保密★啟用前

2024屆高三學(xué)生暑期摸底測試

注意事項(xiàng)：

i.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知集合”={1,2,3,4,5},從“的至少含有兩個(gè)元素的所有子集中任取一個(gè)集

合，記為S,則S中的元素恰好為連續(xù)整數(shù)的概率為（）

52「51

AnD.

1313168

2下列結(jié)論中正確的是（）

ba

A若a>8>0,c<d<0貝lj—>一

9cd

1y

B若x>y>0且孫=1,則x+bg2(x+y)

y2,

C設(shè){叫是等差數(shù)列，若。2>q>0,則。2<麻?

D若xe[0,+oo),則ln(1

8

3已知"1,b>T,a3b=100,則log。10+310gz,10的最小值為(

A.4B.6C.8D.12

4.設(shè)a=2cos9。-日s譏9。，b=奇器，c=戶再，則有（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

5.在銳角△力BC中，角ABC的對邊分別為Q,b,c若COS2B+cosBcos^A-

C）=sinAsinC,a=2百，則三角形ABC周長的取值范圍是（）

A.（6V3,6+6V3）B.（3+3次,6+6⑹

C.（3+3V3,9V3）D.（6V3,9V3）

6.如圖，把一個(gè)長方形的硬紙片沿長邊N3所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第

二個(gè)平面/8EF,再沿寬邊/F所在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到第三個(gè)平面則

第一個(gè)平面和第三個(gè)平面所成的銳二面角大小的余弦值是（)

C.

2D-T

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7.甲、乙兩人組隊(duì)參加禁毒知識(shí)競賽，每輪比賽由甲、乙各答題一次，已知甲

每輪答對的概率為g3,乙每輪答對的概率為2彳.在每輪活動(dòng)中，甲和乙答對與否

J1

互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則（）

A.在第一輪比賽中，恰有一人答對的概率為:

B.在第一輪比賽中，甲、乙都沒有答對的概率為上

C.在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的概率為￡

D.在兩輪比賽中，甲、乙至多答對一題的概率為總

225

8.與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切

圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示，

已知不月是雙曲線片-片=1的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，。是

916

△尸百工的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線與x軸交于點(diǎn)加，則黑=（）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分，少選漏選得3分，錯(cuò)選得0分）

9.在“8c中，角A,B,C的對邊分別為b,c,且則下列結(jié)論正

確的是（）

A.a>b

ABAC~BA'BC

D.------------<-------------

beac

C.如果A為銳角，i為虛數(shù)單位，Zj=cos+isinB,z2=cos5+zsin^,則團(tuán)<同

D.Q-b>sin4-sin3

,.o

10.已知（x?+x+l）=%+…+下列說法正確的有（）

A?%=1B?。2=42

39+]

?

C.a2+4-----F6ZJ8=--------D.4+2%+3%+,?+18Q]8=3"

第2頁，共25頁

11-設(shè)函數(shù)/（x）=gsin（0x+。）其中0>0,|同<兀.若等）=。，等）

且相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離大于兀，/'（兀）<0,設(shè)g（x）=/（x）+/'（x）,則

g（x）在（3兀,4勸上單調(diào)遞減g（x）在（0,2兀）上存在唯一極值點(diǎn)

12.如圖，點(diǎn)。是正四面體P48C底面/8C的中心，過點(diǎn)O的直線分別交NC8C

于點(diǎn)M,MS是棱PC上的點(diǎn)，平面S0N與棱尸/的延長線相交于點(diǎn)。，與棱P8的

延長線相交于點(diǎn)R,則（）

A.存在點(diǎn)S與直線MN,使西?（而+而）=0

B.存在點(diǎn)S與直線使PC,平面SRQ

C.若兩=2萬+（1-/1）定,兩=〃而41-0元，其中兒€（0,1）,〃€（0,】），貝IJ

%+3〃的最小值是土!2m

3

1113

D，畫+|網(wǎng)+網(wǎng)-網(wǎng)

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.定義在R上的奇函數(shù)/（x）滿足VxwR,/（x）+/（4-x）=0,且當(dāng)0<x<2時(shí),

/(X)=X2-2\則Z|/(i)|=

IT

14.如圖，已知在扇形0/8中，半徑04=08=3,乙408=：,圓Q內(nèi)切于扇形

OAB（圓。和。408,弧48均相切），作圓儀與圓。1，。4。8相切，再作圓。3

與圓。2，。4。8相切，以此類推.設(shè)圓。1,圓。2…的面積依次為號(hào)石2…，那么

第3頁，共25頁

92

15.已知橢圓*■+￡=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為用鳥，尸,。為橢圓上的動(dòng)

大值為4,則b=________.

16.在數(shù)列｛q｝中，q=l,S,,為｛%｝的前〃項(xiàng)和，關(guān)于x的方程

x2_%cosx+q,+l=0有唯一解，若不等式2S,,+92(-1)"3,，對任意的恒成

立，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為______

四、解答題(本大題共6小題，共60.0分)

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“嗎=1且n\tl=(n+2)S?.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵4為滿足k4442?的對的個(gè)數(shù)，求使々+&+…+%>2023成立的最小正整數(shù)發(fā)

的值.

18.(本題12.0分)設(shè)函數(shù)/(x)=2+lnx,g(x)=〃e*,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若曲線V=/(x)在(1J0))處的切線與曲線夕=g(x)相切，求a的值：

⑵若，〃(x)=x(/(x)-2)-g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

19.(本題12.0分)如圖，已知梯形的外接圓圓心。在底邊“8上，AB/

/CD,AB=2CD=4，點(diǎn)P是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)(不包含N,8兩點(diǎn))，點(diǎn)0

是線段PZ上的動(dòng)點(diǎn)，將半圓/P8所在的平面沿直徑N8折起使得平面PABL

平面ABCD.

------^DCD

(1)求三棱錐P-ACD體積的最大值；

⑵當(dāng)PC//平面。8。時(shí)，求黑的值；

⑶設(shè)05與平面43。所成的角為。，二面角Q—BD—A的平面角為￡.求證:

tanp=2tana.

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20.（本題12.0分）我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖，傘不管是張開還是收

攏，傘柄4尸始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的“氏4C,且48=/C,從而保

證傘圈。能夠沿著傘柄滑動(dòng).傘完全收攏時(shí)，傘圈?；嚼涞奈恢?，且A、

B、濟(jì)三點(diǎn)共線，/D'=40cm,B為4）的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，

傘圈。沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm.

⑴當(dāng)傘完全張開時(shí)，求N8/C的余弦值；

1T

（2）如圖（2）,當(dāng)/歷1C=§時(shí)，在線段48、ZC上分別取點(diǎn)〃、N,使得

ZN=44W=4/,0＜，＜5,連接MN交NO于點(diǎn)G,若“四的面積為“8c面積的

4_______

—.求就?麗的值.

21.（本題12.0分）從甲、乙、丙等5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)

則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩

個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.

（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記〃次

傳球后球在甲手中的概率為外,〃=1,2,3,…，

①直接寫出Pi，小，化的值；

②求與P,,的關(guān)系式（〃eN*）,并求p“（〃eN*）.

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22.（本題12.0分）定義：一般地，當(dāng)力>0且4*1時(shí)，我們把方程

2222

力+方=處°>6>0）表示的橢圓C》稱為橢圓三+%=1（a>6>0）的相似橢圓.已

2

知橢圓c：三+/=i,橢圓g（2>。且a1）是橢圓c的相似橢圓，點(diǎn)p為橢圓

4

C,上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)2=2時(shí)，若與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線小右恰好相交于點(diǎn)尸，直

線4,%的斜率分別為匕4，求發(fā)他的值；

（2）當(dāng)2=/（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線PA/與橢圓C交于點(diǎn)48,直線

PN與橢圓C交于點(diǎn)2E,求|18|+口目的值.

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參考答案

1.【答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得所有集合的可能，找到滿足題意的集合，利用古典概型

的概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】因?yàn)榧稀ㄖ泻?個(gè)元素的子集有如下10個(gè)：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},

其中元素是連續(xù)整數(shù)的有4個(gè),是{1,2},{2,3},{3,4},{4,5}

含有3個(gè)元素的子集有如下10個(gè)：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5*2,4,5},{3,4,5},

其中元素是連續(xù)整數(shù)的有3個(gè)，是{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}

含有4個(gè)元素的子集有5個(gè)，{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},

其中元素是連續(xù)整數(shù)的有2個(gè)，是{1,2,3,4},{2,3,4,5}.

含有5個(gè)元素的子集有1個(gè)，是{1,2,3,4,5},其滿足元素是連續(xù)整數(shù).

即S的所有可能有：26種，滿足元素是連續(xù)整數(shù)的有10種.

故滿足題意的概率尸啜=得.

故選：A.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A,利用特殊值判斷B,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及

基本不等式判斷C,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,由c"<0,可得-c>-d>0,則

又a>b>Q,所以一色>一2,則故A正確.

dccd

選項(xiàng)B,取x=2/=：,則x+—=4,《=3/og2(x+y)=log2—>1,

2y2o2

則不等式x+W>log2(x+y)不成立，故B不正確.

選項(xiàng)C,由題意得％+。3=2%且。產(chǎn)生，

所以=,故C不正確.

選項(xiàng)D,設(shè)h(x)=ln(l+x)-x+,則h\x)=—^----l+y=，,

當(dāng)0<x<3時(shí)，h\x)<0,則。%)單調(diào)遞減,A(x)<A(0)=0,

即+,故D不正確.

故選：A.

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3.【答案】B

【分析】條件等式兩邊取對數(shù)后，得31ga+lgb=2,再結(jié)合換底公式，以及基本

不等式“1”的妙用，即可求解.

【詳解】因?yàn)?b=100,所以lglb=2,即31ga+lg6=2,

所以

131lg%91ga

log/0+31(^10=--1---=01gtH-lgb}^6

Igalg62IgaIgb,

9Iga

6+26,

注aIgb

當(dāng)且僅當(dāng)lg6=31ga,即a=10；，6=10時(shí)等號(hào)成立,

所以log“10+31og〃10的最小值為6.

故選：B.

4.【答案】B

【分析】利用和差公式，二倍角公式，以及基本關(guān)系化簡，然后利用正弦函數(shù)的

單調(diào)性可得.

1J3

【詳解】因?yàn)镼Q

a=-2cos90---2--sin9°=sin30°cos9°—cos30°sin9=sin21

2sinll0

,2tanll°

b=----------=2sinH°cosir=sin22°,

Man2119

1+吟cos21170

I1-COS46012s比？23°.”。

c=J-=J-^=sw23,且y=sinx在（0。,90。）上單調(diào)遞增,

所以sin21°<sin22°<sin23°,即a<b<c

故選：B

5.【答案】B

【分析】先求出cosB=3,可得B節(jié),由正弦定理得ABC的周長為

32低加c

a+b+c=++2V3=A+3V3,再求出，進(jìn)而可得答

sinAsinAtan-1224

案.

【詳解】因?yàn)镃OS2B+cosBcos(A-C)=sinAsinC

所以cosB[cosB+cos(A—C)]=sinAsinC,

A+8+C=yr,/.cosB[—cos(A+C)+cos(A—C)]=sinAsinC

cosB[(sinAsinC—cosAcosC)+(sinAsinC+cosAcosC)}=sinAsinC

2cosBsinAsinC=sinAsinC0<4,C<^,：.sinA>0sinC>0

/?cosB=-,/.B=-由正弦定理得號(hào)=b

23sinAsinBsinC

?b-asEB_2氏J_3asinC

sinAsinAsinAsinA

所以ABC的周長為

3

2yj3sinC+2V3

a+b+c—+sinA

_3+2V3

2\f3sin(^-cosA+^sinA

+2V3=------=,+2V3

sinAsinAsinA

第8頁，共25頁

=3（】+g4）+瘋9+=2^1_+3V3

sini42sin-^cos-

=-7+3A/3

tan-

0<A<-.

???2￡2?I<^4<7A<7=>2-V3<tan^<1,

0<列-A<-6212242

32

ABC的周長為a+b+cef3+3V3,6+6V3；,

故選：B.

6.【答案】C

【分析】將兩個(gè)單位正方體疊放在一起可構(gòu)造模型，確定三個(gè)平面的位置后，由

線面垂直可得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量夾角可確定所求角的余弦值.

【詳解】如圖，把兩個(gè)單位正方體疊放在一起，

平面4AG2，平面44孰。。，平面4AG2分別代表第一，二，三個(gè)平面,

???四邊形B2C2C0B0為正方形，c°為1為G，

???G3，平面B2cze?B0,CnB2u平面B2C2C0Btt,.-.C2D21C0B2,

80c2nCD=C,80c2,U平面CB1平面44c2打；

222^BQC2D2,n2

同理可得：孰4_1平面48心口；

.?.平面4AC2A的法向量為以瓦，平面4B￡D。的法向量為以?,

CD=y/2,BQ、=Jr+1。+2-

0tCOB2==A/6,

2+2-6127r_27r

cos=0*c=6=-萬，:.NB2c°Di=不,即。。與與C/i的夾角為才,

???所求銳二面角的大小的余弦值是

故選：C.

7.【答案】D

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】在第一輪比賽中，甲對乙不對的概率為|x（l-g）=9乙對甲不對的概

率為甲乙都不對的概率為（1-并（1-張亮，所以恰有一人答對

的概率為1+4'7，故AB均錯(cuò)誤，

第9頁，共25頁

在第一輪比賽中，答對一道題的概率為答對兩道題的概率為答

155315

對。道題的概率為2爭

故在兩輪比賽中，甲、乙共答對三題的情況為：第一輪答對1道第二輪答對2道

和第一輪答對2道第二輪答對1道，故概率為/上2=1|,

在兩輪比賽中，甲、乙答對0道題的概率為￡2x=2=白4，答對1道題的概率為

1515225

97OR

卷x(x2=祭，所以甲、乙至多答對一題的概率為急，

故C錯(cuò)，D正確，

故選：D

8.【答案】D

【分析】根據(jù)旁心為兩外角和一個(gè)內(nèi)角角平分線交點(diǎn)，利用角平分線性質(zhì)得到

圈耨'再由雙曲線定義求結(jié)果即可.

【詳解】雙曲線巨-爐■=1中/=9，〃=[6,所以"3,6=4,

916

則c=yja2+b2-5,

由三角形得旁心的定義可知耳。,月。分別平分乙方用,/壁"，

在耳。中,附I留

sinZ.PQF,sin4PF、Q

Ml_Mol

在刖。中,

sin/.MQFysinZ.MF}Q

因?yàn)镹PQF\+NMQK=兀,/尸耳。=ZMF}Q,

所以sin/P0E=sin/M06sin/P^0=sin/g0,

所以國-西，

n同?理.u可rza得W西_一l^西l,

|M0|\MF2\MKlK1-1^212c

m以In八I=----=-----=---------L=—=e

西一網(wǎng)-西一可一2i

「T75?WQ\_5

而e=-=1+/=晨故兩一*

a

故選：D.

第10頁，共25頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用角平分線性質(zhì)得到需=耦=鬻，是解決本題的

關(guān)鍵.

9.【答案】ABC

【分析】利用正弦定理及三角形內(nèi)角的關(guān)系即可判斷A；

利用平面向量數(shù)量積的定義化簡所求，然后利用平方關(guān)系及A得出的結(jié)論即可判

斷B選項(xiàng)；

求出兩復(fù)數(shù)的模，結(jié)合A、B選項(xiàng)即可判斷C,

利用A選項(xiàng)得出的結(jié)論即可判斷D.

-TT

【詳解】解：對于A,①萬時(shí)，則sin4＞sin8,

JT

②當(dāng)乃＞力＞萬?時(shí)，由4+8〈4，貝!]8＜乃一/,故sin力〉sin8,

綜上sin力〉sin8,

所以故A正確;

“TnAB-ACbecosA,BA-BCaccosS?

XTJ-B,----------=-----------=cos/,-----------=-------------cosB>

因?yàn)閟inN>sin8,即Ji-cos?A>Vl-cos2B，所以|cosA\<|cosB\,

在ABC中，A>B,則角A為銳角，所以cos/<cos8,

ABACBABC

故B正確;

2222

對于C,|z||=A/COS+sinB,|z2|=A/COS5+sinA,

因?yàn)锳為銳角，根據(jù)A、B知sin。/>sin。5,cos2A<cos2B,

所以sin2A+cos2B>cos2A+sin2B>

所以|z卜㈤，故C正確;

對于D,根據(jù)A知a-6>0,sin-sin5>0,但無法比較a-b,sin/-sin8的大

小，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.【答案】AD

第11頁，共25頁

【分析】令x=0可求得A正確；根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式通項(xiàng)，分別代入

（k=7[k=S

c和。，加和即可得到生，知B錯(cuò)誤；分別令x=l和x=-l,加和后，結(jié)

[r=9|/=8

合%=1可知C錯(cuò)誤；對等式左右求導(dǎo)，代入x=l可得D正確.

【詳解】對于A,令x=0,則旬=（0+0+1）"=1,A正確；

對于B,，+X+1J展開式通項(xiàng)為:CJ（X2）9（x+iy,

（X+1）'展開式通項(xiàng)為：C%T,

.?.（/+X+1）展開式通項(xiàng)為：C；C＞,8-^,

令18--左=2,則廠+左=16，又廠Z：e[0,r],心林N,

?1〃=9或〃=8，..?Q2=C；C；+C；C：=36+9=45,B錯(cuò)誤；

對于C,令x=1,貝lj旬+q+&-----68=3。；

令x=-1,則Q。-q+Q2----+4g=1；

o9.1

兩式作和得：2（4+。2+-,+《8）=4'+1，4+/+。4+…+。18=--—，

T7_1.39+139—1pAit'O

又旬=1，/.％+。4-----%8=----------1=------，C與日聯(lián)；

對于D,...[（Y+工+]）9=9（x?+x+（2x+1）,

21817

（（z0+a^x+a2x-----Pal8xj=a,+h2x-\-----1l&l8x，

1217

..9（x+x+l），（2x+l）=q+2a,x+---+18a18x,

令x=l,則q+2a2+3%+…+18/8=9x38x3=3”,D正確.

故選：AD.

11.【答案】BC

【分析】根據(jù)題意求得。=臣=鋁,〃eZ,由Jl+守＞兀,求得

=In,得到。=＜或。=J,當(dāng)。=”時(shí)'求得夕=-稱，得到

TVn-l44418

/（x）=lsinflx-^\進(jìn)而得到/'（兀）＞0,所以°=!不符合題意，，求得

2\41o74

=可判定A不正確；由G時(shí)，求得9=一學(xué)+尼兀，乂￡Z,進(jìn)而可判定B

446

正確；求得g（x）=}in生+￡+“，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確、D

錯(cuò)誤.

【詳解】由函數(shù)/（x）=；sin?x+s）,因?yàn)?'（等）=0且/（等卜;，

第12頁，共25頁

—公八T28兀IOTT-、T一,口e8兀武廣…2兀2〃+1?

可得(2〃+l)x—=-------------=2兀,〃eN,可得7=--------,所以co=—=-----,ne.Z

4992/7+1T4

因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)極值點(diǎn)之間的距離大于兀，可得>71,解得了2>4兀2-4,

----------2兀兀13

所以r>“兀2一4，可得。=方</2，可得幻二:或幻=了，

17Tt—144

當(dāng)口=；時(shí)，/(x)=1sin^1x+^j,可得/

2

貝ljsin1￡+ej=1,可得￡+?=4兀，4￡Z,Bp^9=--^-4-kn,kGZ

因?yàn)槎?lt;n,所以8=-普，所以/(X)=：sin(x-1^],

1o2141oJ

可得/，(x)=1cos(%喑),則得㈤4cos尋鼾(cos(噎)>0,

1a

因?yàn)?,⑴所以。下不符合題意，(舍去)，所以所“所以A不正確;

4328JT7T117T

當(dāng)0=:時(shí)，可得一x------(p=—I-A：7C,A：GZ,解得/=------卜k/、k[WZ,

4492226

因?yàn)樗?lt;兀，所以s=5，所以B正確;

6

由3兀3371

/(x)=1sin—x+—,可得/'(x)=gcos—x+—

46o46

37133兀5.371

所以g(x)=/(x)+_f(x)=]Sin—x+—+-COS—x+—二—sin—x+—+a

46846846

其中tana=*e(09,因?yàn)?tanavl,可得

37c29兀38兀

又由工￡(3兀,4兀),可得一x+—+ae------FCC,---

461212

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得y=sinx在(日,母)為單調(diào)遞減函數(shù),

所以g(x)在xw(3兀,4兀)上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以C正確；

可得2x+2+ac(715兀

由XG(O,2n),一+tz,----Fct

46(63

E_^兀兀一r相兀兀口5兀3兀

因?yàn)?可得:+a且不-+a>=,

646232

所以當(dāng)%+>a=］時(shí)，即》=手-9時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值；

3TTQjr4?

當(dāng)x+w+a=〈時(shí)，即x="；a時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值，

4623

所以g(x)在(0,2兀)上存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，所以D不正確.

故選：BC.

第13頁，共25頁

12.【答案】BCD

【分析】對A,利用向量數(shù)量積公式計(jì)算即可判斷；對B,找到S為線段PC上靠

近C的三等分點(diǎn)，并利用線面垂直的判定即可證明；對C,利用向量基本定理結(jié)

合M,O,N三點(diǎn)共線有之+!-=1,再利用基本不等式的乘“1”法即可計(jì)算最

值；對D,利用空間向量中四點(diǎn)共面的結(jié)論得,網(wǎng)+網(wǎng)+國”結(jié)合

3x3y3z

|西H而H1|即可證明.

【詳解】對于選項(xiàng)A,國.（而+市）=閑?而+方?萩

=|由卜|A01cos60°+|萬|?|市|cos60°>0,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)直線平行于直線/8,S為線段PC上靠近C的三等分點(diǎn)，

即SC=；PC,此時(shí)PC,平面SRQ,以下給出證明：

在正四面體尸-/BC中，設(shè)各棱長為。，

:.“BCQPBCMACQPAB均為正三角形，???點(diǎn)。為&4BC的中心，MNHAB,

2

???由正三角形中的性質(zhì)，易得CN=CM=^a,

7I7T

在ACNS中，*.*CN——a,SC=—a,NSCN=—,

333

???由余弦定理得，SN=J⑶+陛1—2.工二cos工=9小

VUJI3J3333

4

:.SC2+SN2=-a2^CN2,則SNJ.PC,

同理，SM1PC,又SWcSN=S,SA/u平面SA0,SNu平面SH0,

.1PC，平面SR。,...存在點(diǎn)S與直線MV,使PC,平面SRQ,故B正確;

對于選項(xiàng)C,CM=XCA，CN=pCB,CO=^-(CA+CB\=^-CM+^-CN,

根據(jù)憶0,N三點(diǎn)共線有5+；=1,

3Z3〃

/t+3z/=(/l+3A)[-j+y-]=y+y-+j>^y^.

當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立，故c正確：

對于選項(xiàng)D,設(shè)。為8C的中點(diǎn)，則

_9一

又???P,4Q三點(diǎn)共線，?.?尸”==/>。,：/>,81三點(diǎn)共線,

PQ

而一一PC

:.PB=P??,:P,S,C三點(diǎn)共線，.?.尸c=PS,

PRPS

第14頁，共25頁

設(shè)|卮|=羽|麗|=八|西|=z，則所=網(wǎng)用+㈣麗+巴再，

3x3y3z

???O,Q,R,S四點(diǎn)共面，...畫+㈣+四=1，又T力H而H無

3x3y3z

1111.1113111_3

"3x+3y+3z~\p^"X+y+z~即國門網(wǎng)*網(wǎng)-網(wǎng)，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是先找到S點(diǎn)的位置，再利用余弦定理、

勾股定理以及線面垂直的判定即可證明；C選項(xiàng)主要是利用基底法得

函=5兩+5麗,再利用三點(diǎn)共線的結(jié)論得到導(dǎo)5=1,再利用乘法

即可，對于D選項(xiàng)則需利用空間四點(diǎn)共面的推論證明.

13.【答案】1012

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，且/(x)+/(4-x)=0,

所以./Xx)=-/(4-》)=/--4),

故/(X)是周期為4的周期函數(shù).

./(1)+/(3)=/(1)+/(-1)=0,所以/(3)=-/(1)=1，

令x=2,可得〃2)+/(2)=0,所以"2)=0,

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且周期為4,所以/(4)=/(())=0,

則I/(DI+I/(2)|+|/(3)|+|/(4)|=2|/(1)|=2,

20234

則Z1/(/)1=506.X1<(/)|-|./(4)|=506x2-0=1012.

1=1;=|

故答案為：1012.

14.【答案】《

O1

【分析】根據(jù)銳角三角比的圓的幾何特性即可求解.

設(shè)圓。與弧N8相切于點(diǎn)。，

圓圓。2與Of分別切于點(diǎn)C，E,

則。C_L。/,02E10A.

設(shè)圓。I，圓。2，圓…，

第15頁，共25頁

TT

因?yàn)?

所以乙40D」.

6

在RtAOQC中。。1=3-4,

則qc=；。。，

即八=1，

解得4=1.

在RtzxOQE中，OO2=3-々-2八，

則。之八；。。?，

即/=3_\_2外,

解得々=；=*.

同理可得，=

jr

所以S3=兀個(gè)=一.

81

故答案為：今

O1

15.【答案】2

【分析】設(shè)N耳犀=。，利用正弦定理可得外接圓半徑6=三，利用余弦定理結(jié)

sin，

合橢圓的定義，通過等面積法可得內(nèi)切圓半徑弓——翌—V，所以

(l+cosg)(a+c)

cb2

V2=~一；一藐,又根據(jù)橢圓的對稱性可知當(dāng)尸是橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)徑取得最

2(〃+c)cos-

大值，結(jié)合題意可得J5c=a=&，再設(shè)。(J2b2-2產(chǎn),?,利用兩點(diǎn)距離公式即

可求解.

【詳解】設(shè)N￡P(guān)居=9,

則由正弦定理得的夕卜接圓半徑1蓊

第16頁，共25頁

由余弦定理得

陽用2=1際f+陷「2附|花|cos*("訃花|戶2杷他1(+COS0),

1+cos。

設(shè)內(nèi)切圓半徑為々，所以由等面積法可得;4(|P用+|P周+E居|)=:附|陀卜in。,

解得G=7；----不7----v

(l+cos6)(a+c)

b?sin。

所以兩半徑之積化=布?(1+cos0)(a+c)/\2,

\八7Z9Ia-rCJCO5

又由橢圓的對稱性可得44cos22<1,所以

2(a+c)~2y/2+2>

解得6c=a=@,此時(shí)P是橢圓的短軸頂點(diǎn)，橢圓方程為三+二=1,

不妨設(shè)P是橢圓的上頂點(diǎn)，設(shè)0(，2〃一2袖ye[-b,b),

-2y2-0<2b=4,所以6=2,

故答案為：2

-29'

16.【答案】-7,—

_4_

【分析】設(shè)/(x)=x2-%cosx+a,+l,分析可得/(0)=4+1-%=0,求得

4=〃，邑=心的，對"分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合參變量分離法可求

2

得實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=x2-%MC0SX+%+1，該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

2

因?yàn)?(r)=(-x)-an+lcos(-x)+q+1=￥-%cosx+q+1=/),

則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，因?yàn)榉匠?(x)=0有唯一解，則/(0)=%+1-*=0,

所以，。,川-%=1且卬=1，故數(shù)列｛/｝是以1為公差和首項(xiàng)的等差數(shù)列，

故%=1+〃-1=〃，$./(："),由題意可得/J2+〃+9±(_I)Z”.

若"為奇數(shù)，貝IJ-左4〃+2+1,因?yàn)椤?2+122、小2+1=7,當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時(shí)，等

nnvw

號(hào)成立，

所以，-k<7,可得a-7；

若〃為偶數(shù)，則上4"+二9+1,令6,,=加+二9+1,則打=915，”=子29，

第17頁，共25頁

當(dāng)〃24時(shí)、

9992=21^——〃(〃+2)-艮0

bz—b=(〃+2)H-----F1-w1=2H-----

w+2"17n+2nn+2n小+2)，〃(〃+2)

且數(shù)列也｝中的偶數(shù)項(xiàng)從“開始單調(diào)遞增，因?yàn)椤埃荚伌藭r(shí)女〈亍.

綜上所述，一7?%?鄉(xiāng)29.

4

故答案為：-7,彳

17.【答案】(l)%="(”eN*)

⑵11

【分析】（1）先由前〃項(xiàng)和的遞推公式通過累乘法算出S.，然后由%與E,的關(guān)

系解出通項(xiàng)公式％.

（2）不等式左邊利用分組求和的方法求出和，然后構(gòu)造函數(shù)結(jié)合作差法與二項(xiàng)

式展開式來判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而解出上值.

【詳解】（1）因?yàn)?，￡?（〃+2）5“，所以滬="2

3”n

s?_3邑_&邑_3/工_”+1

所以彳『V耳一才…不一