衡水萬(wàn)卷周測(cè)（十三）理科數(shù)學(xué)數(shù)列綜合題考試時(shí)間：120分鐘姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分得分、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）LISTNUMOutlineDefault\l3數(shù)列……的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.LISTNUMOutlineDefault\l3等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則 （）（A） （B） （C） （D）LISTNUMOutlineDefault\l3（2015北京高考真題）設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則LISTNUMOutlineDefault\l3如果自然數(shù)的各位數(shù)字之和等于8，我們稱為“吉祥數(shù)”。將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列…，若，則（）A.84B。82CLISTNUMOutlineDefault\l3在數(shù)列中,,(),則值為()A.B.C.D.無(wú)法確定LISTNUMOutlineDefault\l3若等差數(shù)列滿足，則的最大值為（）A．60B．50C．45D．LISTNUMOutlineDefault\l3已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列公比為，其前項(xiàng)和為，若、、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則等于（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0或1D．SKIPIF1<0LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知,則公比（）A． B． C．D．LISTNUMOutlineDefault\l3已知{an}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)1＋a3≥2a2B．a(chǎn)eq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)≥2aeq\o\al(2,2)C．若a1＝a3，則a1＝a2D．若a3>a1，則a4>a2LISTNUMOutlineDefault\l3數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有()A．

B．

C．

D．與大小不確定LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．B． C． D．和均為的最大值LISTNUMOutlineDefault\l3在數(shù)列中，，若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）LISTNUMOutlineDefault\l3已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為4，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=．LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)直線（k+1）x+（k+2）y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，則LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為L(zhǎng)ISTNUMOutlineDefault\l3（2015?上海模擬）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=，前n項(xiàng)和為Sn，則=．、解答題（本大題共6小題，第1題10分，后5題每題12分，共70分）LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域，記內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）。（1）式，先在平面直角坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域，在求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試證明：對(duì)任意，恒有成立。LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為常數(shù)，且an+1=3n﹣2an（n∈N+）．（1）證明：{an﹣}是等比數(shù)列；（2）若a1=，{an}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在說(shuō)明理由．（3）若{an}是遞增數(shù)列，求a1的取值范圍．LISTNUMOutlineDefault\l3已知數(shù)列滿足,,（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.(3)證明：.LISTNUMOutlineDefault\l3在數(shù)列中，已知，為常數(shù).(1)證明:成等差數(shù)列;(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足：（1）求；（2）設(shè)函數(shù)求數(shù)列LISTNUMOutlineDefault\l3（2015陜西高考真題）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項(xiàng)和，其中，，．（I）證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且；（II）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并加以證明．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水萬(wàn)卷周測(cè)（十三）答案解析、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3C LISTNUMOutlineDefault\l3CLISTNUMOutlineDefault\l3【答案】C【解析】試題分析：先分析四個(gè)答案支，A舉一反例＞0而A錯(cuò)誤，B舉同樣反例<0而>0，B錯(cuò)誤，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，{}是等差數(shù)列，若0<<，則>0，設(shè)公差為d，則d>0，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于，則，選C?？键c(diǎn)：1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2.作差比較法LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】A【解析】由題意，一位數(shù)時(shí)只有8一個(gè)；

二位數(shù)時(shí)，有17，26，35，44，53，62，71，80共8個(gè)三位數(shù)時(shí)：（0，0，8）有1個(gè)，（0，1，7）有4個(gè)，（0，2，6）有4個(gè)，（0，3，5）有4個(gè)，（0，4，4）有2個(gè)，（1，1，6）有3個(gè)，（1，2，5）有6個(gè)，（1，3，4）有6個(gè)，（2，2，4），有3個(gè)，（2，3，3）有3個(gè)，共1+4×3+2+3×3+6×2=36個(gè)，四位數(shù)小于等于2015：（0，0，1，7）有3個(gè)，（0，0，2，6）有2個(gè)，（0，1，1，6）有6個(gè)，（0，1，2，5）有7個(gè)，（0，1，3，4）有6個(gè)，（1，1，1，5）有3個(gè)，（1，1，2，4）有6個(gè)，（1，1，3，3）有3個(gè)，（1，2，2，3）有3個(gè)，共有3×4+6×3+2+7=39個(gè)數(shù)，∴小于等于2015的一共有1+8+36+39=84個(gè)，即a84=2015【思路點(diǎn)撥】利用“吉祥數(shù)”的定義，分類列舉出“吉祥數(shù)”，推理可得到結(jié)論．LISTNUMOutlineDefault\l3【解】由,()……①可知,當(dāng)時(shí),,所以;當(dāng)時(shí),有……②,由①-②式得,,即,且所以(),同除以得,,且;所以,故令時(shí),得,故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以而，可得，代入整理得由關(guān)于d的二次方程有實(shí)根可得化簡(jiǎn)可得，解得，故選擇B.【思路點(diǎn)撥】設(shè)等差數(shù)列的公差為，易得由求和公式可得，代入整理可得關(guān)于的方程，由可得S的不等式，解不等式可得．LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】A解析：因?yàn)?、、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以，若公比，，所以，當(dāng)時(shí)，可得，整理可得：，故選擇A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列的，當(dāng)公比，等式不成立，當(dāng)時(shí)，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到，LISTNUMOutlineDefault\l3BLISTNUMOutlineDefault\l3BLISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B解析：∵an=a1qn-1，bn=b1+（n-1）d，a6=b7，∴a1q5=b1+6d，a3+a9=a1q2+a1q8，b4+b10=2（b1+6d）=2b7=2a6，a3+aa6=a1q2+a1qa1q5=a1q8－a1q5－（a1q5－a1q2）=a1q2（q）2≥0，所以a3+a9≥b4+b10，故選B.【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出a6、b7，然后表示出a3+a9和b4+b10，然后二者作差比較即可.LISTNUMOutlineDefault\l3CLISTNUMOutlineDefault\l3A.、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3分析： 由題意代入等差數(shù)列的求和公式可得．解答： 由題意可得a1=3，公差d=4，∴Sn=na1+d=3n+2n（n﹣1）=2n2+n故答案為：2n2+n．點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題．LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】令y=0,得x=,令x=0,得y=,所以所以2=2=【思路點(diǎn)撥】得求和。LISTNUMOutlineDefault\l3－1解析：因?yàn)?，所以在x=1處的切線斜率為n+1，則切線方程為y－1=(n+1)(x－1)，令y=0得，所以.【思路點(diǎn)撥】遇到數(shù)列求和，可先由已知條件求出其通項(xiàng)公式，再結(jié)合通項(xiàng)公式特征確定求和思路.LISTNUMOutlineDefault\l3【分析】：先利用裂項(xiàng)相消法求出Sn，再求極限即可．【解析】：解：Sn=1+=1+﹣+﹣+…+﹣=﹣，則==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查數(shù)列極限的求法，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是先用裂項(xiàng)相消法求和，再利用常見數(shù)列極限求解．、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）D2如圖中陰影部分所示，∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），據(jù)題意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==?＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路點(diǎn)撥】（1）在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）利用裂項(xiàng)法，放縮，求和即可證明結(jié)論LISTNUMOutlineDefault\l3分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合條件，即可得證；（2）由（1）求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)，得到方程，求出n，即可判斷；（3）運(yùn)用數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，作差，再由n為偶數(shù)和奇數(shù)，通過(guò)數(shù)列的單調(diào)性，即可得到范圍．解答：（1）證明：因?yàn)?=﹣2，所以數(shù)列{an﹣}是等比數(shù)列；（2）解：{an﹣}是公比為﹣2，首項(xiàng)為a1﹣=的等比數(shù)列．通項(xiàng)公式為an=+（a1﹣）（﹣2）n﹣1=+若{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，則必有2an+1=an+an+2，即解得n=4，即a4，a5，a6成等差數(shù)列．（3）解：如果an+1＞an成立，即＞+（a1﹣）（﹣2）n﹣1對(duì)任意自然數(shù)均成立．化簡(jiǎn)得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；故a1的取值范圍為（0，1）．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)和已知數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】（1）由得,即，(2分)∴(4分)即，∵,所以(5分)（2）∵（6分）∴①②（7分）①－②得（8分）∴（10分）(3)證明：∵,k=2,3,4…,n.（11分）∴.（12分）（13分）（14分）LISTNUMOutlineDefault\l3(1)見解析；(2)當(dāng)，當(dāng)．（3）不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列．解析：（1）因?yàn)?，所以，同理，，，…?分又因?yàn)?，，………………?分所以，故，，成等差數(shù)列．…………4分（2）由，得，…………5分令，則，，所以是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，…………………6分即，所以，所以．………8分當(dāng)，……………9分當(dāng)．………………10分（3）由（2）知，用累加法可求得，當(dāng)時(shí)也適合，所以……12分假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則，即，………14分因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立，得．這與題設(shè)矛盾．故不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列．…16分【思路點(diǎn)撥】（1）利用遞推式可得，再利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）由，得，令，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可得出．利用等比數(shù)列的