（新高考）2021屆高考

數(shù)學(xué)（-）

注意事項(xiàng)：

i.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證

中號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

以

倒

赭2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題

?卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

中第I卷（選擇題）

K因

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

肥

二項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

K二1.已知集合4=卜,2+2%—3<。},B={y\y=2x,x>-\],則AB=（）

二

mA.[-1,1)B.[-3,1)C.[-2,1)D.[-1,1]

<【答案】C

【解析】A={x|-3<x<l},B={y|y>-2},.'.A3=[—2,1),故選C.

x

e2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=|3+4i]（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)為（）

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【答案】C

【解析】Vz(2+i)=|3+4i|,5(2-i)

2+i2+i2+i(2+i)(2-i)

2z=2+i,故選C.

載

3.下列命題中，真命題的是（）

A.函數(shù)y=sin|x|的周期是2兀B.VxeR,2A，>%2

x+2

C.函數(shù)yuln;-----是奇函數(shù)D.a+b=0的充要條件是f=一1

2-xb

界

【答案】C

【解析】由于不存在非零實(shí)數(shù)T使得sinIX1=sinIx+TI對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立,

所以函數(shù)丁=5山］刈不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)A是假命題;

當(dāng)x=2時(shí)，2*=/，故選項(xiàng)B是假命題；

尤+2

函數(shù)y=/(%)=In——的定義域(-2,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足/(-%)=-/(%),

2-x

故函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，即選項(xiàng)C是真命題；

由g=—1,得a+Z?=O且歷4),所以“a+b=O”的必要不充分條件是“N=—1”,

bb

故選項(xiàng)D是假命題，

故選C.

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S5=40,%=5,則S“=()

A.165B.176C.180D.187

【答案】D

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為%,公差為d,

5%+10J=40

由S5=40,a,=5,可得<,解得d=3,

%+d=5

所以4=%+4d=17,故Su=11&=187,故選D.

x-y+l>0

5.己知實(shí)數(shù)尤,>滿足不等式組(x+y-320,若好+產(chǎn)的最大值為掰，最小值為〃，則

x<2

m—n=()

1725『

A.—B.—C.16D.27

22

【答案】A

【解析】由不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示：

z=必+/表示可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，

由圖象可知：點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大,

x-y+l=O\x=2/、

由1；，得1，即4(2,3),

x=21y=3

2

???zmax=OA=4+9=13,即機(jī)=13；

過原點(diǎn)作直線x+y-3=0的垂線，垂足為3,則垂線方程為y=龍,

y=x

由、x+y-3=0經(jīng)檢驗(yàn)，3滿足可行域,

八n29999

2min=OB=---1---=_,即tzm〃=_,

min4422

917

Ht—n=13---=—,故選A.

22

6.若函數(shù)y=以+人為函數(shù)于（X）=lnx--圖象的一條切線，則2a+b的最小值為（）

x

A.In2B.In2--C.1D.2

2

【答案】B

（1、

【解析】設(shè)點(diǎn)/In5——是函數(shù)/（九）圖象上任一點(diǎn)，其中%>0,

/，W4+7

11

所以過點(diǎn)x0,lnx0—--的切線方程為y—lnx0

“0J

即y=----1——x-l------bln%

、％o%oJ%0

11.2,_2.,/

故〃=---1——,b7——1------FInXQ,2a+b7=--—1+lnx。(X。>0),

%/一/為“,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-l+lnx(x>0),g'(x)=--卻)=X；4=。+2)(x2),

XXXXX

所以g(x)在區(qū)間(0,2)上,g'(x)<0,g(x)遞減；

在區(qū)間(2,+8)上,gf(x)>0,g(x)遞增，

-^v-l+ln2=ln2--

(2)22，

即2。+〃的最小值為ln2-』，故選B.

2

7.設(shè)A、3為圓/+丁=1上的兩動(dòng)點(diǎn)，且NAO5=120。，尸為直線/:3%-4丁-15=。上

一動(dòng)點(diǎn)，則IPA+PBI的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】設(shè)。是中點(diǎn)，因?yàn)?。5=120。，所以|oq=|OA|sin30°=；,

即。在以原點(diǎn)為圓心，!為半徑的圓上，

2

PA+PB=PC+CA+PC+CB=2PC>\PA+PB\=\2Pc\,

??|0-0-15|155

又囪1皿=5+(_4)2=3,所以歸CL=3—5=5,所以IPA+MI皿=2x^=5,

故選C.

8.己知非空集合4口R,設(shè)集合S={x+y|xeey},T={x-y\xeA,y&A,

x>y}.分別用同、網(wǎng)、圖表示集合A、S、T中元素的個(gè)數(shù)，則下列說法不IE項(xiàng)的是

()

A.若⑶=4,則同+圖28B.若網(wǎng)=4,則同+閉412

C.若阿=5,則網(wǎng)+|刀可能為18D.若網(wǎng)=5,則同+圖不可能為19

【答案】D

【解析】已知S={x+y|xeA,yeA,x#y},T=^x-y\xeA,yA,x>.

又|A|、W|、|刀表示集合A、S、T中元素的個(gè)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，

對(duì)于AB,網(wǎng)=4,|S|〈G=6,圖〈仁=6,則同+|刀<12,故B正確;

但若考慮重復(fù)情況，即A由相鄰元素構(gòu)成，例4={1,2,3,4},則5={3,4,5,6,7},

T={1,2,3},即(同+0％=8,故A正確；

對(duì)于CD,四=5,|S|W以=1O,|丁歸《=10,則網(wǎng)+團(tuán)420,故D錯(cuò)誤；

但若考慮重復(fù)情況，即A由相鄰元素構(gòu)成，例4={1,2,3,4,5},則5={3,4,5,6,7,8,9},

T={1,2,3,4}，即(冏+切曲「11,故網(wǎng)+|刀可能為18,故C正確，

故選D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(關(guān))=cos<?x-Wsin<?x(<?>0)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是

()

A.①二2

/jrjr

B.函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為kn--,kK--(左eZ)

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于,o］中心對(duì)稱

D.函數(shù)/(x)的圖象可由y=2cosox圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到

6

【答案】AC

(解析］/(x)=coscox-石sincox=2coscox+—\,

1

由圖象可知37下"==7L一|(一5兀三A|=3；7t,所以7=兀=2」，所以啰=2,故A選項(xiàng)正確;

43112J4co

函數(shù)/(x)的解析式為/(x)=2cos［2x+g］,

JT2冗7T

令2防1一兀V2%+—?2防1(左￡Z),得防i----<x<kn——,

336

2兀7T

故/(X)的單調(diào)增區(qū)間為kji---(左eZ),故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3o

77r

因?yàn)榱?,故C選項(xiàng)正確;

12

因?yàn)?(%)圖象可由y=2cosox圖象向左平移百個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，

6

故選AC.

10.2014年7月18日，教育部公布了修訂的《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》.學(xué)生體測(cè)成績(jī)達(dá)

到或超過良好，才有資格參與評(píng)優(yōu)與評(píng)獎(jiǎng)，中學(xué)男生100米體能測(cè)試的良好成績(jī)小于14.15

秒、某中學(xué)為了解高一男生的體能情況，通過隨機(jī)抽樣，獲得了100名男生的100米體能測(cè)

試的成績(jī)(單位：秒)，將數(shù)據(jù)按照［11.5,12),［12,12.5),…，口5.5,16］分成9組,制成了

如圖所示的頻率分布直方圖.

,頻率

由直方圖推斷，下列選項(xiàng)正確的是()

A.直方圖中。的值為0.4

B.由直方圖估計(jì)本校高一男生100米體能測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為13.75秒

C.由直方圖估計(jì)本校高一男生100米體能測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為13.7秒

D.由直方圖估計(jì)本校高一男生100米體能測(cè)試成績(jī)良好率超過了80%

【答案】AB

【解析】A：由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，可知各組頻率之和為1.

?頻率=(頻率/組距)x組距，

0.5(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,解得a—0.4,

故A正確；

B：直方圖的眾數(shù)是頻率最高組的中點(diǎn)，即13.5+14Rm故B正確；

2

C：直方圖的中位數(shù)是頻率相等的分點(diǎn)，設(shè)為x,

則0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4)+0.52(x—13.5)=0.5,解得x?13.56<13.7,故C錯(cuò)

誤；

D：由圖可知.成績(jī)小于14.15秒的人數(shù)所占百分比為：

[0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4+0,52)+0.3x0,15]x100%=77.5%<80%,故D錯(cuò)誤，

故選AB.

22

11.已知橢圓。：[+]=1(0〈匕(君)的左、右焦點(diǎn)分別為月、尸2,點(diǎn)尸在橢圓上，

點(diǎn)。是圓V+(y—4『=1關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱的曲線E上任意一點(diǎn)，若|PQ|—山閭的

最小值為5-2百，則下列說法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2

B.曲線￡過點(diǎn)尸2的切線斜率為土#

C.若A、B為橢圓。上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的異于頂點(diǎn)和點(diǎn)P的兩點(diǎn)，則直線R4與依斜率之

積為——

D.歸。|+|尸閭的最小值為2

【答案】BC

【解析】圓f+(y—4)2=1關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱的曲線為以。(4,0)為圓心，1為半徑

的圓，

即曲線E的方程為(x—4J+y2=l,

由橢圓定義有尸耳+尸巳=2。=245知，

PQ-PF,=PQ-(2y/5-PFJ=PQ+PFX-2艮Q事-275,

由圖知。(3,0),

2

Q'4—2A/?=3+C—2君=5—2君nc=2,b=l,橢圓方程為q+y2=i,

故焦距片乙=2c=4,A錯(cuò)誤；

PQ+PF2>Q'F2=3-C=1,D錯(cuò)誤；

設(shè)曲線E過點(diǎn)歹2的切線斜率為k,則切線方程為乙-2左-y=0,

由圓心到切線方程的距離等于半徑有^=1n左=±

——,B正確;

3

設(shè)P(Xo，%)，A(%,%),8(-七,一%),

22

則%/=0^=丫冬

玉_%；_玉_尤0%_一尤0~

2，2

又P,A,5都在橢圓上,BPy+Jo=y+jf=l^

22—,c正確,

王一玉)

故選BC.

12.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，則“對(duì)于任意的xe(0,l］,不等

式/■(aeX+2x)+/(xlnx-r)20恒成立”的充分不必要條件可以是()

112111

A.—<<7<0B.——Ka<——C.—-Ka<—-D.—<a<e

eeeeee

【答案】CD

【解析】奇函數(shù)/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，則在(0,+8)上也單調(diào)遞增,

即/(X)是R上的單增函數(shù),

f(aex+2x)+/(xlnx-x2)>0of(ciex+2x)>-/(xlnx-x2)=f(x2-xlnx),

則+in%，xe(0,l］,即。之匚生」H在xe(0,1］上恒成立,

x2-2x-x]nx

令g(x)=

(2x—2—Inx—l)e'—(1？-2x—xlnx)cx—+4x—3+(x—1)Inx

貝|Jg'(%)=

e2x

(l-x)(x-3-lnx)

，xe(0,l],

記7z(x)=x—lnx-3,〃(x)=1-工40恒成立，即/z(x)單減,

X

又/z(4)=4>0,A(l)=-2<0,

ee

則必有為￡(0,l],h(x0)=x0-lnx0-3=0,

故工￡(0,%0),h(x)>0；xe(x0,l],h(x)<0,

因此xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)單增；xe(x0,l],g'(x)<0,g(x)單減,

,,,、，，、Xp-2x-xInx%0(/山/)—2%

因m此g(x)Wg(x0)=>———nn一n

e為

3

由X?！狪n/-3=0=>x。一In玉)=3,x0=e^代入得

,、//、3x-2xe、"1

g(x)Wg(x°)=—0—0

,,什/士x~-2x-xlnx_j_小?>,?,,、1

故右使a>--------------在xe(0,11］n上怛成乂，則aNg(xo)=不，

/e

根據(jù)充分不必要條件的定義可以判斷C、D正確，A、B錯(cuò)誤，

故選CD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)某總體是由編號(hào)為01,02,19,20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取

6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則

選出來的第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為.

1818079245441716580979838619

6206765003105523640515266238

【答案】19

【解析】由隨機(jī)數(shù)的抽樣規(guī)則得：依次選取的樣本編號(hào)為18,07,17,16,09,19,

故選出來的第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為19,故答案為19.

14.已知函數(shù)/(x)=J2x-1的反函數(shù)為尸⑸,則廣［3)=.

【答案】5

【解析】函數(shù)"%)=y=,2尤_］的反函數(shù)是廣1(%),

y2=2x-l,y>0,

r2,1

2

互換x，V,x=2y-l,得廣(x)=(—,X>Q,

則/（3）=5.

故答案為5.

15.已知"NC中角A,B，。所對(duì)的邊分別為a,b,c,。為邊3c上一點(diǎn)，且

為NB4C的角平分線，若/BAC=1,AD=?，則6+。最小值為.

【答案】4

【解析】如圖，；4。為角平分線，^AABC~^/XABD+^/\ADC，

：.-ABACsinZBAC=-ABADsmZBAD+-ACADsinZDAC,

222

化簡(jiǎn)得Z?+c=Z?c,11=1,則6+c=(b+c)|，：］+—1、|=2+，+巳b24,

bcybc)be

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取等號(hào)，故》+c最小值為4,

故答案為4.

16.已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為3,440=60°,￡為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC=6AE.將

△A3。沿翻折到"'或)的位置，￡記為￡'且二面角4—9―C的大小為120。，則

三棱錐4-3CD的外接球的半徑為；過E作平面a與該外接球相交，所得截面面

積的最小值為.

【答案中》

【解析】因?yàn)镹84D=60。且四邊形ABCD為菱形,

所以△CBD,AA2D均為等邊三角形，

取△*￡>,AA'SD的重心為M,N,過M,N作平面CBD、平面A5D的垂線，且垂線

交于一點(diǎn)0,

此時(shí)。即為三棱錐A-BCD的外接球球心，如下圖所示:

記ACBD=O',連接CO,。。'，因?yàn)槎娼茿—5D—C的大小為120。，

且AOLBD,CO'±BD,所以二面角A—5?！狢的平面角為NAO'C=120°,

因?yàn)镺'M=O'N,所以cosAMOO=cosZNOO,所以ZMO'O=NM9'O=60°,

又因?yàn)锽C=3,所以CO'=AO'=3sin60°=h叵，所以MO,=NO,=曉0,=叵,

232

3

所以。河=O'Mtan60°=—,

2

又CM=3c(y=也,所以O(shè)C=，CAf2+O"='+』=叵,

3v42

所以三棱錐A-5CD的外接球的半徑為叵.

2

當(dāng)截面面積取最小值時(shí)，此時(shí)。石'，截面，

又因?yàn)榻孛媸莻€(gè)圓，設(shè)圓的半徑為心外接球的半徑為R,

又因?yàn)镹E'=工AO'=工CO'=且且。N=。M=3,

3322

所以O(shè)E'=【ON?+NF?=+|=

所以r=JR2_°E，2=舊_3=|,所以此時(shí)截面面積為5=兀1|]=（兀

故答案為叵，2兀.

24

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.（10分）在A45c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,。，且耳=25sin[c+1）

（1）求B；

（2）若八45。的面積為石，。為A3邊的中點(diǎn)，求CD的最小值.

【答案】（1）]；（2）72.

【解析】（1）由6a=2Z?sin[c+g；

可得A/3sinA=2sinB[sinCcos]+cosCsin,

所以百sin（5+C）=sinBsinC+y/3sinBcosC,

即百sinJBcosC+若cos3sinC=sinBsinC+A/3sinBcosC，

又sinC>0,化簡(jiǎn)可得6cosB=sinB，即tanjB=g，

7T

因?yàn)?￡（0,兀），所以B=—.

3

⑵因?yàn)镾eL—sinB-G所以歐=4,

在△BCD中，由余弦定理可得CD?=/+（：]-2a.^COsB

.r2

=。~H----2>2。-r---2=2,

42

當(dāng)且僅當(dāng)a=J5，c=2后時(shí)，等號(hào)成立，

所以CD2J5，即CD的最小值為亞.

18.（12分）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝中，%=3,4=27.

(1)求a”；

(2)設(shè)勿=log3。.，數(shù)列｛c.｝滿足%=a“+"，求數(shù)列｛c*｝的前〃項(xiàng)和S“.

【答案】(1)a?=3-'；(2)Sn+

22

【解析】(1)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比公

而%=3,tz4=27,即axq=3,

又ad=27,解得4=1,4=3,

所以4=3"1

(2)由(1)知6“=logsa”=log?3"-'="-1,C“="-1+3”T,

所以S“=(0+3°)+(l+3i)+(2+32)++(〃—1+3力)

,!

八cc.、八cc22c“i、1n(n-l)71—3"n(n-l)73-l

=(1+2+3++77-1)+(1+3+3++3?-)=+__=+__.

19.(12分)為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均

金屬含量)(單位：g/n?)與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離X(單位：m)的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，

119

得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.(表中%=一,筋=xX%).

七9臺(tái)

9

x￥2u

XyUE(.--)以X(x,-x)(y,-v)S(.-?)(>'.-y)

1=1i=lj=li=l

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷y=a+bx與y=c+4哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含

x

量》關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離》的回歸方程類型？

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題：

(0建立y關(guān)于X的回歸方程；

(拓)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x=20時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？

(歷)已知該金屬在距離原點(diǎn)無m時(shí)的平均開采成本W(wǎng)(單位：元)與X,y關(guān)系為

W=1000(y—lnx)(lWxW100),根據(jù)(2)的結(jié)果回答，x為何值時(shí)，開采成本最大?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（％,SJ,（G，S2），一，（/“，S"），其線性相關(guān)系數(shù)

i=l

也（-）2"f

Vi=li=l

￡（—）（§T）

其回歸直線s=a+/3t的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為B=耳F----------------，

1=1

a=W一麗?

【答案】（1）y=c—更適宜；（2）（z）y-100-----；（z7）99.5g/m3；（nz）工為10

xx

時(shí)，開采成本最大.

【解析】（1）y=〃+法的線性相關(guān)系數(shù)

9

Z（x，-可（'—y）

1=126.13

[-99?0.898,

EG-元脛（y-方2760x14.12

i=li=l

9

方）（K-歹）

—1.40

y=c+-的線性相關(guān)系數(shù)r2=?J9?-0.996,

1但（%-方）之（y-于VO.14x14.12

Vz=li=l

kl<1^1,

...y=c+4更適宜作為平均金屬含量y關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離X的回歸方程類型.

-Z（%一斤）（%-歹）_140

（2）（力〃=-------------=——-=-10,a=y-pu=97.9-（-10）x0.21=100,

十/—\20.14'7

—

i=l

：.y=100-10^=100——，

x

y關(guān)于x的回歸方程為j=ioo--.

X

10Q

（泊當(dāng)x=20時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為￡=100——=99.5g/m3.

（訪）w=1000（y-Inx）=1000^100----InxJ,

4/（.x）=100---Inx,貝了（%）=?—,

xXXX

當(dāng)i<x<io時(shí)，r（x）>o,“％）單調(diào)遞增；

當(dāng)10<x?100時(shí)，r（x）<0,/（尤）單調(diào)遞減，

?../（%）在1=10處取得極大值，也是最大值，此時(shí)W取得最大值，

故x為io時(shí)，開采成本最大.

20.（12分）如圖1所示，梯形ABCD中，AD=2AB=2BC=2CD=4.￡為AD的中

點(diǎn)，

連接3E,AC交于B，將八45￡沿3E折疊，使得平面ABEL平面3CDE（如圖2）,

（1）求證：AF±CD；

（2）求平面AFC與平面ADE所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

5

【解析】（1）證明：連接EC,

因?yàn)锳T>=2A5=23C=2CE>=4.￡為的中點(diǎn)，

所以八43￡、ABCE、史都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

又AE〃BC,所以四邊形A3CE是菱形,

所以AFLBK,CFLBE,

又因?yàn)槠矫嫫矫?CDE,平面ABE平面6CDE=6E,

AFu平面A3E，所以AFL平面3CDE,

又因?yàn)镃Du平面3CDE,所以AFLCD.

（2）由（1）知EB、FC、E4兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

￡(-1,0,0),￡)(—2,6,0),4(0,0,"),ED=(-1,73,0),EA=(1,0,73),

設(shè)平面ADE的法向量為m=（x,y,z）,

EDm=-x+垂>y=0—「

f-，令X=G，則=(百』,一1),

EA-m=x+V3z=0

平面ACE的法向量為〃=（L0,0）,

設(shè)平面AFC與平面ADE所成的二面角的大小為氏

ICOS昨^

\m\-\n\Bl#>

所以sin8=A/1-cos20二

21.（12分）已知點(diǎn)P（—2,%）為拋物線C:爐=2py（p>0）上一點(diǎn)，尸為拋物線C的焦點(diǎn),

拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)Q,且△戶PQ面積為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線/經(jīng)過（2,5）交拋物線C于M,N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P）,求證：NMPN的大小為定

值.

【答案】（1）龍2=4y；（2）證明見解析.

（2、

【解析】（1）據(jù)題意可知P—2,一,

IP）

X.X

由％02=2py,得y=丁，求導(dǎo)得丁=一，

2Pp

22

所以拋物線c在點(diǎn)尸處的切線方程為y-一=——（X+2）,

pP

2(

令x=0,得,=一一，即。0,—

PIPJ

又《國(guó)K+2x2=2,

所以s△尸產(chǎn)。=5*解得P=2,

、2P)

所以拋物線C的方程為4〉.

（2）據(jù)題意知直線/斜率存在，設(shè)為比從而直線/方程為丁=左（％-2）+5,

(Q(2、

設(shè)M不？,NX2A

I4J4

y=k(x-2)+5

由＜得X2—4履+8左一20=0,

V=4y

所以％1+%=4左，玉％2=8左一20,

/2、

因?yàn)镻M=石+2,，一1,PN=x,+2A-1

\4J\r4)

222

所以PM.PN=%々+2(玉+%)+4+—七+1

二為4+2(4+Z)+唔_(七+9]—2石馬+5

=16左一15+4左2—20左+25—(4左2—4左+10)=0,

所以PMLPN，

所以NMPN的大小為90。，是一個(gè)定值.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=ln（x+l）—Ax—l,%＞0.

（1）討論函數(shù)/（光）的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于x的不等式〃力+三

20對(duì)任意了之0恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）k＜l.

【解析】（1）/（x）=ln（x+l）-Ax-l,x＞Q,f'（x）=———k=---——.

①若左＜0,則r（x）＞0恒成立，故/（X）在［0,+8）上單調(diào)遞增;

②若0＜左＜1,令/'（尤）=0,得》=4一1〉