資料整理資料整理資料整理專題2-3八種隱圓類最值問題，圓來如此簡(jiǎn)單在中考數(shù)學(xué)中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會(huì)出現(xiàn)，明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。正所謂：有“圓”千里來相會(huì)，無“圓”對(duì)面不相逢。“隱圓模型”的題的關(guān)鍵突破口就在于能否看出這個(gè)“隱藏圓”。一旦“圓”形畢露，則答案手到擒來！TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理題型一定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題2023·邵陽市中考真題2023·廣西南寧市二模2022·遼寧撫順·中考真題2022·長(zhǎng)春·中考真題題型二直角的對(duì)邊是直徑2023·菏澤市中考真題2022·通遼·中考真題2023·汕頭市金平區(qū)一模2023·廣州市天河區(qū)三模2022·成都市成華區(qū)二診題型三對(duì)角互補(bǔ)得圓2023年·廣元市一模題型四定弦定角得圓2023·成都市新都區(qū)二模2023·成都市金牛區(qū)二模2023·達(dá)州·中考真題題型五四點(diǎn)共圓題型六相切時(shí)取到最值2023·隨州市中考真題2022·江蘇無錫·中考真題2022揚(yáng)州中考真題題型七定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問題題型八米勒角（最大張角）模型徐州中考知識(shí)點(diǎn)梳理一、定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓在幾何圖形中，通過折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為繞定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的圓，從而畫出動(dòng)點(diǎn)軌跡，并進(jìn)行計(jì)算 二、直角的對(duì)邊是直徑前世：在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對(duì)的∠C=90°今生：若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑徑的圓上．(此類型本來屬于定弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊，故單獨(dú)分為一類)

三、對(duì)角互補(bǔ)前世：在⊙O上任意四點(diǎn)A，B，C，D所圍成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)今生：若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓 四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一種變形形式，其依據(jù)是已知定角，則根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓弧，再畫出對(duì)應(yīng)圖形進(jìn)行計(jì)算．前世：在⊙O中，若弦AB長(zhǎng)度固定則弦AB所對(duì)的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運(yùn)用) 今生：若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知C點(diǎn)并不是唯一固定的點(diǎn)，C在⊙O的優(yōu)弧ACB上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)；等于90°，則C在半圓上運(yùn)動(dòng)；大于90°則C在劣弧運(yùn)動(dòng))

五、四點(diǎn)共圓模型 前世:在⊙O中，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，則有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)今生:若四邊形ABCD中有∠1=∠2(通常情況下∠5=∠6對(duì)頂角相等，故不需要∠3=∠4，實(shí)際應(yīng)用中長(zhǎng)用∠1=∠2，∠5=∠6)則ABCD四點(diǎn)(某些不能直接使用四點(diǎn)共圓的地區(qū)，可以通過證明兩次三角形相似也可)，選填題可以直接使用六、定角定高（探照燈模型）什么叫定角定高，如右圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則△ABC的面積有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型? 問題解決：如果頂角和高，都為定值，那么三角形ABC的外接圓的大小，也就是半徑，是會(huì)隨著A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化的。從而弦BC的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，它會(huì)有一個(gè)最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面積就有一個(gè)最小值。所謂定角定高是指三角形的一條邊和這條邊上的高是定值．一般是考查直角三角形，此時(shí)我們可以取斜邊中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)及斜垂關(guān)系來解決面積最小值問題；通過構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來解決周長(zhǎng)最小值的問題．這類問題都是在等腰時(shí)取得最小值．當(dāng)定角不是直角時(shí)，通過構(gòu)造平行線的對(duì)稱點(diǎn)來解決周長(zhǎng)最小值的方法仍然適用，而面積最小值可以通過構(gòu)造三角形的外心或外接圓來解決．七、米勒角（最大張角）問題【問題提出】己知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P在何處時(shí)，∠APB最大?米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題.米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大。知識(shí)鋪墊：對(duì)于同一個(gè)圓來說，同弧所對(duì)的圓周角＞圓外角，即 問題解決證明：在直線l上任取一點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），連接AQ、BQ，∠AQB即為圓O的圓外角∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大∴當(dāng)圓與直線l相切時(shí)，∠APB最大

題型一定點(diǎn)定長(zhǎng)得圓如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱性得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是在以A圓心，3為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)圓模型，在矩形中利用勾股定理求出線段長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，∵在矩形ABCD中，AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，G為EF的中點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為？【答案】4【簡(jiǎn)析】簡(jiǎn)單：G的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求AP+PG典型的“將軍飲馬”問題，故做A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，則，當(dāng)A'、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)闉楣潭c(diǎn)，G在圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)A'、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)A'G最短，為42023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】由題意可得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是2023·邵陽市中考真題如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類討論當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)在上時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵在矩形中，，∴，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵∴在為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)當(dāng)在上時(shí)，如圖所示，此時(shí)

綜上所述，的最小值為2023·廣西南寧市二模在矩形中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到，連接，若的最小值為2，則的長(zhǎng)為．

【答案】4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形不等式得到，當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】∵，∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵,∴的最小值為2，∴，∵矩形，，∴∴2022·遼寧撫順·中考真題如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)是．【答案】【詳解】解：①分析所求線段端點(diǎn)：是定點(diǎn)、是動(dòng)點(diǎn)；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡：正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，則，因此動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓周上，如圖所示：③最值模型為點(diǎn)圓模型；④最小值對(duì)應(yīng)的線段為；⑤求線段長(zhǎng)，連接，如圖所示：在中，，正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，則，根據(jù)勾股定理可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為，接下來，求的長(zhǎng)：連接，如圖所示根據(jù)翻折可知，設(shè)，則根據(jù)等面積法可知，即整理得，解得如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分別是邊AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CF＝2AE，連接EF，將四邊形ABFE沿EF翻折，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'，連接A'D，則A'D的最小值為___________．AADEA′BCFB′【答案】EQ\F(eq\r(,73)－5,3)提示：連接AC交EF于點(diǎn)O，連接OA'、OD，作OH⊥AD于HAADEA′OBCFB′H則△AOE∽△COF∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝EQ\F(1,3)AC＝EQ\F(5,3)∴AH＝EQ\F(4,5)AO＝EQ\F(4,3)，OH＝EQ\F(3,5)AO＝1∴DH＝AD－AH＝4－EQ\F(4,3)＝EQ\F(8,3)，OD＝eq\r(,OH2＋DH2)＝EQ\F(eq\r(,73),3)∴A'D≥OD－OA'＝EQ\F(eq\r(,73)－5,3)如圖，半圓O的直徑AB的長(zhǎng)為6，長(zhǎng)度為2的弦CD在半圓上滑動(dòng)，E是CD的中點(diǎn)，DF⊥AB于F，連接AC、EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)最大時(shí)，AC的長(zhǎng)為___________．AABOCDEF【答案】2eq\r(,3)提示：連接OD、OE，取OD的中點(diǎn)M，連接ME、MFABABOCDEFMABOCDEFMH則OE⊥CD，ME＝MF＝EQ\F(1,2)ODEF≤ME＋MF＝OD，當(dāng)E、M、F三點(diǎn)共線時(shí)EF最大此時(shí)四邊形EOFD為矩形，CD∥AB連接OC，作CH⊥AB于H則OH＝EQ\F(1,2)CD＝1，AH＝2，CH＝2eq\r(,2)，AC＝2eq\r(,3)2022·長(zhǎng)春·中考真題如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)D到邊的距離為__________；(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；(3)連結(jié)，當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積；(4)當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)3(2)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；(3)(4)或【思路點(diǎn)撥】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接DM，∵AB=4，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即點(diǎn)D到邊的距離為3；故答案為：3（2）解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，；綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；（3）解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，∴，根據(jù)題意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；（4）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，連接AA′，A′B，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M(jìn)=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，，過點(diǎn)作于點(diǎn)G′，則，取的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵M(jìn)T+BT=BM=2，∴，∴，解得：；綜上所述，t的值為或題型二直角的對(duì)邊是直徑如圖，在中，，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【思路點(diǎn)撥】取的中點(diǎn)F，連接，，CF，則．由與相切，可得，通過解直角三角形可得，，．根據(jù)是的直徑，可得是直角三角形，從而，因此，即的最小值為．【詳解】取的中點(diǎn)F，連接，，CF，則∵與相切，∴，即，∵，，∴，．∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴在中，．∵是的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴，即的最小值為（2021威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE＝BF，連接DE與AF交于點(diǎn)G，連接BG，則BG的最小值為_________．CCBGDAEF【答案】【解析】取AD的中點(diǎn)M，連接BM，GM，CCBMGDAEF則DM＝AM＝＝＝1，∴BM＝＝＝．∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°．∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF．∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°．∵GM＝＝1．∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM，∴BG的最小值為．（2023·嘉興·二模）在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作交于點(diǎn)，連結(jié)．點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】作于，取中點(diǎn)，連接，，由直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，得到的長(zhǎng)，由勾股定理求出的長(zhǎng)，由，即可求出的最小值．【詳解】解：如圖，作于，取中點(diǎn)，連接，，

，，，，，是中點(diǎn)，，，是中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，的最小值是如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝6，OC＝4，點(diǎn)D是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊作矩形CDEF，使得邊EF經(jīng)過點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)F到原點(diǎn)O的距離最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為___________．xxBAODCyEF【答案】（EQ\F(24,5)，EQ\F(32,5)）提示：取BC中點(diǎn)M，連接OF、OM、FMxxBAODCyEFMGH則FM＝CM＝EQ\F(1,2)BC＝3，OM＝eq\r(,CM2＋CO2)＝5OF≤OM＋FM＝8，當(dāng)點(diǎn)F在OM延長(zhǎng)線上時(shí)OF最大作CG⊥OF于G，F(xiàn)H⊥BC于H則△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG在△COM中，由面積法可得CG＝EQ\F(12,5)，勾股得MG＝EQ\F(9,5)∴FH＝EQ\F(12,5)，MH＝EQ\F(9,5)，∴F（EQ\F(24,5)，EQ\F(32,5)）2023·菏澤市中考真題如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，證明，可知點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，∵，∴，，∴，的最小值為（2023·武漢·一模）如圖，中，，，．點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，則的面積是．

【答案】【思路點(diǎn)撥】取中點(diǎn)O，連接，，由即可得到，再由，可得當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，有最小值，然后利用直角三角形的性質(zhì)可得，即可推出，則是等邊三角形，求得的面積，根據(jù)可得．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，連接，，

∵，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在中，，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，有最小值，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴2022·通遼·中考真題如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持，當(dāng)，兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．【詳解】解：為的直徑，∴∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在△ABC的內(nèi)部，如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為，連接交于點(diǎn)，連接∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)處時(shí)，CP有最小值，∵∴在中，∴∠∴∴兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（2023·廣州·三模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E、F分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，過D作的垂線，垂足為H．

（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．【答案】1【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)F作于M，由條件可得四邊形是矩形，由題意可得，從而問題解決；（2）連接交于點(diǎn)O，可證明，易得，由知，，即點(diǎn)H在以中點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，的值最小，由三角函數(shù)知識(shí)即可求得此時(shí)最小值．【詳解】解：（1）過點(diǎn)F作于M，如圖，則；∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，；∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：45；

（2）連接交于點(diǎn)O，如圖，由矩形性質(zhì)知：，，∴，，∴，∵，∴，∴，

由勾股定理得，∴，∵，設(shè)中點(diǎn)為M，∴，即點(diǎn)H在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由于點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即與重合時(shí)，的值最小，∵，，∴，即的最小值為1（2023·安陽·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，連接，則長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】連接，，，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，得到平行四邊形，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接，則經(jīng)過點(diǎn)O，且，G在以BO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)H，連接，根據(jù)三角形三邊不等關(guān)系式，計(jì)算最值即可．【詳解】如圖，連接，，，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)O，∵正方形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，

∴，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接，∵正方形，∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)H，連接，∵，∴，∵∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵正方形的邊長(zhǎng)為，∴，∴，∴，，∴長(zhǎng)的最小值為（2023·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得，推得，則，根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，由此可解答．【詳解】解：如圖1，連接，

四邊形是矩形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，如圖2：

當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∴，∴，∴的最小值為2023·汕頭市金平區(qū)一模如圖，的直徑，點(diǎn)C為中點(diǎn)，弦經(jīng)過點(diǎn)C，且．點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，連接．于點(diǎn)G．若，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖，連接，，取的中點(diǎn)，由．可得在以R為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再求解，，可得，，則，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)，∵．∴在以R為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，

∵，點(diǎn)C為中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴2023·廣州市天河區(qū)三模如圖，矩形中，，，點(diǎn)E、F分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，過D作的垂線，垂足為H．

（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．【答案】1【思路點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)F作于M，由條件可得四邊形是矩形，由題意可得，從而問題解決；（2）連接交于點(diǎn)O，可證明，易得，由知，，即點(diǎn)H在以中點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，的值最小，由三角函數(shù)知識(shí)即可求得此時(shí)最小值．【詳解】解：（1）過點(diǎn)F作于M，如圖，則；∵四邊形為矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，；∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：45；

（2）連接交于點(diǎn)O，如圖，由矩形性質(zhì)知：，，∴，，∴，∵，∴，∴，

由勾股定理得，∴，∵，設(shè)中點(diǎn)為M，∴，即點(diǎn)H在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由于點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即與重合時(shí)，的值最小，∵，，∴，即的最小值為12022·成都市成華區(qū)二診如圖，在中，．若點(diǎn)為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)度的最小值為，最大值為．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，即當(dāng)點(diǎn)D在AC右側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)D在AC左側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，再分別計(jì)算即可．【詳解】①如圖，以AC為底邊，在AC的右側(cè)作等腰三角形AOC，使則以O(shè)為圓心，以CO長(zhǎng)為半徑畫優(yōu)弧，連接BO交于點(diǎn)E則當(dāng)點(diǎn)D在AC右側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)O作于F過點(diǎn)O作于M四邊形MCFO為矩形在中，當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)E不重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)E重合時(shí)，當(dāng)B、D、O三點(diǎn)共線時(shí)（此時(shí)，點(diǎn)D與E重合），BD有最小值為②如圖，以AC為底邊，在AC的左側(cè)作等腰三角形AC，使則以為圓心，以C長(zhǎng)為半徑畫優(yōu)弧，連接B并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E則當(dāng)點(diǎn)D在AC左側(cè)時(shí)，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)O作于F同①可求在中，當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)E不重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D于點(diǎn)E重合時(shí)，當(dāng)B、D、O三點(diǎn)共線時(shí)（此時(shí)，點(diǎn)D與E重合），BD有最大值為故答案為：，如圖，在矩形中，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為．

【答案】/【思路點(diǎn)撥】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半可得，推得，則，根據(jù)圓周角定理可知：點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，由此可解答．【詳解】解：如圖1，連接，

四邊形是矩形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，如圖2：

當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∴，∴，∴的最小值為如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過程中，線段長(zhǎng)度的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)O作于N，易得四邊形為矩形，，推出和的長(zhǎng)，根據(jù)，得到當(dāng)O，H，D共線時(shí)，最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)O作于N．

則：，∵矩形，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)O也是定點(diǎn)，當(dāng)O，H，D共線時(shí)，此時(shí)最小，∴DH的最小值為題型三對(duì)角互補(bǔ)得圓（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，∠BAC=60°，點(diǎn)E在AB上，且BE：AB=1：3，點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以線段EF為斜邊在點(diǎn)B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF，連接CG，當(dāng)CG最小時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】如圖1，取EF的中點(diǎn)O，連接OB，OG，作射線BG，證明B，E，G，F(xiàn)在以O(shè)為圓心的圓上，得點(diǎn)G在∠ABC的平分線上，當(dāng)CG⊥BG時(shí)，CG最小，此時(shí)，畫出圖2，根據(jù)△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，證明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，設(shè)AB=m，根據(jù)BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根據(jù)含30度角的直角三角形可得AD，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1，取EF的中點(diǎn)O，連接OB，OG，作射線BG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°∵O是EF的中點(diǎn)，∴OB=OE=OF∵∠EGF=90°，O是EF的中點(diǎn)，∴OG=OE=OF∴OB=OG=OE=OF∴B，E，G，在以O(shè)為圓心的圓上，∴∠EBG=∠EFG,∵∠EGF=90°，EG=FG，∴∠GEF=∠GFE=45°∴∠EBG=45°∴BG平分∠ABC，∴點(diǎn)G在∠ABC的平分線上，當(dāng)CG⊥BG時(shí)，CG最小，此時(shí)，如圖2，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，∵CG⊥BG∴△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，∠BGC=90°∴BG=CG∵∠EGF=∠BGC=90°∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,∴∠EGB=∠FGC,在△EGB和△FGC中，∴△EGB≌△FGC(SAS)，∴BE=CF∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC設(shè)AB=m∵BE∶AB=1∶3∴CF=BE=m，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°∴AC=2AB=2m

∴BC=，∴AD=m，∴如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝__________.解：如圖，連接BF，取BF的中點(diǎn)O，連接OE，OC．∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴四邊形EFCB對(duì)角互補(bǔ)，∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最小值為．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且BD為直徑，取BD中點(diǎn)O，則圓心為點(diǎn)O，連接AO、CO，取AO中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD為等邊三角形，∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，∴∠AFD＝90°，則DF＝，∵EF是△AOC的中位線，∴EF＝OC＝1，在△DEF中，DF﹣EF≤DE，∴當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，DE取到最小，最小值為．2023年·廣元市一模如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，且，點(diǎn)M、N分別為、的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖，連接，交于點(diǎn)，證明，，連接，，而，，證明，，可得，，，在以為直徑的圓上，，則在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最短，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，，連接，，而，，∴為等腰直角三角形，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，，，在以為直徑的圓上，∴，∴在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最短，∵為的中點(diǎn)，∴，此時(shí)為等腰直角三角形，∴（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖，作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．說明，，，四點(diǎn)共圓，求出，利用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的外接圓，連接，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵是等邊三角形，∴，，∵，∴點(diǎn)在的外接圓上，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最大值為題型四定弦定角得圓如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠DAC＝45°，則AB2＋AC2的最大值為___________．DDBCA【答案】6提示：作△ADC的外接圓，作EC⊥BC交圓于點(diǎn)E，連接BE、CE、DEDDBCAHE作AH⊥BC于H，則DE是圓的直徑∵∠DEC＝∠DAC＝45°，∴△EDC是等腰直角三角形∵BC＝2，∴BD＝DC＝1，∴DE＝eq\r(,2)DC＝eq\r(,2)∵AB2＝AH2＋BH2＝AH2＋(1＋DH)2，AC2＝AH2＋CH2＝AH2＋(1－DH)2∴AB2＋AC2＝AH2＋(1＋DH)2＋AH2＋(1－DH)2＝2＋2(AH2＋DH2)＝2＋2AD2≤2＋2DE2＝6即AB2＋AC2的最大值為6如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝120°，連接AP，則AP長(zhǎng)的最小值為___________．AABCP【答案】2eq\r(,3)提示：作BD⊥AC于D∵∠BAC＝60°，∴AD＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(5,2)，BD＝EQ\F(5eq\r(,3),2)DC＝AC－AD＝EQ\F(11,2)，BC＝eq\r(,BD2＋DC2)＝7∵∠BPC＝120°，∴點(diǎn)P在以BC為弦的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)AABCOPDEH設(shè)圓心為O，連接OA、OB、OC、OP則∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝EQ\F(eq\r(,3),3)BC＝EQ\F(7eq\r(,3),3)設(shè)圓弧交AC于點(diǎn)E，連接BE、OE則OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE設(shè)垂足為H，則BH＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(5,2)，AH＝EQ\F(5eq\r(,3),2)OH＝eq\r(,OB2－BH2)＝EQ\F(11eq\r(,3),6)，AO＝AH＋OH＝EQ\F(13eq\r(,3),3)，∴AP≥AO－OP＝2eq\r(,3)，即AP長(zhǎng)的最小值為2eq\r(,3)如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且BD＝3DC，若AD＝1，則△ABC的面積的最大值為____________．AABCD【答案】EQ\F(4eq\r(,3),3)提示：過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)EAABCDE則△BDE∽△CDA∵BD＝3DC，∴DE＝3AD＝3，∴AE＝4∵∠BAC＝120°，∴∠ABE＝60°∴△ABE是定邊定角面積最大問題，a＝4，θ＝30°∴△ABE的面積的最大值為：EQ\F(a2,4tanθ)＝4eq\r(,3)∴△ABD的面積的最大值為eq\r(,3)，△ABD的面積的最大值為EQ\F(4eq\r(,3),3)如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中線，AD＝2，求△ABC面積的最大值．AABCD【答案】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CEAABCDE則△ABD≌△ECD，∴AB＝CE，∠B＝∠DCE∴AE＝2AD＝4，AB∥CE，∴∠ACE＝150°∴點(diǎn)C在以AE為弦、圓周角為150°的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)當(dāng)AC＝CE即AB＝AC時(shí)，△ABC的面積取得最大值此時(shí)AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝15°解△ABD，可得BD＝4－2eq\r(,3)，BC＝8－4eq\r(,3)∴△ABC面積面積最大值為8－4eq\r(,3)2023·成都市新都區(qū)二模如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，動(dòng)點(diǎn)在邊上（與點(diǎn)，均不重合），點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)，連接當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】作輔助線，建立全等三角形，證明和，證明，再作的外接圓，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，計(jì)算和的長(zhǎng)，計(jì)算其差可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，是等邊三角形，四邊形是菱形，，

，，，，，，，，，，，，，，，如圖，作的外接圓，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，連接，交于，交于，此時(shí)最小，是的垂直平分線，，，，，，，，，，，的最小值為2023·成都市金牛區(qū)二模在菱形中，，點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊上一動(dòng)點(diǎn)，與始終相等，連結(jié)，交點(diǎn)為E，連結(jié)，則的最小值是．【答案】【思路點(diǎn)撥】先證明，根據(jù)定長(zhǎng)定角構(gòu)造輔助圓，當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)最小，設(shè)半徑，然后利用解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，表示出即可求出的最小值．【詳解】解：∵在菱形中，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小保持不變，作的外接圓，圓心為O，連接、連接交于點(diǎn)F，則，，當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)最小，設(shè)，則菱形邊長(zhǎng)為，，∴在中，在中，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴的最小值是2023·達(dá)州·中考真題在中，，，在邊上有一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為．【答案】【思路點(diǎn)撥】如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；結(jié)合圓周角定理及垂徑定理易得，再通過圓周角定理、垂直及垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理易得，從而易證可得即勾股定理即可求得在中由三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，作的外接圓，圓心為，連接、、，過作于，過作，交的垂直平分線于，連接、、，以為圓心，為半徑作圓；，為的外接圓的圓心，，，，，，，在中，，，，即，由作圖可知，在的垂直平分線上，，，又為的外接圓的圓心，，，，，，，，即，，在中，，在中，，即最小值為，故答案為：．

題型五四點(diǎn)共圓如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則EQ\F(DE,AD)的最大值為___________．CCABED【答案】EQ\F(1,3)【解析】作△ABC的外接圓，則AB是圓的直徑，點(diǎn)E在圓上CCABEFD作EF⊥BC于F，則△ADC∽△EDF，EQ\F(DE,AD)＝EQ\F(EF,AC)當(dāng)點(diǎn)E為弧BC中點(diǎn)時(shí)，EF最大，EQ\F(DE,AD)的值最大圓的半徑為EQ\F(5,2)，此時(shí)EF＝EQ\F(5,2)－EQ\F(3,2)＝1，EQ\F(DE,AD)＝EQ\F(1,3)如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq\r(,3)，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過A、D、E三點(diǎn)的圓交EC于點(diǎn)F，連接AF，則AF的最小值是___________．AABCEDF【答案】eq\r(,7)－2提示：連接DF，則∠EFD＝∠EAD＝120°－90°＝30°AABCEDFOH∴∠DFC＝150°，∴點(diǎn)F在以DC為弦，圓心角為150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)取圓弧的圓心O，連接AO、CO、FO，作OH⊥BC于H則∠COH＝30°∵AB＝AC＝eq\r(,3)，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30°∴AD＝1，DC＝2，DH＝HC＝1，∴FO＝CO＝2AO＝eq\r(,AC2＋CO2)＝eq\r(,7)∴AF≥AO－FO＝eq\r(,7)－2如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，BD＝2DC，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝120°，連接EF，則線段EF長(zhǎng)的最小值為___________．AABCDEF【答案】eq\r(,3)提示：作△DEF的外接圓⊙O，連接OA、OD、OE、OF，作AG⊥BC于G，OH⊥EF于HAABCDEFGHO∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝30°∴AG＝1∵∠EDF＝120°，∴∠EOF＝120°∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°∵∠BAC＝120°，∴∠BAC＝∠EOF∴O、A、E、F四點(diǎn)共圓（或推導(dǎo)相似）∴∠OAF＝∠OEF＝30°∴∠BAO＝150°，∴∠BAO＋∠B＝180°∴AO∥BC，∴OD≥AG，∴OD≥1∵OE＝OD，∴OE≥1，∴EH≥EQ\F(eq\r(,3),2)，∴EF≥eq\r(,3)題型六相切時(shí)取到最值如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，BG⊥AE于點(diǎn)G，連接CG并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則AF的最大值為___________．AADBCEGF【答案】EQ\F(9,8)提示：∵BG⊥AE，∴點(diǎn)G在以AB為直徑的一段圓弧上AADBCEGFO顯然當(dāng)CG與圓弧相切時(shí)AF最大設(shè)圓心為O，連接OF、OG、OC則OG⊥CF，AF＝FG，OG＝EQ\F(1,2)AB＝3，CG＝BC＝8，∠FOC＝90°OG2＝CG·FG，32＝8FG，AF＝FG＝EQ\F(9,8)，即AF的最大值為EQ\F(9,8)2023·隨州市中考真題如圖，在矩形中，，M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)P時(shí)，連接，則的面積為；的最大值為．

【答案】【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當(dāng)最大時(shí)，即最大，通過分析點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．【詳解】解：由題意可得的面積等于矩形的一半，∴的面積為，在中，，∴當(dāng)最大時(shí)，即最大，由題意可得點(diǎn)N是在以D為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射線與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)C、N、M三點(diǎn)共線，如圖：

由題意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，2022·江蘇無錫·中考真題△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是．【答案】80/【思路點(diǎn)撥】利用SAS證明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，據(jù)此可求得∠BAF的度數(shù)；利用全等三角形的性質(zhì)可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；設(shè)BF與AC相交于點(diǎn)H，如圖：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∵點(diǎn)D在以C為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)BF是圓C的切線時(shí)，即當(dāng)CD⊥BF時(shí)，∠FBC最大，則∠FBA最小，∴此時(shí)線段AF長(zhǎng)度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-2022揚(yáng)州中考真題如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則線段AE長(zhǎng)度的最小值為_________．CCBDAE【答案】4【解析】取AE的中點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G．CCGBDAEF則DF≥FG，AE＝2DF．當(dāng)DF⊥BC時(shí)DF最小，AE最?。摺螧AC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°．設(shè)DF＝x，則AF＝x，BF＝2x，AB＝3x＝6，∴x＝2，∴AE＝2x＝4，∴線段AE長(zhǎng)度的最小值為4．題型七定角定高面積最小、周長(zhǎng)最小問題如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，AH⊥l于H，AH＝2，點(diǎn)B、C是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC＝90°，探究△ABC面積的最小值和周長(zhǎng)的最小值，并說明理由．AABCHl【答案】取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則BC＝2AD≥2AHAAB′BCH(D)lmES△ABC＝EQ\F(1,2)BC·AH≥EQ\F(1,2)·2AH·AH＝AH2＝22△ABC面積的最小值為4此時(shí)△ABC是等腰直角三角形下面來探究周長(zhǎng)：過點(diǎn)A作直線m∥l，作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′、B′B、B′C，B′B交直線m于點(diǎn)E則AB＋AC＝AB′＋AC≥B′C當(dāng)B′、A、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，上式取等號(hào)此時(shí)∠B′AE＋∠EAH＋∠CAH＝180°∵∠EAH＝∠AHC＝90°，∴∠B′AE＋∠CAH＝90°又∵∠B′AE＝∠BAE＝∠ABH＝∠CAH∴2∠CAH＝90°，∴∠CAH＝45°，∴∠BAH＝45°∴此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，BC也同時(shí)取得最小值A(chǔ)B＝AC＝eq\r(,2)AH＝2eq\r(,2)，BC＝2AH＝4AB＋AC＋BC＝2eq\r(,2)＋2eq\r(,2)＋4＝4eq\r(,2)＋4△ABC周長(zhǎng)的最小值為4eq\r(,2)＋4如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【答案】解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面積的最小值為.．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq\r(,7)，AC＝2，過點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B′），CA′、CB′的延長(zhǎng)線分別交直線m于點(diǎn)P、Q．試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．mmBQACB′DA′P【答案】∵∠ACB＝90°，AB＝eq\r(,7)，AC＝2，∴BC＝eq\r(,AB2－AC2)＝eq\r(,3)，S△ABC＝EQ\F(1,2)AC·BC＝eq\r(,3)∴S四邊形PA′B′Q＝S△PCQ－S△A′B′C＝S△PCQ－S△ABC＝S△PCQ－eq\r(,3)＝EQ\F(1,2)×PQ×eq\r(,3)－eq\r(,3)＝EQ\F(eq\r(,3),2)PQ－eq\r(,3)∴當(dāng)PQ最小時(shí)，S四邊形PA′B′Q最小取PQ中點(diǎn)D，連接CD，則PQ＝2CD≥2CB＝2eq\r(,3)∴S四邊形PA′B′Q≥EQ\F(eq\r(,3),2)×2eq\r(,3)－eq\r(,3)，∴S四邊形PA′B′Q≥3－eq\r(,3)即四邊形PA′B′Q的面積存在最小值，最小值為3－eq\r(,3)如圖，點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離為2，點(diǎn)B、C是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC＝30°，求線段BC長(zhǎng)度的最小值．AABCHl【答案】8－4eq\r(,3)作△ABC的外接圓⊙O，連接OA、OB、OC，作OG⊥BC于GAAOBCHlG則OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝60°∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB，OG＝EQ\F(eq\r(,3),2)OB∵OA＋OG≥AH，AH＝2，∴OB＋EQ\F(eq\r(,3),2)OB≥2∴OB≥8－4eq\r(,3)，∴BC≥8－4eq\r(,3)即線段BC長(zhǎng)度的最小值為8－4eq\r(,3)此時(shí)A、O、G三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，點(diǎn)O落在AH上，AB＝AC，△ABC是等腰三角形如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝60°，求△AEF面積的最小值．AADBCEF【答案】延長(zhǎng)CD至G，使DG＝BE，則△ABE≌△ADG∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAGAADBCEFGOMN∵∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°∴∠DAG＋∠DAF＝30°，即∠FAG＝30°作EM⊥AF于M，GN⊥AF于N則EM＝EQ\F(eq\r(,3),2)AE，GN＝EQ\F(1,2)AG∵S△AEF＝EQ\F(1,2)AF·EM，S△AFG＝EQ\F(1,2)AF·GN，∴S△AEF＝eq\r(,3)S△AFG∴當(dāng)S△AFG最小時(shí)S△AEF最小取△ABC的外心O，連接OA、OF、OG，作OH⊥FG于H則OA＝OF＝OG，∠FOG＝2∠FAG＝60°∴△OFG是等邊三角形，∴FG＝OF，OH＝EQ\F(eq\r(,3),2)OF∵OA＋OH≥AD，AD＝1，∴OF＋EQ\F(eq\r(,3),2)OF≥1∴OF≥4－2eq\r(,3)，∴FG≥4－2eq\r(,3)∵S△AFG＝EQ\F(1,2)FG·AD＝EQ\F(1,2)FG，∴S△AFG≥2－eq\r(,3)∴S△AEF≥2eq\r(,3)－3即△AEF面積的最小值為2eq\r(,3)－3此時(shí)A、O、H三點(diǎn)共線，即點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，AF＝AG，AE＝AF，△AEF是等邊三角形如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，BD＝2，CD＝4，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝120°，求△DEF的面積的最小值．AABDCEF【答案】連接AD，作AM⊥BC于M，DH⊥AB于H，DG平分∠EDF交AB于GAABDCEFGHM則∠EDG＝∠FDG＝60°∵BD＝2，CD＝4，∴BC＝6∵AB＝AC，∴BM＝CM＝3，∴DM＝1∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°∴AM＝eq\r(,3)，∴∠ADM＝60°∴∠ADG＝∠CDF，∠DAF＝90°∴∠DAG＝30°，∴DA＝2DH，∠DFA＝∠DGH∴△DGH∽△DFA，∴DF＝2DG，∴S△DEF＝2S△DEG問題轉(zhuǎn)化為求△DEG的面積的最小值，而△DEG是定角定高∴當(dāng)DE＝DG時(shí)△DEG的面積最小，此時(shí)△DEG是等邊三角形，易求其面積為EQ\F(eq\r(,3),3)∴△DEF的面積的最小值為EQ\F(2eq\r(,3),3)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2．（1）求△ABC周長(zhǎng)的最小值；（2）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形ABCD面積的最大值．AABCD【答案】（1）作線段BD關(guān)于AD的對(duì)稱線段B′D，作線段BD關(guān)于CD的對(duì)稱線段B″D連接B′A、B″C、B′B″，B′B′B″CBDAABCDB′B″EF則B′D＝B″D＝BD＝2，∠ADB′＝∠ADB，∠CDB″＝∠CDB∴∠B′DB″＝2∠ADB＋2∠CDB＝2∠ADC＝90°∴B′B″＝eq\r(,2)B′D＝2eq\r(,2)∴AB＋BC＋AC＝AB′＋AC＋B″C≥B′B″∴△ABC周長(zhǎng)的最小值為2eq\r(,2)（2）當(dāng)點(diǎn)A、C都落在線段B′B″上時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最小此時(shí)S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝S△AB′D＋S△B″CD＝S△B′DB″－S△ACD＝EQ\F(1,2)×2×2－S△ACD＝2－S△ACD當(dāng)S△ACD最小時(shí)，S四邊形ABCD最大作DE⊥AC于E，則DE＝EQ\F(eq\r(,2),2)B′D＝eq\r(,2)在△ACD中，∠ADC＝45°，DE＝eq\r(,2)問題轉(zhuǎn)化為定角定高面積最小，當(dāng)AD＝CD時(shí)△ACD的面積最小此時(shí)∠ADE＝∠CDE＝22.5°在ED上截取EF＝AE，連接AF則∠AFE＝∠EAF＝45°，∴∠FAD＝∠ADE＝22.5°∴DF＝AF＝eq\r(,2)EF，∴EF＋eq\r(,2)EF＝eq\r(,2)∴EF＝2－eq\r(,2)，∴AC＝2AE＝2EF＝4－2eq\r(,2)∴S△ACD＝EQ\F(1,2)AC·DE＝EQ\F(1,2)×(4－2eq\r(,2))×eq\r(,2)＝2eq\r(,2)－2∴S四邊形ABCD＝2－S△ACD＝4－2eq\r(,2)即四邊形ABCD面積的最大值為4－2eq\r(,2)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，BD＝2，CD＝4，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝90°，則△DEF的面積的最小值為___________．AABDCEF【答案】24－12eq\r(,3)提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，在FC上取點(diǎn)P，連接DP，使∠PDF＝30°∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝30°，∴∠GDH＝120°∵∠EDF＝90°，∴∠EDP＝120°ABDCEFGHPABDCEFGHP∴△DEG∽△DPH，∴EQ\F(DE,DP)＝EQ\F(DG,DH)＝EQ\F(BD,CD)＝EQ\F(2,4)∴DE＝EQ\F(1,2)DP，∴S△DEF＝EQ\F(1,2)DE·DF＝EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)DP·DF＝S△DPF問題轉(zhuǎn)化為求△DPF的面積的最小值，而△DPF是定角定高∴當(dāng)DP＝DF時(shí)△DPF的面積最小，易求其面積為24－12eq\r(,3)∴△DEF的面積的最小值為24－12eq\r(,3)題型八米勒角（最大張角）模型如圖，A，B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門點(diǎn)，連接AC，BC，則∠ACB就是射門角．在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進(jìn)球的可能性就越大．球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時(shí)就是帶球線路ED上的最佳射門角．若AB＝4，BD＝1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時(shí)DC的長(zhǎng)度為（）A．2 B．3 C． D．解：當(dāng)△DBC∽△DCA時(shí)，∠ACB最大，∴，∴CD2＝BD?AD＝1×（1+4）＝5，∴CD＝，故球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時(shí)DC的長(zhǎng)度為如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP＝．【答案】解：作△PMD的外接圓，則圓心O在DM的中垂線上移動(dòng)，∵∠DOM＝2∠DPM，∴當(dāng)∠DOM最大時(shí)，∠DPM最大，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠DOM最大，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，CD＝4，∴CM＝DM＝2，連接OP，則OP⊥BC，∵∠C＝90°，ON⊥CD，∴四邊形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，在Rt△MON中，由勾股定理得，ON＝＝＝，即PC＝，∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，故答案為：．在直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)M（1，4），N（﹣1，2），在x軸的正半軸上，求一點(diǎn)P，使∠MPN最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為解：過點(diǎn)M、N、P三點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的中垂線：y＝﹣x+3上，∠MPN為弦MN所對(duì)應(yīng)的圓周角，∴當(dāng)圓的半徑最小時(shí)有∠MPN最大，∵P在x軸上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)圓與x軸相切時(shí)，圓的半徑最小，即此時(shí)∠MPN最大．設(shè)此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（p，0），則圓心Q的坐標(biāo)為（p，﹣p+3），∵M(jìn)Q＝PQ，∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2，解得：p＝1或p＝﹣6（舍），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），故答案為：（1，0）．如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是米.解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝20m，故答案為：20已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為____【解答】解：過點(diǎn)A、B作⊙P，點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝1，∴OH＝2，∵點(diǎn)⊙P與x軸相切于點(diǎn)C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴PC＝OH＝2，∴PA＝2，在Rt△PAH中，PH＝＝，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．故答案為（，0）．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠A