2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(4)

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合［={0,1},則下列關(guān)系表示錯(cuò)誤的是()

A.0G4B.⑴G4C.。D.{0,

【答案】B

【解析】

根據(jù)元素與集合關(guān)系的表示法，0GA,故A正確;

根據(jù)集合與集合關(guān)系的表示法，{1}UA,判斷B假;

0是任意集合的子集，故C正確;

根據(jù)集合子集的定義，{0,1}UA,故D正確;

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查的是集合的包含關(guān)系的判斷及其應(yīng)用，元素與集合關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題.

函數(shù)/(x)=GT+丄的定義域?yàn)閛

2.

2-x

A.(1,2)U(2,+8)B.[1,2)U(2,+8)

C.(1,2)U(2,+8)D.[1,2)U(2,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

由函數(shù)/(x)=471+丄有意義,x+1>0

得出不等式組.八，即可求解.

2-x2-xw0

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=67T+丄有意義，則滿足x+1>0

,八，解得了2-1且xw2,

2-x2—"0

即函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋垡籰,2)U(2,+o)).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了具體函數(shù)的定義域的求解，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出相應(yīng)的不等

式組是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.

3.已知函數(shù)/(x)是定義在R的周期為2的函數(shù)，當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=4',則/m=()

<2)

A.1B.4C.2D.32

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)周期性可得再通過(guò)0<x<l時(shí)，/(x)=4'可得答案.

【詳解】

冋述卜4匕.

解：由已知可得

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.若Iga-21g2=1,則a=()

A.4B.10C.20D.40

【答案】D

【解析】

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得出/go-2/g2=/gg=/gl0,從而得出@=10,解出a即可.

44

【詳解】

Iga-21g2=1化為Iga-lg22=1,即1g(=1,

所以，—=10,a=40,

故選D

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知扇形的周長(zhǎng)是3cm,面積是一cm?,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

2

C.1或42或4

【答案】C

【解析】

1,1,,/=2

—lr——l=i

依題意，｛22,解得｛，或｛1,故弧度數(shù)為1或4.

7c。/=]r——

/+2r=3

6.已知sino—cosa,則sinacosa等于()

4

V799

3232

【答案】C

【解析】

【分析】

25

由題意得（s力7。-COSQ）2=—,化簡(jiǎn)即得解.

【詳解】

由題意得(s/〃a—coso')'——,

16

,,25

即Rnsina+cos'a—2sinacosa——,

16

r2,225

Xsina+cosa=\,'.1—2smacosa=—,

16

9

smacosa=——.

32

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

7.在A48c中，內(nèi)角Z，B,。所對(duì)的邊分別為b,c.若c?=/十〃一成，出,=6,則A48C

的面積為()

A.3B.C.D.3G

22

【答案】C

【解析】

【分析】

通過(guò)余弦定理可得C角，再通過(guò)面積公式即得答案.

【詳解】

根據(jù)余弦定理C2=/+/-2"COSC,對(duì)比T=/+〃—"，可知cosC=，

2

，于是。=工，根據(jù)面積公式得5=丄竝sinC=邁，故答案為C.

322

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，比較基礎(chǔ).

8.己知向量￡=(1,2),6=(2,-2),C=(l,/l),若工//(2￡+可,則4=()

11

A.—B.1C.一一D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)7/(2Z+B),建立等式關(guān)系，可求出；L

【詳解】

由題意，2%+否=(2,4)+(2,-2)=(4,2),

因?yàn)?/(2￡+3),所以1x2—4/1=0,解得2=

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.在等差數(shù)列{aj中，已知4+為=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Su=()

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】

試題分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式s.="3；"卩,小="伍廣)=U"+/)=笆=88.

考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

10.已知不等式ax2-5x+b>0的解集為"|一3<x<2},則不等式/一5x+a>0的解集為

()

A.{x|x<—或x>—}B.{x|—vx<

C.{x|-3<x<2}D.{%[%<-3或1>2}

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式ax?-5x+b>0的解集為{x|—3<x<2},可得4/一5%+6=0的根為—3,2,

,由韋達(dá)定理可得。力的值，代入不等式6/_5工+0〉0解出其解集即可.

【詳解】

,/ax2-5x+Z>>0的解集為{x|-3<x<2},

/.ax1-5x-^b=Q的根為一3,2,

即-3+2=』，-3x2=-,

aa

解得。=-5,6=30,

則不等式bx?-5x+a>0可化為30/-5X-5>0，

即為6x2—x—1>0,

解得或x>g},故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集與一元二次方程的根之間的

關(guān)系，其中利用韋達(dá)定理求出的值，是解答本題的關(guān)鍵.

11.一個(gè)球的體積為36萬(wàn)，則這個(gè)球的表面積為（）

A.12萬(wàn)B.361C.108萬(wàn)D.44

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)球的半徑為R,由球的體積可求得R=3,代入表面積公式即可得到答案.

【詳解】

4

設(shè)球的半徑為R，球的體積為36%一乃川，解得&=3,則球的表面積4兀R?=4x9%=36萬(wàn)，

3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查球的體積，表面積公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.

12.已知點(diǎn)P（x,y）為圓C：x?+必—6x+8=0上的一點(diǎn)，則W+爐的最大值是（）

A.2B.4C.9D.16

【答案】D

【解析】

【分析】

利用?+/表示的幾何意義可求其最大值.

【詳解】

由圓的方程可知圓心為（3,0）,半徑為1.

￡+/可看作點(diǎn)尸（x,田,。（0,0）距離的平方即|OP|2,

又\OP\<J（3-0）2+1即|。冃（4,故+爐的最大值為16,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考慮圓中的最值問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為幾何對(duì)象到圓心的距離來(lái)考慮，本題屬于基礎(chǔ)題.

13.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，()

A.若a丄4，加ua,nu0,則加丄〃

B.若7〃丄a,mlln，n//0,則a丄4

C.若丄〃，加ua,nu0,則a丄4

D.若alip,帆ua,nu/3,則mlln

【答案】B

S【解析】

【分析】

根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】

若。丄/，mua,nu(3,則加與〃相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

,加丄a,/〃〃“，...〃丄a，又a丄尸，故B正確；

若加丄〃，mua,nup,則a與￡的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；

若￡//月，mua，nu(3，則加〃〃或加，〃異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面、面面有關(guān)的命題的判定，熟記線面、面面位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.

14.某學(xué)校有高中學(xué)生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分層抽樣的方

法抽取一個(gè)容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為()

A.30、10、5B.25、15、5C.20、15、10D.15、15、15

【答案】C

【解析】

試題分析：易知每個(gè)學(xué)生被抽取的概率型=業(yè)上<=二'.所以根據(jù)隨機(jī)抽樣的定義，高一、高二、高

啰施谷：

三各年級(jí)被抽取的人數(shù)為400—=20.300x丄=15,200、丄=10故選C

202020

考點(diǎn)：分層抽樣

15.《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說(shuō)的“天圓地方”.我國(guó)古代銅錢的

鑄造也蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想.現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中

圓的半徑為r,正方形的邊長(zhǎng)為a(0<a<r),若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到點(diǎn)取自陰影部分的概率是p,

則圓周率〃的值為()

a2a2aa

A，(l-p)，B'(1+0/C，(l-p)fD-(i+p?

【答案】A

【解析】

【分析】

計(jì)算圓形錢幣的面積和正方形的面積，利用幾何概型的概率公式求出P，則萬(wàn)可求.

【詳解】

圓形錢幣的半徑為九m,面積為5財(cái)=不?尹；

正方形邊長(zhǎng)為dem,面積為S正方形=，.

在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

a2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何概型的概率求法及應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

16.國(guó)家氣象局統(tǒng)計(jì)某市2016年各月的平均氣溫(單位：C)數(shù)據(jù)的莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)是___.

【答案】

【解析】

【分析】

將莖葉圖各數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)中位數(shù)定義得結(jié)果.

【詳解】

將莖葉圖各數(shù)據(jù)從小到大排列，可得中位數(shù)為型坦=20.5.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查莖葉圖以及中位數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

21

17.已知x>0,歹>0,且一+—=1,貝Ux+2V的最小值是

xy

【答案】8

【解析】

【分析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】

x+2y=(x+2y)-+—=2+—+^-+2>4+2=8,

【xy丿yx

當(dāng)且僅當(dāng)土=肛時(shí)等號(hào)成立.

y%

故x+2y的最小值為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式求和的最小值，整體代入法，屬于基礎(chǔ)題.

x+y＞4

18.若實(shí)數(shù)x，V滿足＜x+3y—6K0,則2=》一^的最小值是.

”0

【答案】2

【解析】

【分析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到最值.

【詳解】

如圖所示，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，

可知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?図所在區(qū)域，其中N（4,0）,8（3,1）,C（6,0）,

2=%-^可轉(zhuǎn)化為直線＞=》-2,可知當(dāng)直線過(guò)8時(shí)，z取得最小值為2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫出圖象是解題的關(guān)鍵.

19.下表給岀一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”

滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行第

j列的數(shù)為為。2j,i,jeN+）,貝桁83等于.

丄

【答案】2；

1

-1

【解析】由題意得表示第8行第3列的數(shù)，因?yàn)槊恳涣谐傻炔顢?shù)列，首列為4,第二列首項(xiàng)是上，

832

1

—111

所以公差是4,第8行首項(xiàng)是歿=6+71=丄+7x丄=2,每一行的數(shù)成等比數(shù)列，公比是丄，

,442

鉄=2x,)4

三、解答題

20.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，三角形支架如圖所示，要求NZCB=60。，8C長(zhǎng)度

大于1,且4c比Z3長(zhǎng)米，

(1)設(shè)6c=。，求4c長(zhǎng)？

(2)為了廣告牌穩(wěn)固，要求ZC的長(zhǎng)度越短越好，求ZC最短為多少米？且當(dāng)NC最短時(shí)，8c長(zhǎng)

度為多少米？

【答案】(1)6J—0-25(q〉］)；(2)ZC最短為2+G米，當(dāng)ZC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度為1+?

a—12

米.

【解析】

【分析】

(1)運(yùn)用余弦定理建立函數(shù)表達(dá)式；

(2)分拆分式型函數(shù)式，用基本不等式求最值.

【詳解】

設(shè)BC=a(a〉l),4C=b,則N8=6-0.5,

V(b-0.5)2=b2+a2-2abeos60°,A-b+0.25=a?—ab，

整理得6="-0,250

a-\

(2)令=>0),：.a=t+\,

(f+1)2-0.25/2+2/+0.753?“巨_九八

tt4tV4

(當(dāng)且僅當(dāng)/=2，即/=正時(shí)取等號(hào))

4/2

綜上，當(dāng)8。=1+且米時(shí)ZC最短，為2+JJ米.

2

【點(diǎn)睛】

分式型函數(shù)分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等"，如果不能取等則轉(zhuǎn)化為函

數(shù)求最值.

21.等比數(shù)列｛%｝中，/=1,%=4%.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a.>0,bn=log2a2+log,+???+log2an+l,求數(shù)列|>的前〃項(xiàng)和.

他J

2%

【答案】⑴a,=T'；(2)T=--.

nn+1

【解析】

【分析】

(1)直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)一步求出數(shù)列的的通項(xiàng)公式.

(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

【詳解】

42

解：(1)依題意，a