小學(xué)數(shù)學(xué)五大幾何模型知識框架一、等積模型①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、共角定理（鳥頭定理）兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系．梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的對應(yīng)份數(shù)為．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形．五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。共邊定理：設(shè)直線AB與PQ交于點M，則特殊情況：當(dāng)PQ∥AB時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB例題精講一、鳥頭定理如圖16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?【考點】三角形的鳥頭模型【難度】3星【題型】解答如下圖，連接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面積比為底的比，則有=，所以=×=同理有=,即==×=.類似的還可以得到=×=，=×=．所以有=-(++)=(1)=．即為．【答案】。如圖，在中，延長至，使，延長至，使，是的中點，若的面積是，則的面積是多少？【考點】三角形的鳥頭模型【難度】3星【題型】解答∵在和中，與互補(bǔ)，∴．又，所以．同理可得，．所以【答案】3.5。二、三角形相似模型如圖，三角形的面積是8平方厘米，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，是的中點，則三角形的面積是平方厘米．【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空本題在矩形內(nèi)連接三點構(gòu)成一個三角形，而且其中一點是矩形某一條邊的中點，一般需要通過這一點做垂線．取的中點，連接，設(shè)交于．則三角形被分成兩個三角形，而且這兩個三角形有公共的底邊，可知三角形的面積等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)．因為是三角形的中位線，所以(厘米)，所以三角形的面積為(平方厘米)．【答案】8。如圖，三角形的面積為60平方厘米，、、分別為各邊的中點，那么陰影部分的面積是平方厘米．【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空陰影部分是一個不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積之差．而從圖中來看，既可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差，又可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差．(法1)如圖，連接．由于、、分別為各邊的中點，那么為平行四邊形，且面積為三角形面積的一半，即30平方厘米；那么的面積為平行四邊形面積的一半，為15平方厘米．根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于為三角形的中位線，長度為的一半，則，所以；，所以．那么的面積占面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)．(法2)如圖，連接．根據(jù)燕尾定理，，，所以平方厘米，而平方厘米，所以平方厘米，那么陰影部分面積為(平方厘米)．【總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法：⑴利用面積公式：底高；⑵利用整體減去部分；⑶利用比例和模型．【答案】12.5。如圖，已知,點分別在上，且，則是多少？【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答的面積已知，若知道的面積占的幾分之幾就可以計算出的面積．連接．∵∴∴與平行，∴∵，∴∴【答案】10。如圖，為正方形，且，請問四邊形的面積為多少？【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】解答(法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以．(法)如圖，連結(jié)，則(，而，所以，()．而()，因為，所以，則()，陰影部分面積等于()．【答案】三、蝴蝶模型梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答根據(jù)梯形蝴蝶定理，，，所以．【答案】4。如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積．【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，，，．【答案】7.5。如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為________．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角形3，所以1的面積就是，3的面積就是．【答案】20。如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答因為是邊上的中點，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，設(shè)份，則份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米．【答案】1。在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空連接，根據(jù)題意可知，根據(jù)蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．【答案】12。右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據(jù)蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為(平方厘米)．【答案】4。E是平行四邊形ABCD的CD邊上的一點，BD、AE相交于點F，已知三角形AFD的面積是6，三角形DEF的面積是4，求四邊形BCEF的面積為多少？【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答如圖，在平行線中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都為6，而頂上的三角形為6×6÷4=9，“？”處的三角形面積為9+6-6-4=5從而所求四邊形面積為5=6=11.【答案】11。如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米．問：四邊形的面積是多少平方厘米？【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答連接，根據(jù)梯形模型，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長方形的面積為(平方厘米)．四邊形的面積為(平方厘米)．【答案】25。如圖所示，、將長方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米．問：四邊形的面積是多少平方厘米？【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答(法1)連接，根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面積和三角形的面積相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形的面積為(平方厘米)，所以長方形的面積為(平方厘米)．四邊形的面積為(平方厘米)．(法2)由題意可知，，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，，所以三角形的面積為：(平方厘米)．則三角形面積為15平方厘米，長方形面積為(平方厘米)．四邊形的面積為(平方厘米)．【答案】11。如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空連接、．四邊形為梯形，所以，又根據(jù)蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)．【答案】9。正方形的邊長為，是的中點（如圖）。四邊形的面積為?！究键c】梯形模型【難度】3星【題型】填空連結(jié)，，即，，所以?！敬鸢浮?5。如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9．那么四邊形的面積是．【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空解法一：連接，依題意，所以，則．又因為，所以，得，所以．解法二：由于，所以，而，根據(jù)蝴蝶定理，，所以，所以．【答案】。四、燕尾定理如右圖，面積為的中，，，，求陰影部分面積．【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答設(shè)交于，交于，交于．連接，．∵，，∵，，∴∵∴，∵∴．同理∴，∵，∴，又∵，∴，同理，∵，∴，∴．同理個小陰影三角形的面積均為．陰影部分面積．【答案】。如圖，的面積為1，點、是邊的三等分點，點、是邊的三等分點，那么四邊形的面積是多少？【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答連接、、．根據(jù)燕尾定理，，，所以，那么，．類似分析可得．又，，可得．那么，．根據(jù)對稱性，可知四邊形的面積也為，那么四邊形周圍的圖形的面積之和為，所以四邊形的面積為．【答案】。課堂檢測四個面積為的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積．【考點】三角形的鳥頭模型【難度】4星【題型】解答如圖，將原圖擴(kuò)展成一個大正三角形，則與都是正三角形．假設(shè)正六邊形的邊長為為，則與的邊長都是，所以大正三角形的邊長為，那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍．而一個正六邊形是由6個單位小正三角形組成的，所以一個單位小正三角形的面積為，三角形的面積為．由于，，所以與三角形的面積之比為．同理可知、與三角形的面積之比都為，所以的面積占三角形面積的，所以的面積的面積為．【答案】。已知圖中每個正六邊形的面積都是1，則圖中虛線圍成的五邊形的面積是．【考點】三角形的鳥頭模型【難度】4星【題型】解答從圖中可以看出，虛線和虛線外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就是都等于一個正六邊形的面積；虛線和虛線外的圖形都等于一個正六邊形的一半，那么它們合起來等于一個正六邊形的面積；虛線外的圖形是兩個三角形，從右圖中可以看出，每個三角形都是一個正六邊形面積的，所以虛線外圖形的面積等于，所以五邊形的面積是．【答案】。家庭作業(yè)僅用下圖這把刻度尺，最少測量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面積比。【考點】三角形的鳥頭模型【難度】5星【題型】解答連接DA并延長交BC邊的延長線于E點，然后測出EA和ED的長度，由于EA與ED在一條直線上，所以測一次就能EA和ED長度，根據(jù)共邊定理可知，三角形ABC與三角形BCD的面積比就等于EA比ED，故最少測量1次就可解決問題。【答案】1次。如圖，正方形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，J為GD的中點，EJ交CD于I。已知正方形ABCD邊長為10cm，則圖中陰影部分的面積是_____cm2.【考點】相似三角形模型【難度】4星【題型】填空方法一、連結(jié)EG、FJ可得GI：IF=2:3，所以陰影部分的面積應(yīng)該是正方形EFGH的十分之二，也就是大正方形的十分之一，為10。方法二：根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，左圖中陰影面積與右圖中的陰影面積相等。只要找到底邊的比例關(guān)系便可以解答。根據(jù)“相似三角形”就是常說的沙漏定理。來找到底邊a、b的比例關(guān)系，但是需要添加輔助線，如圖所示：延長EA到K，使得EA=AK因為EK：GJ=4:1，所以EI：IJ=4：1，三角形EGJ的面積是正方形面積的八分之一（）【答案】10。如圖，三角形的面積是，，，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少?【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答設(shè)BG與AD交于點P，BG與AE交于點Q，BF與AD交于點M，BF與AE交于點N．連接CP，CQ，CM，CN．根據(jù)燕尾定理，，，設(shè)(份)，則(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,【答案】。如圖，，，，，．求．【考點】三角形的鳥頭模型【難度】3星【題型】解答本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個重要知識點融合到一起，既可以看作是”當(dāng)兩個三