機(jī)密★啟用前

2024屆新高考I卷“九章杯”第一次統(tǒng)一調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

2023.10

本試題卷共4頁,22題，全卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考試務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

★?？荚図樌?/p>

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

X

1.已知集合4=m€2|*—2/—8<0},集合3=X<0,則4r18=

x—2

A.{0,1,2}B.[0,2)

C.{0,1}D.[0,1)

2.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=3+i,則5在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

已知向量|a|=|b|=ag|a+b|=1,則|a—b|=

3.

A.1B.V2C.V3D.2

_21一工N20,

4.己知函數(shù)己知=,<o,是定義在R上的偶函數(shù)，則

m-2x+n-2-x,

A.-4B.-2C.0D.2

5.已知圓。的直徑=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足陽川=2陽3|，若點(diǎn)M的軌跡為曲線。，曲線。與

圓。相交于兩點(diǎn)，則|。。|=

A.4B?普16D.得

Cr.3

6.己知等差數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和S”有最大值，若（。3—1）（。4-1）=2,$6=15,則時(shí)

n的最大值為

A.9B.10C.11D.12

7.已知函數(shù)/⑴=2疝（3汗+9）（3>0,|切〈■的最小正周期為T,且/住）=衣,若/⑴

在（0,上有且只有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則3的取值范圍是

A.[6,11）B.[6,15）C.L7,1DD.[6,12）

8.如圖，在直三棱柱ABCT'B'C中,48=8。=2,441=5,/48。=爭,加,％分別為棱

BB,,4C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC'+MN最小時(shí),BM=

A.2R7!

B3

C5

2

D5

-

34

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.一組樣本數(shù)據(jù)g,g,???,/“的平均數(shù)為豕了右0）,標(biāo)準(zhǔn)差為s.另一組樣本數(shù)據(jù)為+1，為+2,

-,x2n的平均數(shù)為3落標(biāo)準(zhǔn)差為s.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)的，電，…,3+1，…，屹“，新數(shù)

據(jù)的平均數(shù)為V，標(biāo)準(zhǔn)差為s'，則

A.y>2xB.y=2xC.s'>sD.s'=s

10.已知P是圓OH+U2=i上的動(dòng)點(diǎn)，直線l1:xcos9+ysinO=4：與l2：xcos0+ysm0=2交

于點(diǎn)Q,則

A.h與l2的距離為2

B.點(diǎn)P到直線厶距離的最大值為5

C.存在。CR,直線厶經(jīng)過點(diǎn)P

D.對(duì)任意的。eR,動(dòng)點(diǎn)P到兩直線的距離以及h與12的距離之和的最大值為10

11.設(shè)拋物線。：9=J*,過焦點(diǎn)F的直線交C于力（曲,防）,3（g,仇）兩點(diǎn)，直線AO,BO（O

為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與直線曬"=-2交于A"旳,%）,N（圖，以）兩點(diǎn)，則下列說法正確的是

A.焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）B.^4=-16

C.寺觀的最小值為|D./\AOB與4MON的面積之比為定值

12.已知函數(shù)/（/）滿足:①函a+z）為偶函數(shù);②/'（c+c）+/'（c—*）=2a,a手c,其中f（x）

是/岫）的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是

A.廣金）關(guān)于（a,0）對(duì)稱B./（牛）關(guān)于2=c對(duì)稱

C./（①）的一個(gè)周期為2|c—a|D./（/'（1））關(guān)于z=c對(duì)稱

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(2+對(duì)(立一1尸展開式中x3的系數(shù)為5,則a=.

14.已知正六棱臺(tái)ABCDEF-AiBCDiEiR的上、下底面的邊長分別為3,4,該正六棱臺(tái)的外

接球的表面積為100k,則該正六棱臺(tái)的高為.

15.若直線ei-2y+ehi2=0是指數(shù)函數(shù)y=a^a>0且a*1)的圖象的一條切線，則實(shí)數(shù)a

的值為.

16.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(1175年?1250年)以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1,1,2,3,5,8,

…,該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即即+2=即+1+a?(nGN),故此數(shù)列

稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為冊(cè)=+[(^^)一(丄讃⑤)_?

設(shè)n是不等式log?!?1+V5)n-(1-V5)"]>n+6的正整數(shù)解，則n的最小值為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

在銳角△43。中，角43。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

3-=(2V3-3)tanC.

sm.C光+cosC

(1)求角。；

(11)若C=2且sin廿屮=普■，求AABC的面積.

Q—ca-u

18.(12分)

如圖，在正四棱臺(tái)中，高為=上、下底面均為正方形且

位似比為12,點(diǎn)E為邊3場(chǎng)的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊DDX上一動(dòng)點(diǎn).

(I)求證:丄B4；

(H)當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到。2的中點(diǎn)時(shí)，求34與平面GEF夾角的正弦值.

5

19.（12分）

杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日在萬眾期待中開幕，兵乓球作為國球又一次掀起

熱潮.為推進(jìn)素質(zhì)教育某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員

來自3個(gè)不同校區(qū),三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)

方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的

冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3：0或3：1取勝的隊(duì)員積3分,失敗的隊(duì)員積。分;而在比

賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分,失敗的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比

賽張三取勝的概率均為p（0<p<l）.

（I）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（II）第10輪比賽中,記張三3:1取勝的概率為/（p）.

（I）求出“p）的最大值點(diǎn)Po；

（ii）若以Po作為P的值，這輪比賽張三所得積分為X,求x的分布列及期望.

20.（12分）

設(shè)數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為Sn,且2sn=6％+6）q=16.

（I）求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式；

（n）設(shè)數(shù)列｛康｝的前n項(xiàng)和為乙,求證:K4<亮.

21.（12分）

已知函數(shù)fCx）=x\nx—2x+m（meR）有兩個(gè)零點(diǎn)11,12，且旳<12.

（I）求m,的取值范圍；

（II）證明：11+12<3?—

22.（12分）

設(shè)￡，H分別為橢圓「手+吟=1的左、右焦點(diǎn)，過E的直線與「交于4口兩點(diǎn)，過E

的直線與T交于兩點(diǎn)，且CO丄4反

（1）設(shè)45與CD交于點(diǎn)E,求證:點(diǎn)E在橢圓r內(nèi)；

（II）東四十力肥力的面積的取侑范闈.

2024屆新高考I卷“九章杯”第一次統(tǒng)一調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

命題單位:新高考教師交流中心2024.10

命題教師：阮國勇李鴻昌袁方劉航宇洪通李曉斌

王恩普朱文杰楊洋陳曉張彭?xiàng)铒w

一、選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.C2.D3.A4.A

5.D6.C7.A8.D

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給岀的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.BC10.AB11.BCD12.BD

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.-314.1或7

15.e或e?16.9

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解：（I）由題意得

3sinC-3cosc=(2x/3-3)tanC.

sinC+cosC

即

雕棄=(2舁3)tanC

整理得

[(2-\/3)tailC-1](\/3tailC-3)=0.

所以tanC=或tanC=2+x/3.

因?yàn)??！?0,90。),所以C=60。或C=75。.

(n)由c=2及

a+b_c

a-ca-b'

得

由余弦定理得

a2+C2-h2ac1

2ac~2ac~2，

所以3=60°.

①若C=60。,易知△A3。為等邊三角形，所以

SAABC=/x2x2x=V3；

②若C=75°，則A=45。,由正弦定理得

。=受嚶=3a-瘋

smC

所以

SAABC=J^csinA=yx(3V2-布)x2x=3-6.

18.(I)由題意知平面AACC丄平面35功。.

因?yàn)?G丄⑶5，所以

AC丄03.

連接4G,82交于一點(diǎn)G,設(shè)A3=i,則=21,，8=&，可得85=8。=。。=

yl3lD,=BlG=GDl=6,所以四邊形片區(qū)GO為菱形.所以

BGJLDBi.

又因?yàn)锳iGn，G=G，所以

。〃］丄平面6A|G.

又/3A［U平面/34G，故

丄B41.

（H）由（［）因?yàn)檎睦馀_(tái)的髙為后,易解得工=2.

D

/-：

4

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Guyz,各點(diǎn)坐標(biāo)加下:

3a

Al(-2>/2,(),0).B(0,-V2,x/6),E(0,

2'2

由題意

1),E片=(O,3\/2,O),EC^=2>/2,—)

A,B=（殍當(dāng)

設(shè)平面GE*的一個(gè)法向量為n=(z.y,z),則

n-EP-3y/2y=0,

n-EC\=2x/2x+^-^-y~孚z=0,

取口=(6.0.4).

設(shè)34與平面C/F的夾角為仇所以

sinG=|cosm，Ai->|=

Olnl76

故13At與平面GEF夾角的正弦值為凜

19.(I)比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率為

八C；C：+C：C：+C；C：47

"-------氏-------=66-

(n)(i)由題可知

/(/))=C》3(]一/))=3/>3(1-/)),

求導(dǎo)得

/'(/>)=3/)2(3-4/)).

令r(°)=o,得/)=總.

當(dāng)」?0,京)時(shí),r(/))>oj⑴在(01)上單調(diào)遞增;

當(dāng)仔,1)時(shí),，(/))<0j(/))在仔,1)上單調(diào)遞減.

所以/(°)的最大值點(diǎn)仇產(chǎn)總.

(ii)X的可能取值為0,1,2,3.

/5(X=0)=(l-/))3+Cj/)(l-/))3=(l-1)+Ch|x(i-13

'256'

P(X=1)=C涉(1-”=C；x住)x(1-j)=；

p(x=2)=Ci/)2(1-/>)2p=Ci(-1)x(i-弓)x2=AL；

P(X=3)=/>3+/>a/>2(1-/))=(1)+?(|fx(l-1)x|_189

-256-

所以X的分布列為

X0123

2781189

p13

2565l2512256

X的期望為

n13丄i27丄r81丄21891323

￡(X)=Ox256+lx5T2+2x5l2+3x256=3TT-

20.解：（I）當(dāng)餌=1時(shí),

解得“I=6.

當(dāng)九22時(shí),

"(6+冊(cè))(M-1)(6+art.?)

22

整理得

(M-2)a?+6=(H-I)a?_|,①

所以有

②

(H-1)OM4|+6=八%,

①-②可得

勿"=a”_]+a”+i,

所以｛%｝為等差數(shù)列.

因?yàn)镼i=6,06=16,所以公差d=2.

所以冊(cè)=2九+4.

(n)因?yàn)?/p>

,_1_1_1(1I)

n

~nan~w(2n+4)-4\M九+2丿'

所以

…+(卜圭■)]

TT-dn■-力)?

令

/(w)=i-(7TTT+77T2)*

當(dāng)〃f+8,函數(shù)/(〃)單調(diào)遞增，所以

/(l)wf(")矣主

即

21.(I)/'(1)=Ina:-1,令/'(7)=0,得x=e.

當(dāng)％w（O,e）時(shí),r（x）vOj（z）單調(diào)遞減，當(dāng)HW（e.+8）時(shí)丿（幻＞0,/（工）單調(diào)遞増.

所以

/(-r)min=/(e)=m-e.

要使/(z)有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足a-e<0,解得m<e.

當(dāng)工f0時(shí),/(%)f"2,當(dāng)J?f8時(shí),/(%)f8,故W>0.

因?yàn)?/p>

m2?m22m2

-Q-ln-g--------廠+機(jī)

nr

,n

V巧mI-萼9+

2ni(3-小)、八

=-------9-------0'

/(e2)=ni>0.

所以存在J:I€(*,e),Z2￡(e,e2),使得/(X|)=/(x2)=0.

綜上所述，用的取值范圍是(0,e).

XiInXj-2J?I+m=0,

整理得

{xlnx-2必+=0.

22

.cm

Hnr.=2--,①

lnx=2--^-.②

I212

令

g(x)=Inx-~~p-^-(0<x<1),

DX+1

則

2

,(x14(x-1)、八

所以g(z)在(0.1)單調(diào)遞增，即g(以<g(l)=0,故Imrv受F(0<z<l).

當(dāng)0<z<e時(shí),0<q<1,則

即

X芝芳(0<z<e).

同理可得

21(j;>e).

由①可得

m./3xi-e

2n------=InXi<----------

x,1X|+e

整理得

xf+(m-3e)j?)+me>0.③

由②可得

2--=lnx2<

44+e

整理得

④

x?+(m-3e)x2+/e<0.

④?整理得

M)[j:2+J:I-(3e-m)]<0.

又因?yàn)閬?工1>0,所以+a;2<3e-6，故原不等式得證.

22.(1)證明：由題意知。2=盟-知=4-3=1,所以3(-1,0)方2(1,0).

因?yàn)镃Q丄AB,即3E丄F2E，所以點(diǎn)E在以線段N6為直徑的圓上,該圓的方程為

x2+J2=1.

由于1<6,即C。,可知圓〃+y2=］在橢圓=內(nèi)，因此點(diǎn)后在橢圓「內(nèi).

(n)由(I)知43與C,。的交點(diǎn)E在橢圓「內(nèi)，所以四邊形A/3CQ的面積為

①若AB垂直I軸,則CD為長軸,此時(shí)

S=yAB\,\CD=yxx2a=262=6.

②若AH和CD都不垂直1軸，加圖所示.

設(shè)A/3的斜率為/?(/?中0),則由

y=k(x-1),

3x2+4/=12