§1.5定積分的概念1．5.1曲邊梯形的面積導數及其應用后白中學夏玉青問題1：求由直線y＝0，x＝2,x＝4和y＝x所圍成的平面圖形的面積．求梯形的面積解析：這些直線圍成的平面圖形是如圖陰影部分所示的梯形，梯形的面積為S＝×2＝6.后白中學夏玉青1.曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Oxyaby=f(x)一.

求曲邊梯形的面積x=ax=b后白中學夏玉青1.5.1曲邊梯形的面積直線x

0、x

1、y

0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊三角形）面積S是多少？x

yO1方案1方案2方案3為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內以直代曲），有以下三種方案“以直代曲”。后白中學夏玉青

y=f(x)bax

yO

A1

A1

A1A

A1.用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得后白中學夏玉青A

A1+A2用兩個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2后白中學夏玉青A

A1+A2+A3+A4用四個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)bax

yOA1A2A3A4后白中學夏玉青

y=f(x)baxyOA

A1+A2+

+An將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn后白中學夏玉青分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過程后白中學夏玉青（1）分割把區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間：過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作后白中學夏玉青（2）近似代換（3）求和后白中學夏玉青（4）取極限分割近似代換求和取極限分割，求和，取極限后白中學夏玉青當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內任意一點xi對應的函數值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi)△x來近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近似值演示后白中學夏玉青

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xi

f(xi)x1x2f(x1)f(x2)

f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1個分點．得n個小區(qū)間：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形．任取xi

[xi

1，xi

]，以f(x

i)Dxi近似代替第i個窄曲邊梯形的面積．區(qū)間[xi

1,xi

]的長度Dxi

xi

xi

1

．曲邊梯形的面積近似為：A

后白中學夏玉青曲邊梯形的面積近似為：A

．

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xi

f(xi)x1x2f(x1)f(x2)

f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1個分點．得n個小區(qū)間：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．區(qū)間[xi

1,xi

]的長度Dxi

xi

xi

1

．后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。后白中學夏玉青跟蹤訓練如圖，求直線x＝0，x＝3，y＝0與二次函數f(x)＝－x2＋2x＋3所圍成的曲邊梯形的面積．后白中學夏玉青分析：按照“分割→近似代替→求和→取極限”的步驟進行．解析：(1)分割．后白中學夏玉青如上圖，將區(qū)間[0,3]n等分，則每個區(qū)間(i＝1,2，…，n)的長度為Δx＝.分別過各分點作x軸的垂線，把原曲邊梯形分成n個小曲邊梯形．(2)近似代替．以每個小區(qū)間的左端點函數值為高作n個小矩形．則當n很大時，用n個小矩形面積之和Sn近似代替曲邊梯形的面積S.后白中學夏玉青(3)求和．后白中學夏玉青后白中學夏玉青2．在區(qū)間[a，b]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間，則每個小區(qū)間的長度為______．后白中學夏玉青1．函數f(x)＝x2在區(qū)間上(

)A．f(x)的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f(x)的值不變化D．當n很大時，f(x)的值變化很小解析：函數f(x)＝x2在區(qū)間上，隨著n的增大，f(x)的值的變化逐漸縮小，當n很大時，f(x)的值變化很?。鸢福篋后白中學夏玉青2．當n很大時，函數f(x)＝x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個值近似代替(

)A．f

B．fC．fD．f(0)解析：當n很大時，f(x)＝x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數值近似代替，顯然可以用左端點或右端點的函數值近似代替．答案：C后白中學夏玉青后白中學夏玉青1．函數f(x)＝x2在區(qū)間上(

)A．f(x)的值變化很小B．f(x)的值變化很大C．f(x)的值不變化D．當n很大時，f(x)的值變化很小解析：函數f(x)＝x2在區(qū)間上，隨著n的增大，f(x)的值的變化逐漸縮小，當n很大時，f(x)的值變化很?。鸢福篋后白中學夏玉青2．當n很大時，函數f(x)＝x2在區(qū)間上的值可以用下列哪個值近似代替(

)A．f

B．fC．fD．f(0)解析：當n很大時，f(x)＝x2在區(qū)間上的值可用該區(qū)間上任何一點的函數值近似代替，顯然可以用左端點或右端點的函數值近似代替．答案：C后白中學夏玉青后白中學夏玉青求解曲邊梯形的面積是用“以直代曲”和逼近的思想方法；其步驟為：①分割；②近似代替；③求和；④取極限．后白中學夏玉青§1.5定積分的概念1．5.2汽車行駛的路程導數及其應用后白中學夏玉青1．通過實際例子，進一步了解用“以直代曲”和逼近的思想方法求解變速直線運動的路程．2．從問題情境中了解定積分的實際背景，初步了解定積分的概念．后白中學夏玉青1．如果物體按規(guī)律s＝s(t)運動，則物體在時刻t0的瞬時速度為________．例如：如果物體按規(guī)律s＝2t2運動，則物體在時刻t＝2的瞬時速度為________．2．汽車做勻速直線運動時，速度v關于時間t的關系式為v＝v0，物體經過時間t所行駛的路程為________.s′(t0)8s＝v0t后白中學夏玉青例如：物體以v＝20km/h的速度做勻速直線運動，經過3小時物體經過的路程為________．3．當物體做勻加速直線運動時，速度v關于時間t的關系式為v＝v0＋kt，此時在0＜t＜a時段中物體經過的路程為__________________________________．例如：物體做勻加速直線運動時，速度v關于時間t的關系式為v＝2＋t，此時在0＜t＜6時段中物體經過的路程為________．60km30后白中學夏玉青1．一物體沿直線運動，其速度v(t)＝t，這個物體在t＝0到t＝1這段時間內所走的路程為(

)解析：曲線v(t)＝t與直線t＝0，t＝1，橫軸圍成的三角形面積S＝，即為這段時間內物體所走的路程．答案：B求變速運動的路程后白中學夏玉青求變速運動的路程有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內行駛的路程S(單位：km)是多少？后白中學夏玉青解析：(1)分割．在時間區(qū)間[0,2]上等間隔地插入n－1個分點，將它分成n個小區(qū)間．記第i個小區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為Δt＝每個時間段上行駛的路程記為ΔSi(i＝1,2，…，n)，則顯然有S＝

.后白中學夏玉青后白中學夏玉青(3)求和．Sn＝＝(12＋22＋…＋n2)＋4＝后白中學夏玉青1．求物體做變速直線運動的路程的具體步驟有哪些？答案：①分割；②近似代替；③求和；④取極限．后白中學夏玉青跟蹤訓練1．求自由落體的下落距離：已知自由落體的運動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內物體下落的距離．解析：(1)分割．將時間區(qū)間[0，t]分成n等份．把時間[0，t]分成n個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間所表示的時間段Δt＝.在各小區(qū)間物體下落的距離記作ΔSi(i＝1,2，…，n)．后白中學夏玉青(2)近似代替．在每個小區(qū)間上以勻速運動的路程近似代替變速運動的路程．在上任取一時刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i個小區(qū)間上的速度，因此在每個小區(qū)間上自由落體在Δt＝內所經過的距離可近似表示為ΔSi≈ΔS′i＝

(i＝1,2，…，n)．后白中學夏玉青(3)求和．Sn＝＝后白中學夏玉青1．求解變速直線運動的路程是用“以不變代變”和逼近的思想方法，把變速直線運動的路程問題化歸為勻速直線運動的路程問題來求解；其步驟為：①分割；②近似代替；③求和；④取極限．2．求曲邊梯形的面積或路程的過程中，都經過了以上四個步驟，它們都有后白中學夏玉青§1.5定積分的概念1．5.3定積分的概念導數及其應用后白中學夏玉青一、定積分的定義如果當n

∞時，S的無限接近某個常數，這個常數為函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.后白中學夏玉青定積分的定義：定積分的相關名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數，

f(x)dx—叫做被積表達式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。后白中學夏玉青被積函數被積表達式積分變量積分下限積分上限后白中學夏玉青1xyOf(x)=x2后白中學夏玉青1．連續(xù)函數f(x)在[a，b]上的定積分，記作________，即________________________________．例如：函數f(x)＝x2在[0,1]上的定積分，記作__________，即___________________________．2．函數f(x)在[a，b]上的定積分f(x)dx，區(qū)間[a，b]叫做____________，函數f(x)叫做____________．基礎梳理f(x)dxx2dx

積分區(qū)間被積函數后白中學夏玉青1．定積分f(x)dx的大小(

)A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關，與ξi的取法無關B．與f(x)有關，與區(qū)間[a，b]及ξi的取法無關C．與f(x)及ξi的取法有關，與區(qū)間[a，b]無關D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關A后白中學夏玉青正確理解定積分的概念（3）規(guī)定：后白中學夏玉青定積分的概念的說明

說明后白中學夏玉青用定義求定積分用定積分的定義計算：x2dx.后白中學夏玉青后白中學夏玉青后白中學夏玉青跟蹤訓練1．利用定積分的定義，計算(3x＋2)dx的值．后白中學夏玉青后白中學夏玉青后白中學夏玉青oabxysy=f(x)f(a)f(b)二、定積分的幾何意義后白中學夏玉青oabxyy=f１(x)ＢＡy=f２(x)ＤＣ探究根據定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積嗎？

探究課本P46后白中學夏玉青當f(x)

0時，由y

f(x)、x

a、x

b

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，xyO=-．aby

f(x)y

-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負值。

定積分的幾何意義：=-S后白中學夏玉青3．定積分f(x)dx(f(x)＞0)的幾何意義是什么？例如：定積分x3dx的幾何意義是__________________________________________________________________．4．直線x＝0,x＝π，y＝0與曲線y＝sinx所圍成的圖形的面積用積分表示為________．答案：幾何意義是：由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．由直線x＝0，x＝2，y＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形的面積sinxdx后白中學夏玉青5．用定積分表示下圖中陰影部分的面積．S＝f1(x)dx－f2(x)dx答案：6．定積分x3dx的取值的符號為________，x3dx的取值的符號為______，x3dx的取值的符號為________．正負

0后白中學夏玉青例.用定積分表示圖中四個陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1后白中學夏玉青解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1后白中學夏玉青解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1后白中學夏玉青解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1后白中學夏玉青用幾何意義求定積分用定積分的意義求下列各式的值：(1)(3x＋1)dx；(2)－dx.后白中學夏玉青解析：(1)由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示．

(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，后白中學夏玉青后白中學夏玉青1．定積分dx的值等于(

)A．1

B．2

C．3

D．4解析：定積分dx等于直線y＝與x＝0，x＝2，y＝0圍成的三角形的面積，S＝×2×1＝1.答案：A跟蹤訓練后白中學夏玉青2．根據定積分的幾何意義推出下列定積分的值：(1)xdx；(2)cos

xdx；(3)|x|dx.解析：(1)如圖①，xdx＝(－A1＋A1)＝0.(2)如圖②，cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.后白中學夏玉青(3)如圖③，∵A1＝A2，∴|x|dx＝2A1＝2×＝1.(A1，A2，A3分別表示圖中相應各處的面積)后白中學夏玉青例4x1y面積值為圓的面積的后白中學夏玉青4．計算dx＝(

)A．8πB．16πC．4πD．32π解析：

dx表示以原點為圓心，4為半徑的圓的面積，∴dx＝π·42＝4π.答案：C后白中學夏玉青例3：解：xyf(x)=sinx1-1后白中學夏玉青三、定積分的性質

性質思考：你能從定積分的幾何意義解釋性質（3）嗎？后白中學夏玉青三:定積分的基本性質定積分關于積分區(qū)間具有可加性性質3.Oxyaby

f(x)Ｃ后白中學夏玉青2．下列等式不成立的是(

)A.[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dxB.[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－aC.f(x)g(x)dx＝f(x)dx·