zhǎng)為a,可得AB=QB=a,又

所以

那么△ABQ為等邊三角形.取AQ中點(diǎn)N,連接BN、FN，則為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角.在△FNB中,

————11分

即平面與平面ABCD所成二面角的平面角或—12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解法二:設(shè)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，∴∥又由直四棱柱知，∴在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM兩兩垂直，故可以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示?！?分若設(shè)，則B，，，，

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)由F、M分別為中點(diǎn)可知,M(0，0，1)∴(1，0，0)＝，又因?yàn)镸F和OB不共線，∴∥OB又因?yàn)?OB平面ABCD，∴MF∥平面ABCD————5分(2)，而（1，0，0）為平面yOz（亦即平面）的法向量∴直線MF⊥平面————8分(3)為平面ABCD的法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，由，，得：令y=1，得z=，此時(shí)設(shè)平面與平面ABCD所成二面角的大小為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

則所以或，即平面與平面ABCD所成二面角的大小為或————12分19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由和成等比數(shù)列，得，

解得，或，當(dāng)時(shí)，，與成等比數(shù)列矛盾，舍去.，即數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)=，20.在平面中，不等式確定的平面區(qū)域?yàn)椋坏仁浇M確定的平面區(qū)域?yàn)?（Ⅰ）在區(qū)域中任取一個(gè)點(diǎn)，若所取的點(diǎn)落在區(qū)域中，稱試驗(yàn)成功，求實(shí)驗(yàn)成功的概率；（Ⅱ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域中任取1個(gè)“整點(diǎn)”，求這些“整點(diǎn)”恰好落在區(qū)域中的概率.參考答案：解：（1）..……6分;

（幾何概型）（2）.……12.

（古典概型）（請(qǐng)酌情