資料整理資料整理資料整理專題2-6逆等線之乾坤大挪移TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形2022年四川省內(nèi)江中考2022濱州中考題型二構(gòu)造SAS型全等拼接線段2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題2023·日照·二模2023·咸陽(yáng)·二模2023·深圳中學(xué)聯(lián)考2023·甘肅武威中考真題拆解2023·黃岡中考真題拆解題型三構(gòu)造相似求加權(quán)線段和2023年成都市天府新區(qū)二模2022·廣州中考真題（7種解法）2023·湖北黃石中考拆解題型四取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算湖北武漢·中考真題一、什么是逆等線段。兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且它們各自到某一定點(diǎn)的距離始終相等,那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段。二、解題步驟:1.找三角形。找一條逆等線段，一條動(dòng)線段構(gòu)成的三角形。(圖中本身就有的三角形，不要添加輔助線以后構(gòu)成的三角形)2.確定該三角形的不變量。在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，該三角形有一個(gè)邊長(zhǎng)度不變，有一個(gè)角的大小不變。3.從另一逆等線段的定點(diǎn)引一條線。使得線段長(zhǎng)度等于第二步中的那個(gè)不變的邊長(zhǎng)，與這個(gè)逆等線段的夾角等于第二步中那個(gè)不變的角。4.問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題求最值?！灸Ｐ徒庾x】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來(lái)。一般情況下，題目中有兩個(gè)沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動(dòng)，也歸為逆等線問題。觀察圖形，我們很容易發(fā)現(xiàn)，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過(guò)平移或者作平行等方法構(gòu)造全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段轉(zhuǎn)移，從而使逆等線段產(chǎn)生關(guān)系，最終解決問題。

這樣解釋很籠統(tǒng)很枯燥，我們以具體例題來(lái)描述如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等。②即過(guò)點(diǎn)C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線，本題中，也可以利用三角形三邊關(guān)系去求最值⑤求BF題型一平移，對(duì)稱或構(gòu)造平行四邊形2022年四川省內(nèi)江中考如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．【答案】10【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連接CD，CE，若AC＝2，則CD+CE的最小值為．【答案】4解：如圖：構(gòu)造矩形ACBF，連接DF，EF，CF交AB于點(diǎn)O，則OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四邊形CEFD為平行四邊形，∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案為：4．如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

【答案】【分析】證得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接

由題意得：∵∴∴∵∴∴的最小值為2022濱州中考如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O，F(xiàn)，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF＋FE＋EC的最小值為_________．AADBCFEO【答案】【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．∵EF⊥AC，∴由矩形內(nèi)十字架模型可知，＝，∴＝，∴EF＝．以EF，EC為鄰邊作□EFGC，則EC＝FG，CG＝EF＝，AADBCFEOG∠ACG＝∠EOC＝90°．在Rt△ACG中，AG＝＝，∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，∴AF＋FE＋EC的最小值為．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)Q在邊BC上，且，連接CP，QD，則的最小值為．【答案】13【分析】連接BP，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=6，連接PE，CE，PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=6，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根據(jù)勾股定理可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，∴DP=QB，DPBQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PBDQ，PB=DQ，則PC+QD=PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=6，連接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，連接CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∵BE=2AB=12，BC=AD=5，∴CE==13．∴PC+PB的最小值為13如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，．（1）的長(zhǎng)為；（2）的最小值為．【答案】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)求得AB與BM，再由勾股定理求得AM；(2)過(guò)F作FG⊥AB于G，證明△ABM≌△FGE得AM=EF，再將EF沿EM方向平移至MH，連接FH，當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此時(shí)的AH的值便可．【詳解】解：(1)∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=BC=1，∴，故答案為：；(2)過(guò)F作FG⊥AB于G，則FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°，∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°，∴∠BAM=∠GFE，∴△ABM≌△FGE(ASA)，∴AM=EF，將EF沿EM方向平移至MH，連接FH，則EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH，當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，此時(shí)，∴EM+AF的最小值為題型二構(gòu)造SAS型全等拼接線段如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，則BD＋EF的最小值為___________．AABCDEF【答案】eq\r(,13)提示：作BG∥AC且BG＝AB，連接GE，作GH⊥BC于HAABCDEFGH則∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝eq\r(,3)BF＝eq\r(,3)，HF＝2eq\r(,3)，GF＝eq\r(,13)△ABD≌△BGE（SAS），BD＝GEBD＋EF＝GE＋EF≥GF＝eq\r(,13)，最小值為eq\r(,13)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線AC和邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，則BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【答案】3eq\r(,7)提示：作AG⊥AC且AG＝BC，連接BG、EGDDABCEFGH則△GAE≌△BCF，BF＝GEBE＋BF＝BE＋GE≥BG解△ABG得BG＝3eq\r(,7)，BE＋BF的最小值是3eq\r(,7)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為邊BC上一點(diǎn)，AE＝AD，M、N分別為線段AE、BE上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝EN，連接DM、DN，則DM＋DN的最小值為___________．AABCDNEM【答案】4eq\r(,2)提示：連接ANAABCDNEMA′由題意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN延長(zhǎng)AB至點(diǎn)A'，使A'B＝AB，連接A'N、A'D則AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D當(dāng)A'、N、D三點(diǎn)共線時(shí)DM＋DN的值最小此時(shí)A'N＝DN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'D＝DN∴點(diǎn)N在線段AD的垂直平分線上∴BN＝EQ\F(1,2)BC＝2，∴AN＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4eq\r(,2)即DM＋DN的最小值為4eq\r(,2)如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE＋AF的最小值為___________．AADBCEF【答案】2eq\r(,2)提示：作BG⊥AB且BG＝AB，連接AG、EGAADBCEFG則AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30°又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)即AE＋AF的最小值為2eq\r(,2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，6），C（4，3），CD⊥y軸于D，連接OC，E、F分別是線段CD、OC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE＝OF，連接AE、AF，則AE＋AF的最小值為___________，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為___________．yyxOADCEF【答案】（EQ\F(2,13)，0）提示：在x軸上取點(diǎn)B（5，0），連接AB、AC、BFyxyxBOADCEFyxBOADCEF∵A（0，6），C（4，3），CD⊥y軸，∴AD＝OD＝3∴AC＝5＝BO，CD是AO的垂直平分線，∴CA＝CO∴∠ACE＝∠OCE＝∠BOF又∵CE＝OF，∴△ACE≌△BOF（SAS），∴AE＝BF∵A（0，6），B（5，0），∴AB＝eq\r(,61)∴AE＋AF＝AF＋BF≥AB＝eq\r(,61)，即AE＋AF的最小值為eq\r(,61)此時(shí)點(diǎn)F落在線段AB上，即直線AB與OC的交點(diǎn)易求直線AB：y＝－EQ\F(6,5)x＋6，直線OC：y＝EQ\F(3,4)x可得F（EQ\F(40,13)，EQ\F(30,13)），CE＝OF＝EQ\F(50,13)，DE＝CD－CE＝4－EQ\F(50,13)＝EQ\F(2,13)∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（EQ\F(2,13)，0）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到△AB'C'，M、N分別為邊AC'、B'C'上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝C'N，連接CM、CN，則CM＋CN的最小值為___________．AAB′C′NMCB【答案】4eq\r(,2)提示：連接AN由題意，AM＝C'N，∠C'＝∠ACB＝∠CAC'＝30°，AC＝AC'∴△ACM≌△C'AN，∴CM＝AN延長(zhǎng)AB'至點(diǎn)A'，使A'B'＝AB'，連接A'N、A'CAAB′C′NMCBA′則AN＝A'N，∴CM＋CN＝AN＋CN＝A'N＋CN≥A'C當(dāng)A'、N、C三點(diǎn)共線時(shí)CM＋CN的值最小此時(shí)A'N＝CN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'C＝CN∴點(diǎn)N在線段AC的垂直平分線上∴B'N＝EQ\F(1,2)AC＝AB＝AB'，∴AN＝eq\r(,2)AB'＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴CM＋CN≥A'C＝2AN＝4eq\r(,2)即CM＋CN的最小值為4eq\r(,2)2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，且，證明，可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，證明，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，如圖1所示，，又，，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)如圖2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，即取得最小值時(shí)，CM的長(zhǎng)為，故答案為：．2023·日照·二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)D，E分別為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】/【分析】如圖：過(guò)點(diǎn)C作使，連接；證可得，；將最小值可轉(zhuǎn)化成最小值，則當(dāng)A、D、B在同一直線上時(shí)，最小，即長(zhǎng)度；；再根據(jù)求得、，即；再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線表達(dá)式，最后將代入表達(dá)式求得x的值即可解答．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作使，連接，在和中，，∴，∴，，∴最小值可轉(zhuǎn)化成最小值，當(dāng)A、D、B在同一直線上時(shí)，最小，即長(zhǎng)度；∵，∴，∴設(shè)表達(dá)式為:，由題意可得：，解得：，∴表達(dá)式為:，將代入得:，解得：，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．2023·咸陽(yáng)·二模如圖，在中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，在邊上截取，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由“”可證，可得，則的最小值為，由勾股定理可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，并截取，連接，設(shè)交于點(diǎn)E，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值為，如圖，過(guò)點(diǎn)B作于F，

∴，∴，∴，∴，，∴，∴2023·深圳中學(xué)聯(lián)考如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取，則,證明得出，進(jìn)而證明，即可證明，得出，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，取，則,連接，

∵，，∴點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，又，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，在中，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AD＝BE，連結(jié)BD，CE，則BD+CE的最小值為．【答案】解：過(guò)B作BF∥AC，在平行線上取BF＝AB，連接EF，如圖：∴∠EBF＝∠A，∵BF＝AB，BE＝AD，∴△BEF≌△ADB（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，當(dāng)C，E，F(xiàn)共線時(shí)，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即為CF的長(zhǎng)度，∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，∴CF＝＝，∴BD+CE最小為，故答案為：．如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，連接ET，AT．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值為，故答案為．2023·甘肅武威中考真題拆解如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；（2）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）如圖2，由題意得，，連接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），∴的最小值為，∵，∴，即的最小值為．2023·黃岡中考真題拆解已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．①求m的值；②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．【答案】，【分析】①作，且使，連接．根據(jù)證明，可得，即Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最?。饔邳c(diǎn)G，設(shè)，則，根據(jù)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，燃然后利用勾股定理求解即可；②作軸，交于點(diǎn)T，求出解析式，設(shè)，，利用三角形面積公式表示出S，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的取值范圍，結(jié)合①中結(jié)論即可求解．【詳解】解：①如圖2，作，且使，連接．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴Q，F(xiàn)，H共線時(shí)，的值最小．作于點(diǎn)G，∵，，∴，∵，∴，∴．設(shè)，則，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴，，∴；

②如圖3，作軸，交于點(diǎn)T，待定系數(shù)法可求解析式為，設(shè)，，則，∴，∴，∴，∴．

題型三構(gòu)造相似求加權(quán)線段和2023年成都市天府新區(qū)二模如圖，在中，，，．D，E分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】過(guò)作于，使，連接、，即可得到，，即最小值為的長(zhǎng)．【詳解】方法一：過(guò)作于，使，連接、，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴的最小值為方法二：，則，，∴，設(shè)，∴∴可以看成點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值如圖，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，D點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線上，且CE＝2BD，則AE＋2CD的最小值為________【答案】3解：作CF⊥CB，且使得CF=6，連接EF過(guò)點(diǎn)A做AG⊥CF，交FC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G∵CFCB∴△FCE∽△CBD，EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF當(dāng)A、E、F三點(diǎn)一線時(shí)，AE+EF取到最小值，此時(shí)AE+EF=AF易知：四邊形ABCG為正方形AG=3,CG=3FG=9在Rt△FAG中，由勾股定理得AF=3AE+2CD的最小值為3如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABC＝60°．E，F(xiàn)分別是BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，且CE＝DF，則AE+AF的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓喝鐖D，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，連接AT．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB＝∠ADC＝30°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝1，∵AC⊥CT，∴∠ECT＝30°，∴∠ADF＝∠ECT，∵CE＝DF，CT＝DA，∴△ADF≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴AE+AF＝AE+ET≥AT，∵∠ACT＝90°，AC＝CT＝1，∴AT＝＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值為．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓哼B接DF，延長(zhǎng)AB到T，使得BT＝AB，連接DT．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，∵DT＝＝∴AF+2AE≥，∴AF+2AE的最小值為如圖，等腰直角△ABC中，斜邊BC=2，點(diǎn)D、E分別為線段AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，，求的最小值.【答案】10解：作BF⊥BC并且使得BF=2，連接EF∵BEAD=BFAC=22=2∴EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EF取到最小值，此時(shí)AE+EF=AF反向延長(zhǎng)BF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=10∴AE+2CD的最小值為102022·廣州中考真題（7種解法）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設(shè)BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即；作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+CH==12．【其它幾何構(gòu)造方法】法2：核心是處理，剛好有，還有CE和CF兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)需要拼一起，所以考慮把△CDF放大倍后拼到BE處過(guò)B作CE＋＝CE法3：過(guò)D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE則法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼過(guò)來(lái)，延長(zhǎng)CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略法5：CE對(duì)稱轉(zhuǎn)化為AE，過(guò)B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB?△CDF∽△IBE由于對(duì)稱性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~這個(gè)算湊數(shù)吧法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼過(guò)來(lái)延長(zhǎng)DC到G使作交AD于H作DO⊥DC，且DO＝AB＝6?△CDF∽△GDH，?△DOH≌△BCE，CE＝OH則有法7：先把BE縮小放大倍到IH，再把△CDF拼過(guò)來(lái)在BC上取，過(guò)H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，則HG＝AB?△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF?△CDF≌△GHI?CF＝GH故2023·湖北黃石中考拆解如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．

【答案】．【分析】作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．【詳解】解：作，

設(shè)，，且相似比為，則，故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，在中，設(shè)邊上的高為，則，即，解得：，則，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，即的最小值為．題型四取到最小值時(shí)對(duì)其它量進(jìn)行計(jì)算如圖，為等邊的高，M、N分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】105°【分析】解：如圖，作，使，連接交于點(diǎn)F，連接,則.可證，從而得證，于是，.當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，取最小值．于是．【詳解】解：如圖，作，使，連接交于點(diǎn)F，連接,∵是等邊三角形，∴，.∴，∴，∵，∴.∴.又∵，∴.∴.∴.當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，,取最小值，則取最小值．此時(shí)，．故答案為：

如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，點(diǎn)M，N分別為CB，CA上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持BM＝CN，則當(dāng)AM+BN取最小值時(shí)，CN＝ ．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BDAC，使BD＝BC＝2，連接AD與BC交于點(diǎn)，連接DM，可證得，得到BN＝DM，AM+BN＝AM+DM，則有當(dāng)A、M、D在同一直線上時(shí)，即M在點(diǎn)位置時(shí)，即有，利用BDAC，證得，得到，設(shè)CN＝BM′＝x，則CM′＝2﹣x，再利用已知的線段長(zhǎng)度即可求出x，即問題得解．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BDAC，使BD＝BC＝2，連接AD與BC交于點(diǎn)，連接DM，如圖：在△CBN與△BDM中，，∴，∴BN＝DM，∴AM+BN＝AM+DM，∴當(dāng)A、M、D在同一直線上時(shí)，即M在點(diǎn)位置時(shí)，A