1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)一般地，對于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？下面我們來研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律

楊輝三角展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；

例1

證明在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開式中x的一次項(xiàng)．例2

已知的展開式中，第

例3：的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。變式引申：1、的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是（）A.第4項(xiàng)B.第4、5項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第3、4項(xiàng)2、若展開式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于()A.210B.120C.461D.416

二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“