4.1認(rèn)識三角形知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.知識點(diǎn)知識點(diǎn)二三角形的分類按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形知識點(diǎn)知識點(diǎn)三三角形的內(nèi)角和內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．知識點(diǎn)知識點(diǎn)四直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余．知識點(diǎn)知識點(diǎn)五三角形的三遍關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．知識點(diǎn)知識點(diǎn)六三角形的三條重要線段（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．題型一認(rèn)識三角形【例題1】（2022秋?玉州區(qū)期中）如圖所示的圖形中，三角形共有A．5個(gè) B．6個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解題技巧提煉此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答．【變式1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式1-2】（2022?南崗區(qū)校級開學(xué)）滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個(gè)數(shù)是①有兩個(gè)角是的三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形：③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022秋?路南區(qū)期中）觀察下列圖形，其中是三角形的是A． B． C． D．題型二三角形的內(nèi)角和定理【例題2】（2022秋?宜州區(qū)期中）已知中，，則圖中的度數(shù)為A． B． C． D．解題技巧提煉本題考查了三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和定理．知道剪去三角形的一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022秋?渝北區(qū)校級期中）如圖，、都是的角平分線，且，則A． B． C． D．【變式2-2】將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．【變式2-3】定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的一個(gè)內(nèi)角為30°，那么這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為．題型三直角三角形的性質(zhì)【例題3】（2022春?相城區(qū)校級期中）如圖，的角平分線、相交于，，，且于，下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解題技巧提煉本題主要考查的是平行線、角平分線、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的兩銳角互余．【變式3-1】（2022秋?威縣校級月考）有一道題目：“如圖，在中，，將沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，且中有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的度數(shù)．”嘉嘉的答案是，淇淇說：“嘉嘉考慮的不全面，還應(yīng)該有另外一個(gè)值．”下列判斷正確的是A．淇淇說的不對，就是 B．淇淇說得對，且的另一個(gè)值是 C．淇淇說得對，且的另一個(gè)值是 D．兩人都不對，應(yīng)有三個(gè)不同值【變式3-2】（2022秋?東莞市校級期中）在一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角等于，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是A． B． C． D．【變式3-3】（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，則等于．題型四三角形三條重要線段【例題4】（2022秋?巴南區(qū)校級期中）下列說法中正確的是A．平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內(nèi)解題技巧提煉本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式4-1】（2022秋?渝北區(qū)月考）下列各圖中，作出的邊上的高，正確的是A． B． C． D．【變式4-2】（2021秋?匯川區(qū)期末）如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于E．F為AB上一點(diǎn)，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH是△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型五有關(guān)三角形三條重要線段的計(jì)算問題【例題5】（2022秋?岑溪市期中）如圖，已知的周長為，，邊上中線，的周長為，則長為．解題技巧提煉考查了三角形的周長和中線，本題的關(guān)鍵是由周長和中線的定義得到的長，題目難度中等．【變式5-1】（2022秋?洛龍區(qū)期中）如圖，在中，已知點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，的面積是4，則的面積是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【變式5-2】如圖，AD為△ABC的中線，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為．【變式5-3】（2022秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，中，是邊上的中線，是中邊上的中線，若的面積是28，則的面積．題型六三角形的三邊關(guān)系【例題6】（2022秋?霸州市校級期末）已知一個(gè)三角形的兩條邊長分別為3和7，則第三條邊的長度不能是A．11 B．9 C．8 D．7解題技巧提煉本題考查的是三角形三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022秋?洛川縣校級期末）若長度為，2，3的三條線段能組成一個(gè)三角形，則的值可能為A．6 B．5 C．1 D．3【變式6-2】（2022秋?屯昌縣期中）下列長度的三條線段中，能構(gòu)成三角形的是A．，， B．，， C．，， D．，，【變式6-3】（2022秋?北京期中）下列長度的三條線段，能組成三角形的是A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，3，6 D．4，6，104.1認(rèn)識三角形知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一三角形的概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.知識點(diǎn)知識點(diǎn)二三角形的分類按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形按角分類：三角形直角三角形知識點(diǎn)知識點(diǎn)三三角形的內(nèi)角和內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．知識點(diǎn)知識點(diǎn)四直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余．知識點(diǎn)知識點(diǎn)五三角形的三遍關(guān)系三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．知識點(diǎn)知識點(diǎn)六三角形的三條重要線段（1）從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．題型一認(rèn)識三角形【例題1】（2022秋?玉州區(qū)期中）如圖所示的圖形中，三角形共有A．5個(gè) B．6個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答即可．【解答】解：三角形的個(gè)數(shù)有，，，，，共5個(gè)，故選：．解題技巧提煉此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答．【變式1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的A表示（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】根據(jù)三角形的分類可直接得到答案．【解答】解：三角形根據(jù)邊分類不等邊三角形等腰三角形∴圖中小橢圓圈里的A表示等邊三角形．故選：D．【變式1-2】（2022?南崗區(qū)校級開學(xué)）滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個(gè)數(shù)是①有兩個(gè)角是的三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形：③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法逐項(xiàng)的可求解．【解答】解：①有兩個(gè)角是的三角形是等邊三角形，故符合題意；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，故不符合題意：③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）都相等的三角形是等邊三角形，故符合題意；④一邊上的高也是這邊中線的等腰三角形不一定是等邊三角形，故不符合題意．所以等邊三角形的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：．【變式1-3】（2022秋?路南區(qū)期中）觀察下列圖形，其中是三角形的是A． B． C． D．【分析】在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．根據(jù)三角形的定義判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)中2條線段沒有相接，所以不是三角形，故不是三角形；滿足三角形的定義，故是三角形；有2條線段相交，沒有首尾順次相接，所以不是三角形，故不是三角形；有1條線段的觀點(diǎn)連接了另一條線段上的一點(diǎn)，所以不是三角形，故不是三角形．故選：．題型二三角形的內(nèi)角和定理【例題2】（2022秋?宜州區(qū)期中）已知中，，則圖中的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得的和是130度，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360度，即可求得的值．【解答】解：，．，．故選：．解題技巧提煉本題考查了三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和定理．知道剪去三角形的一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022秋?渝北區(qū)校級期中）如圖，、都是的角平分線，且，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，列出算式計(jì)算即可．【解答】解：、都是的角平分線，，，，，故選：．【變式2-2】將一副三角板如圖放置，則圖中的∠1＝°．【分析】先用三角形內(nèi)角和定理求出角4的度數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得：∠2＝60°，∠3＝45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝75°，∴∠1＝∠4＝75°，故答案為：75．【變式2-3】定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的一個(gè)內(nèi)角為30°，那么這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為．【分析】可分三種情況：當(dāng)“特征角”為30°時(shí)；當(dāng)β＝30°時(shí)；當(dāng)?shù)谌齻€(gè)角為30°時(shí)，根據(jù)“特征角”的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理分別計(jì)算即可求解．【解答】解：當(dāng)“特征角”為30°時(shí)，即特征角”α＝30°；當(dāng)β＝30°時(shí)，“特征角”α＝2×30°＝60°；當(dāng)?shù)谌齻€(gè)角為30°時(shí)，“特征角”12綜上，這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為30°或60°或100°．故答案為30°或60°或100°．題型三直角三角形的性質(zhì)【例題3】（2022春?相城區(qū)校級期中）如圖，的角平分線、相交于，，，且于，下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論是A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)平行線、角平分線、垂直的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可得出答案．【解答】解：①，，又是的角平分線，，故正確；④無法證明平分，故錯(cuò)誤；③，，平分，，．，且，，即，，故正確；②，，，，，，，故正確．正確的為：①②③，故選：．解題技巧提煉本題主要考查的是平行線、角平分線、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的兩銳角互余．【變式3-1】（2022秋?威縣校級月考）有一道題目：“如圖，在中，，將沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，且中有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的度數(shù)．”嘉嘉的答案是，淇淇說：“嘉嘉考慮的不全面，還應(yīng)該有另外一個(gè)值．”下列判斷正確的是A．淇淇說的不對，就是 B．淇淇說得對，且的另一個(gè)值是 C．淇淇說得對，且的另一個(gè)值是 D．兩人都不對，應(yīng)有三個(gè)不同值【分析】由軸對稱的性質(zhì)得到，，，分兩種情況，應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理，平角定義列出關(guān)于的方程，求出即可解決問題．【解答】解：，，，，關(guān)于對稱，，，，令，則，，，，中有兩個(gè)內(nèi)角相等，只有，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，或．故選：．【變式3-2】（2022秋?東莞市校級期中）在一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角等于，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【解答】解：在一個(gè)直角三角形中，一個(gè)銳角等于，另一個(gè)銳角的度數(shù)是：．故選：．【變式3-3】（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在中，，沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若，則等于．【分析】求出，即可解決問題．【解答】解：，，，由折疊可知，，，故答案為：．題型四三角形三條重要線段【例題4】（2022秋?巴南區(qū)校級期中）下列說法中正確的是A．平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內(nèi)【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【解答】解：、三角形的角平分線是一條線段，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；、鈍角三角形的二條高都在三角形外，最長邊上的高在三角形內(nèi)，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的三條中線總在三角形內(nèi)，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；故選：．解題技巧提煉本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式4-1】（2022秋?渝北區(qū)月考）下列各圖中，作出的邊上的高，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形高的定義，過點(diǎn)與邊垂直，且垂足在邊上，然后結(jié)合各選項(xiàng)圖形解答．【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，只有選項(xiàng)中的是邊上的高．故選：．【變式4-2】（2021秋?匯川區(qū)期末）如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義即可得到，，．進(jìn)而判斷即可．【解答】解：，，分別是的中線，角平分線，高，，，，故選項(xiàng)、、正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：．【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長BG交AC于E．F為AB上一點(diǎn)，CF⊥AD于H，下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD邊AD上的中線；③CH是△ACD邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進(jìn)行判斷．連接三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的線段即為三角形的中線；三角形的一個(gè)角的角平分線和對邊相交，頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫三角形的高．【解答】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是△ABE的角平分線，故此說法錯(cuò)誤；②根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是△ABD的邊AD上的中線，故此說法錯(cuò)誤；③根據(jù)三角形的高的概念，知CH為△ACD的邊AD上的高，故此說法正確；④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念，知AH是△ACF的角平分線和高線，故此說法正確．故選：B．題型五有關(guān)三角形三條重要線段的計(jì)算問題【例題5】（2022秋?岑溪市期中）如圖，已知的周長為，，邊上中線，的周長為，則長為．【分析】先根據(jù)周長為，，，由周長的定義可求的長，再根據(jù)中線的定義可求的長，由的周長為，即可求出長．【解答】解：，，周長為，，是邊上的中線，，的周長為，．故長為，故答案為：．解題技巧提煉考查了三角形的周長和中線，本題的關(guān)鍵是由周長和中線的定義得到的長，題目難度中等．【變式5-1】（2022秋?洛龍區(qū)期中）如圖，在中，已知點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，的面積是4，則的面積是A．2 B．1 C．0.5 D．0.25【分析】根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得的面積的面積，再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得的面積，的面積，從而可求出的面積，然后再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得的面積的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積是4，的面積的面積的面積，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的面積的面積，故選：．【變式5-2】如圖，AD為△ABC的中線，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為．【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD＝DC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝DC，∵△ACD的周長28cm，∴AC+AD+CD＝28（cm），∵AC＝10cm，∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），∵AB＝13cm，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝41（cm），故答案為：41cm．【變式5-3】（2022秋?南沙區(qū)校