開(kāi)學(xué)自我檢測(cè)01（易）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已經(jīng)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算一元二次不等式求出，再根據(jù)補(bǔ)集定義求出，最后應(yīng)用交集定義運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，，∴或，，故選：D．2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，所以.故選：B.3．已知向量不共線，且向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C．或2 D．1或2【答案】C【分析】利用平面向量共線基本定理列等式，利用不共線向量相等列方程組求解.【詳解】若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，又因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得或.故選：C.4．已知是定義在R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函數(shù)為減函數(shù)需滿足三個(gè)條件，一是上支為減函數(shù)，二是下支為減函數(shù)，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式組即可解得.【詳解】要使函數(shù)在R上為減函數(shù)，需滿足，解得.故選：D．5．驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名建筑事務(wù)所steynstudio完成的．若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.【詳解】雙曲線，，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：D.6．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，可得結(jié)果.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為1，

由題意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以為等邊三角形，所以.故選:C．7．若數(shù)列和滿足，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得，即可根據(jù)代入求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，又，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，又，即，所以所以；故選：B8．設(shè)函數(shù)，則（

）A．且在單調(diào)遞增B．且在單調(diào)遞減C．且在單調(diào)遞增D．且在單調(diào)遞減【答案】C【分析】首先證明函數(shù)的周期為，然后分與兩種情況分別討論函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】由于，得的最小正周期不是；，則的周期為，當(dāng)時(shí)，，由于，得，故，當(dāng)時(shí)，，由于，得，故，綜上所述，可得的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，由于，得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增．故C選項(xiàng)正確．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智，黨和政府一直重視青少年的健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì)，為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生中，抽查了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．樣本的眾數(shù)為65B．該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為1200人C．樣本的第80百分位數(shù)為72.5D．樣本的平均值為66.75【答案】BCD【分析】由頻率分布直方圖得眾數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)后判斷【詳解】對(duì)于A，樣本的眾數(shù)為67.5，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為，故B正確，對(duì)于C，體重位于的頻率為，體重位于的頻率為，故第80百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，得，故C正確，對(duì)于D，樣本的平均值為，故D正確，故選：BCD10．盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)B．八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍C．八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級(jí)為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列【答案】ACD【分析】根據(jù)所給公式，結(jié)合指對(duì)互化原則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由題意得，解得，即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；對(duì)于B：八級(jí)地震即時(shí)，，解得，所以，所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：六級(jí)地震即時(shí)，，解得，所以，即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故C正確；對(duì)于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），所以，所以所以，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定選項(xiàng)的正誤．【詳解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)；B選項(xiàng)，∵時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：

∴函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，∵當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，∵，所以，故C對(duì)；D選項(xiàng)，若在上恒成立，即在上恒成立，由，則，故D錯(cuò)．故選：AC．12．如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑，點(diǎn)C是底面圓O上異于A的動(dòng)點(diǎn)，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形．，則（

）

A．面積的最大值為B．的值與的取值有關(guān)C．三棱錐體積的最大值為D．若，AQ與圓錐底面所成的角為，則【答案】CD【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長(zhǎng)及圓錐的高，并求出軸截面頂角，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由，得，而圓錐底面圓半徑，圓錐的高，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與的取值無(wú)關(guān)，B錯(cuò)誤；過(guò)作交于，由平面，得平面，由，得，于是，所以當(dāng)且僅當(dāng)，且為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積取最大值，C正確；若，則，由選項(xiàng)知，為與圓錐底面所成的角，即，顯然，在中，，，而，所以，D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過(guò)找直線在平面上的射影來(lái)完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)1，2，3，4的四個(gè)方格內(nèi)，每格填1個(gè)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的概率是．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】首先計(jì)算4個(gè)數(shù)字填入4個(gè)空格的所有情況，然后列舉計(jì)算每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)1，2，3，4的四個(gè)方格內(nèi)，每格填1個(gè)，共有種，而每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的有：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)方格的填的數(shù)字為2時(shí)，第二個(gè)方格可以填1，3，4三種，當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填1時(shí)，第三個(gè)方格只能填4，第四個(gè)方格只能填3；當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填3時(shí)，第三個(gè)方格只能填4，第四個(gè)方格只能填1；當(dāng)?shù)诙€(gè)方格填4時(shí)，第三個(gè)方格只能填1，第四個(gè)方格只能填3，共3種，同理當(dāng)?shù)谝粋€(gè)方格所填數(shù)字為3可4時(shí)，均有3種填法，所以共有種，所以所求概率為，故答案為：14．在正四棱錐中，，用平行于正四棱錐底面的平面截去一個(gè)高為的四棱錐后，所得棱臺(tái)的體積為．【答案】/【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐的高，再利用相似比求出截去的高為的四棱錐的底面邊長(zhǎng)，在求出兩個(gè)棱錐的體積即可.【詳解】如圖，為底面四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則為正四棱錐的高，，則，設(shè)截去的高為的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則，解得，所以棱臺(tái)的體積為.故答案為：.

15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的一個(gè)取值為.【答案】（答案不唯一）【分析】當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得到，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以常數(shù)的一個(gè)取值可以為.故答案為：（答案不唯一）.16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線及其準(zhǔn)線依次交于三點(diǎn)（其中點(diǎn)在之間），若.則的面積是.【答案】/【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結(jié)合圖形依次求得與，從而求得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點(diǎn)線距離公式求得與，從而得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，設(shè)準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，所以拋物線，點(diǎn).因?yàn)?，所以直線的斜率，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)得，易得，設(shè)點(diǎn)，則，則，又直線，可化為，則點(diǎn)到直線的距離，所以.故選：B.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，且的平分線交于點(diǎn)．(1)求角(2)求線段AE的長(zhǎng)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及正弦定理邊角互化即可求解，（2）根據(jù)等面積法，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1），，，，，．（2），,，，所以,由于，，則．

18．如圖，在梯形ABCD中，，，，E為邊AD上的點(diǎn)，，，將沿直線CE翻折到的位置，且，連接PA，PB．(1)證明：；(2)Q為線段PA上一點(diǎn)，且，若二面角的大小為，求實(shí)數(shù)λ的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得平面PAE，然后利用面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而可得平面POC，即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，又，PE、平面PAE，所以平面PAE，平面ABCE，所以平面平面PAE．在梯形ABCD中，，所以，所以在四棱錐中，．因?yàn)?，所以為正三角形．取AE中點(diǎn)O，連接PO，OB，OC，易得，，因?yàn)槠矫嫫矫鍼AE，平面平面，平面可得平面，平面,所以．又，，，所以四邊形OBCE為正方形，所以，又，OC、平面POC，所以平面POC，因?yàn)槠矫鍼OC，所以;（2）由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，，，，由得，則，，設(shè)平面QBC的一個(gè)法向量為，故即，令，得，，所以，易知平面ABC的一個(gè)法向量為，所以，解得或（舍）．所以實(shí)數(shù)的值為．19．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，證明：在上單調(diào)遞增；(3)判斷與的大小關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意得，求出，，即可得出答案；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1），所以，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）由題意得所以，在上恒成立故在上單調(diào)遞增.（3），證明如下：設(shè)，則，由（2）知:在上單調(diào)遞增，則，所以，即在上單調(diào)遞增，故，即．20．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和，然后分析即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，又因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比為3，且，即，所以；（2）由（1）可得，所以，則，所以令，①所以，②①②：所以，因?yàn)?，所?21．“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)物，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來(lái)付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺(jué)得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書破萬(wàn)卷給予我們的力量，為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生(有放回試驗(yàn))，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫出的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值【分析】（1）根據(jù)分層抽樣原則可確定人中，周平均閱讀時(shí)間在，，的人數(shù)，則可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得期望值；（2）根據(jù)