重慶二十九中2023—2024學(xué)年度上期高一年級(jí)數(shù)學(xué)月考測試題一、單項(xiàng)選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值，可得答案.【詳解】,故選:A2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可解出.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可得：“，”的否定為，.故選：B.3.已知一扇形半徑為2，面積為4，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式和圓心角的弧度數(shù)公式求解.【詳解】由扇形的面積公式可得可得，所以圓心角的弧度數(shù)為，故選:C.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以0和1為橋梁，分別比較與0，1的大小關(guān)系，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?所以.故選：A5.冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（）A.（1，1） B.（1，2） C.（3，1） D.（3，2）【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)為冪函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，可得，再由指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)，即可得函數(shù)所過的定點(diǎn).【詳解】解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)且在R上單調(diào)遞增，所以，解得，所以，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，所以恒過定點(diǎn).故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由互為余角的兩個(gè)角的誘導(dǎo)公式，算出cos（）．再根據(jù)互為補(bǔ)角的兩角的誘導(dǎo)公式加以計(jì)算，可得cos（）．【詳解】解：∵，∴，即cos（）又∵（）+（）＝π，∴cos（）．故選：B．7.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性去掉即可解不等式.【詳解】由已知函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，明顯均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，所以由得，解得或，即不等式的解集是.故選：C.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題得到時(shí)，產(chǎn)生一個(gè)根，時(shí)，，產(chǎn)生兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得取值范圍.【詳解】要函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，，必有一個(gè)根，且，同時(shí)，當(dāng)時(shí)，，必有兩不等非負(fù)根，整理得，所以，解得，所以，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍是.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的有（）A.終邊在軸上的角的集合為B.若，則C.“”是“”的充要條件D.若，，，則的最小值為4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)終邊在軸上的角的集合為可判斷選項(xiàng)；兩式作差可判斷選項(xiàng)；根據(jù)推出關(guān)系可判斷選項(xiàng)；利用“1”的代換和基本不等式可判斷選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)：終邊在軸上的角的集合為，故選項(xiàng)不正確；選項(xiàng)：由，得，所以，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：由可得到，反之當(dāng)時(shí)，不能推出，故選項(xiàng)不正確；選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)正確.故選：.10.已知，，那么的可能值為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題干條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系建立方程組，求出正弦和余弦，進(jìn)而求出正切值.【詳解】因?yàn)棰?，又sin2α+cos2α=1②，聯(lián)立①②，解得或，因?yàn)?，所以或．故選：BD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的最小正周期為B.為偶函數(shù)C.將的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)長度單位即得的圖像D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】先通過圖像求出函數(shù)的解析式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由圖可知，得，所以，所以，又根據(jù)五點(diǎn)法，所以，則，對(duì)于A：，正確；對(duì)于B：，無法變形為的形式，錯(cuò)誤；對(duì)于C：將的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)長度單位得，正確；對(duì)于D：，錯(cuò)誤.故選：AC.12.若，.則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)互化可得，，利用對(duì)數(shù)函數(shù)但單調(diào)性可知A錯(cuò)誤；利用基本不等式并結(jié)合等號(hào)成立的條件可得BC正確，由作差法并根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可得D正確.【詳解】根據(jù)題意由，可得，且均為正數(shù)；所以可得，對(duì)于A，，易知，所以，可得，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，顯然，所以等號(hào)不成立，因此，B正確；對(duì)于C，易知，顯然，所以等號(hào)不成立，因此，C正確；對(duì)于D，易知，由二次函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，由可得，即，所以，即，所以，即D正確；故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13._______________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.14.已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】##（1，1）【解析】【分析】先求定義域?yàn)?，再利用?fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”即可求得.【詳解】因?yàn)?，解得：，所以的定義域?yàn)?令，則.要求的單調(diào)增區(qū)間，只需.所以，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.15.設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進(jìn)而確定其最小值.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值為.【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對(duì)稱軸，最大值對(duì)應(yīng)自變量滿足，最小值對(duì)應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.16.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有成立，則_______________.【答案】【解析】【分析】先通過求出，再將條件變形為，利用累加法可求得，進(jìn)而可求.【詳解】由得當(dāng)時(shí)，，又得，當(dāng)且時(shí)，由兩邊同時(shí)除以得，即，當(dāng)時(shí)，，上述式子相加得，所以，得，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若，求和；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使成立.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解對(duì)數(shù)不等式可得，將代入可得，根據(jù)集合運(yùn)算法則可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知，由不等關(guān)系可解得.【小問1詳解】易知，由，當(dāng)時(shí)，；所以；【小問2詳解】由可得，即集合是集合的子集，顯然，所以需滿足，解得；即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先通過角終邊位置求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)的定義可得答案；（2）先利用誘導(dǎo)公式化簡，通過變形，再代入的值計(jì)算即可.小問1詳解】，角的終邊在第二象限，又點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)，；【小問2詳解】.19.函數(shù)的最小正周期為．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)x的值．【答案】（1），（2）的最大值為2，，的最小值為－1，【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求得的值，從而可得到的解析式，再利用整體代入法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而可求得函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)的取值范圍可得到的取值范圍，從而可求出的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)x的值．【小問1詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以，故，令，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是，．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值－1，所以的最大值為2，這時(shí)，的最小值為－1，這時(shí)．20.重慶輕軌九號(hào)線發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算：該路輕軌車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔滿足：，其中.（1）求，并說明的實(shí)際意義；（2）若該路輕軌車每分鐘的凈收益（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該路輕軌車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.【答案】20.，意義見解析21.間隔為分鐘時(shí)，最大凈收益為元【解析】【分析】（1）直接根據(jù)解析式求，再根據(jù)題意說明實(shí)際意義；（2）分別求出當(dāng)，時(shí)的最大值，然后取最大的那個(gè)即可.【小問1詳解】由已知，的實(shí)際意義為當(dāng)輕軌九號(hào)線發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，輕軌車載客量為；【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，該路輕軌車每分鐘的凈收益最大，且最大凈收益為元.21.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)恒成立計(jì)算求解；（2）先利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則確定函數(shù)的單調(diào)性以及最值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)來求解即可.【小問1詳解】由已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以恒成立，所以恒成立，所以，則；【小問2詳解】由（1）得當(dāng)時(shí)，均單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像草圖如下：所以對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的根的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程無根，即函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程一個(gè)根，即函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程兩個(gè)根，即函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)；22.已知函數(shù).且當(dāng)時(shí)，的最大值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）整理可得，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）先求值域，根據(jù)題意可得值域是值域子集，分類討論運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)橐驗(yàn)?，令，所以，?dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，與題意不符；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）若時(shí)，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)的值為2.【小問2詳解】由（1）可知，因