高三數(shù)學(xué)秋季期末押題卷（全國版）3-答案解析

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1,已知全集U=R,A={x\x2<9},B={x\-2<x<4},則4n（CRB）等于（）

A.{x|-3<%<—2)B.{x|3<x<4]

C.{x|-2<%<3}D.{x|—3<x-2}

【答案】D;

【解析】解：因?yàn)槿疷=R,A=[x\x2<9},B={x\-2<x<4},

所以4={x|-3<%<3},CRB={x\x>4或x<—2},

則2n(CRB)={x|-3<%<-2}.

故選：D.

2、已知復(fù)數(shù)z滿足z=—1+gi(其中i為虛數(shù)單位)，則。=()

\z\

A.一工+更IB.-i-^IC.工+更ID.

222222

【答案】B;

【解析】解：??,z=—1+gi,5=-1—百i,\z\-2,

故選：B.

3、FE[1,2],a%2+1<0”為真命題的充分必要條件是()

i

A.a4—1B.a4—C.a4—2D.a40

'4'

【答案】B;

【解析】解：:VxG[1,2],ax2+140,?,?ax2<—1,a<0,

,?,%G[1,2],???ax2G[4a,a],

“V久e[1,2],a%2+1<0"=>"a<--",

4

“a<0u\ixC[1,2]，aK2+i《?！?，

“V久G[1,2],a/+140”為真命題的充分必要條件是a

4

故選：B.

4、已知向量q,b滿足|a|=1，b=2,(a—b),(a+3b)=—13,貝!Jq與人的夾角。為()

A.7B.IC.—D.—

6336

【答案】c；

【解析】解：由|a|=1，b=2,(a—b),(a+3b)=—13,

得M—3廬+2a-b=l—3x4+2xlx2xcos6=-13，

-i

解得cos。=

又ee[o,TT],

所以"季

即曲評(píng)勺夾角。為小

故選：C.

5、已知2a=3-21，c-b=logi(x2+2%+3),則實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是()

2

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】A;

【解析】解：因?yàn)?a=3?2〃T,所以2a=|x2b=2a-b=|>i=20=a—b>0na>b,

又因?yàn)閏—b=logi(x2+2%+3)=logi[(x+I)2+2]<logi2=—l=c—bV0=c<b,

222

則實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是a>b>c.

故選：A.

6、中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、

蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次

選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜

歡，則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的概率是（）

1155

A.—B.—C.—D.—

66556611

【答案】C；

【解析】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：

如果同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，

此時(shí)的選法有禺X禺0=30種；

如果同學(xué)甲選羊，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和牛中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選，

此時(shí)的選法有禺X禺o=30種；

如果同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中任意選,

此時(shí)的選法有禺X瑪0=40種，

則不同的選法共有30+30+40=100種，

而總數(shù)有A%=12X11X10種，

故讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的概率是P=,w=

12X11X1066

故選：C.

22

7、已知雙曲線,一方=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸式2聲,0）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)P為雙曲

線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且AAPFi的周長的最小值為8,則雙曲線的離心率為（）.

A.VIB.V3C.2D.2V2

【答案】D;

【解析】解：由右焦點(diǎn)為0（2四,0），點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1），得c=2奩，=回彳=3,由

△4P0的周長的最小值為8,可得|P川+|PF/的最小值為5,

設(shè)尸2為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接PF?,如圖所示，則IP&I=IPF2I+2a,

當(dāng)A,P,尸2三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+IPF2I取得最小值，為|力尸2|=3,

即有3+2a=5,即a=l,又c=2魚,

可得e=￡=2vL

a

8、對(duì)于數(shù)列｛a",規(guī)定｛△為數(shù)列｛%J的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△an=an+1-an(nEN*),對(duì)

自然數(shù)k(k>2),規(guī)定｛△欠為數(shù)列｛a"的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△欠出1=小-1與+1—

k-1

△an.若%=1,且M-△%+i+%=eN*),則數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式為()

2n171

A.an=n-2~B.an=n-2T

711

C.an=(n+1)-2n-2D.an=(2n-1)-2-

【答案】B;

【解析】解：根據(jù)題中定義，an-△an+1+=(Aan+1-Aan)-Aan+1+an=

-2n(neN*),

a=aa-anan

即時(shí)—△nn~(n+ln)=2(Zn—an+1=—2,即冊(cè)+1=^n+2，

等式兩邊同時(shí)除以291,得瑞=愛+(

.a」+i__工T7也_工

9

??2n+l-9_5，乂萬一2

.??數(shù)列｛愛｝是以m為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

J1+!(?-1)=p--an=n-251.

故選：B.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

9、已知點(diǎn)A是直線八支+y—四=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q是圓/+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，若NPAQ的

最大值為90°,則點(diǎn)/的坐標(biāo)可以是().

A.(0,V2)B.(1,V2-1)C.(V2,0)D.(V2-1,1)

【答案】A;C;

【解析】解：設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為—t),當(dāng)4P、4Q均為圓的切線時(shí)，ZPAQ=90°,

此時(shí)四邊形24Q。為正方形，則|0川=VI，即七2+(加—￡=2，

解得t=0或1=V2，

故4(0,四)或4(加,0),

故選：AC.

10、已知/■(無)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)久》0時(shí)，有/■(久+1)=—/'(久)，且當(dāng)xe[0,1)時(shí)，

下列命題錯(cuò)誤的是()

/(x)=log2(x+l),

A./(2019)+f(—2020)=0

B.函數(shù)/(久)在定義域上是周期為2的函數(shù)

C.直線y=%與函數(shù)八久)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)

D.函數(shù)人尤)的值域?yàn)閇-1,1]

【答案】B;C;D;

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4當(dāng)久>0時(shí)，有f(%+1)=-f(x),則/'(久+2)=-f(x+1)=f(x),即有/'(%+2)=

/1(久)，

又當(dāng)%時(shí)，則

e[0,1)/(%)=log2(x+1),/(0)=log2l=0,

故/⑴=-/(0)=0,

故"2019)=/(I)=0,/(2020)=/(0)=0,

又/(%)為奇函數(shù)，則/(一2020)=-/(2020)=0,

故/(2019)+f(-2020)=0,A正確；

對(duì)于B,函數(shù)門尢）在定義域上不是周期為2的函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,直線y=x與函數(shù)〃久）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即（0,0）,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,函數(shù)/（久）的值域?yàn)椋ā?,1）,D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

11、針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中

被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的:女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)

的|,若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則調(diào)查中男生可能有（）人

附表：

P(K2?*)0.0500.010

附：K2=__n(a"bc)2________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

kXa416.635

A.25B.45C.60D.75

【答案】B;C;D;

【解析】解：設(shè)男生可能有無人，依題意可得列聯(lián)表如下；

再次抖音不喜歡抖音總計(jì)

41

男生-X-XX

55

3、

女生XX

55

73

總計(jì)-X-X2x

55

若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則K2>3.841,

由腔=2嘴、=藝〉3,841，解得x>40.3305,

由題意知%>0,且％是5的整數(shù)倍，所以45,60和75都滿足題意.

故選：BCD.

12、已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線/的斜率為舊且經(jīng)過點(diǎn)尸，直線I與拋物線C

交于點(diǎn)4、B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在第一象限)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)￡>,若|ZF|=8,則以下結(jié)論正確的是

().

A.p=4DF=FAC.\BD\=2\BF\D.\BF\=4

【答案】A;B;C;

【解析】解：如圖，F(xiàn)g,0),直線/的斜率為舊，則直線/的方程為y=遍(久一9，

y2=2px

聯(lián)立；g(P\9得12%2—20px+3P2=o,

解得：x=fp,x=；p,

AzBo

由=|p+§=2p=8,得p=4,

.?.拋物線C的方程為y2=8x.

?1-=|>則|BF|=|+2=*

又???|BD|=一吟，二|BD|=2\BF\=爭

cos603

\BD\+\BF\=|+y=8,則尸為2。中點(diǎn)，

.,?結(jié)論正確的是4,B,C.

故選：ABC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13、隨機(jī)變量X的取值為0、1、2,尸(X=0)=02,DX=0.4,則EX=.

【答案】1；

【解析】解：?.?隨機(jī)變量X的取值為0、1、2,P(X=0)=0.2,DX=0.4,

.?.設(shè)P(X=1)=a,貝i|P(X=2)=0.8-a,0<a<0.8,

則EX=0x0.2+a+2(0.8一a)=1.6-a,

DX=(a—1.6)2x0.24-(a-0.6)2a+(a+04)2(0.8-a)=0.4,

整理得a?-0.2a-0.24=0,

解得a=0.6或a=—0,4(舍)，

EX=1.6-a=1.6-0.6=1.

故答案為：L

14、已知函數(shù)/(x)=4sin(cox+(p)>0,a)>0,\(p\<g)的最大值為8，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間

的距離為全且/(%)的圖象關(guān)于直線％=*對(duì)稱，則當(dāng)工€卜?弓時(shí)，函數(shù)/(久)的最小值

為.

【答案】—西；

2

【解析】解：由題意知，在函數(shù)/(%)=力sinQo%+R)中，A=W，=p

T-TCco——2,

T

???/(x)=V3sin(2x+cp),

又/⑺的圖象關(guān)于直線X=-翔稱，

2X(—+(p=k.Tc+5/cGZ,解得0=kn+—■)kwZ,

??,Iwl<p

71

???/(%)=V3sin(2x+3

.re卜沆］一,?2%+江卜屋］，可得sin(2x+$C昌,斗

故答案為：-巴

15、在(2/+1)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為；系數(shù)最大的項(xiàng)

是.

【答案】60;240%6;

【解析】解：(1)展開式的通項(xiàng)公式為7；+i=C式2x2)6-r-(gr=26TxCrxl2-3r,令—

3r=0,則r=4,

2

T5=2XC^=60,故展開式的常數(shù)項(xiàng)為60.

26~rX篇》26-(r-1)XCRT

(2)若設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

26TxCr>26-(r+l)*C/l

7

6212-3x26

解得2<r<vrGZ,r=2,T3=2-X鬣-x=240x,

系數(shù)最大的項(xiàng)為240久6.

故答案為：60,240久6.

16、中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為

長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為

鱉膈，如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉腌的組合體，已知PA1平面力BCE,四邊形ABCD為正方形，

AD=V5，ED=V3，若鱉腌P-40E的外接球的體積為9或兀，則陽馬P-4BC0的外接球的表

面積等于.

￡D

【答案】20兀;

【解析】解：鱉腌P-4CE可以看成如圖所示的長方體的一部分,

則長方體的外接球即為鱉臊P-40E的外接球，

又???鱉膈P-ADE的外接球的體積為9魚兀，

二鱉HP-4DE的外接球的半徑為R=越，

2

->JED2+AD2+PA2=―，：.PA=V10，

22

陽馬P-ABCD可以看成如圖所示的長方體的一部分，

則長方體的外接球即為陽馬P-ABCD的外接球，

???陽馬P-ABCD的外接球的半徑為/?'=^<AD2+CD2+PA2=V5,

???陽馬P-ABCD的外接球的表面積為4兀X5=20兀，

故答案為：207r.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17、已知數(shù)列｛%｝的前踐項(xiàng)和為%，且％！>°，^sn=a^+2an.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【答案】數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為即=2加

【解析】解：an>0,4Sn=碌+2an,

當(dāng)九=1時(shí)，4cH=+2%,解得%=2,

當(dāng)九>2時(shí)，4s九-1=忌_]+2an-1,又4sti=欣+2an,

兩式相減可得4。九=欣+2azi—W-i—2azi

化簡為(a九+。九一］)(%i—%i-i—2)=0,

由。九>0可得a九-an_r=2,

則a.=2+2(n-1)=2n.

(2)若"=合,求數(shù)列｛,｝的前n項(xiàng)和%.

【答案】數(shù)列｛九｝的前建項(xiàng)和〃=^-1n.

1

【解析】由S九=-n(2+2n)=n(n+1),

Sg.-Sh_11_1.____1____1

則"2-nn+l2'

SnSin(n+l)

11

可得%=+…——n

n+l2

11n1

=1-------------71=--------------71

n+l2n+l2

18、已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角4B,C的對(duì)邊，若△4BC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):

①三=半展；②cos2A+2cos2q=l；③a=倔④6=2也

c3(a+b)2

(1)滿足有解三角形的序號(hào)組合有哪些？

【答案】滿足有解三角形的序號(hào)組合有：①③④，②③④.

【解析】解：①三=華譽(yù)，化為四±=—且=c°sB.由cos^=-星可得手<B<

c3(a+b)2ac3626

n.

②cos2A+2cos2：=1,化為cosZ=*Ae(0,7r),解得4=

可得①②不能同時(shí)出現(xiàn)作為條件，

???滿足有解三角形的序號(hào)組合有：①③④，②③④.

(2)在(1)所有組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)△ABC的面積.

(若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分)

【答案】取②③④，對(duì)應(yīng)△ABC的面積為8.

【解析】取②③④.

由正弦定理可得蓋=餐，解得sinB=1,BE(0,7i),

SillOlliDZ

???c=V2,力3c的面積S=|xV6xV2=V3.

19、如圖(1),在邊長為2的正方形4BEF中，D,C分別為EF、4尸上的點(diǎn)，且ED=CF,現(xiàn)沿DC

把△CDF剪切、拼接成如圖(2)的圖形，再將ABEC,ACDF,AABD沿BC,CD,BD折起，使E、

F、A三點(diǎn)重合于點(diǎn)4,如圖(3).

(1)求證：BA1CD.

【答案】見解析

【解析】證明：折疊前，BE1EC,BALAD,

折疊后BA'14C，BA'1A'D，

又力‘COAD=4，

所以BA'I平面a'CD,

因?yàn)镃Du平面A'CD,所以BA'1CD.

(2)求二面角B-CD-A,最小時(shí)的余弦值.

【答案】二面角B—CD—1最小時(shí)的余弦值為

【解析】解：作A'E1CD交CD于點(diǎn)E,連接BE,

?：BA'1CD，：.EB為二面角B—CD—/的平面角,

令1C=a，AD=b，則a+b=2,

由題意得CA’14D,=g/，

Va2+b2

(a+b)2(a+b)2

=2

a2+b2

=*+3+2(鴻)

??二面角B-CD-A'最小時(shí)的余弦值為

22

20、順次連接橢圓=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長為夕且面積為4百的

菱形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

【答案】橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

【解析】解：由題意知：a2+b2=(V7)2=7^1-2a-2b=4A/3,解得小=4,52=3,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=L

43

(2)設(shè)直線1與橢圓C相切于點(diǎn)Z,過點(diǎn)。作OM1Z,垂足為M,求△ZM。面積的最大值.

【答案】△AM。面積最大值為;.

【解析】顯然切線的斜率存在且不為0,設(shè)直線/：y=kx+t,

聯(lián)立方程組1消去y，整理得(3+4爐)％2+8kt久+4/—12=0,且4=

(3xz+4yz=12

64k2t2_4(3+4k2)(鈕2_12)=。，

得t2=41+3,所以孫=又需藥=一生

聯(lián)立[y=.卜，

4日kt

侍布一百，

[,y=kx+t

所以=

則阿=5卜"|=E?|咋叫=潑』

C_1MA4IlnA#l_1網(wǎng)|t|_1|fc|_11/I

SMM。--\AM\■\0M\---團(tuán)后萬-VPTI-2^7?-<7

當(dāng)且僅當(dāng)九=±1時(shí)，等號(hào)成立,

-1

故4AMO面積最大值為一.

4

21、已知函數(shù)/"(%)=In%+ax2—(a+2)x+2(a為常數(shù)).

(1)若/(%)在(L/(l))處的切線與直線％+3y=0垂直，求a的值.

【答案】a的值為4.

【解析】解：由題意知%>0,f'(%)=：+2ax一(a+2)=3T?2久T),貝好'(i)=a—1,

由于函數(shù)y=f(x)的圖象在處的切線與直線％+3y=0垂直，

則f(1)-^―0=—1,：.f(1)=a—1=3,因此a=4.

⑵若a>0,討論函數(shù)”x)的單調(diào)性.

【答案】見解析

【解析】???a>0,貝壯>0.①若0<a<2時(shí)，工>；,

aa2

當(dāng)0<x<］或%時(shí)，f'(%)>0，當(dāng)*%時(shí)，f'(%)<0，

y=/(久)在(01)和6,+8)上單調(diào)遞增，在Gt)上單調(diào)遞減；

②若a=2時(shí)，｝=5對(duì)尤>0,f,(%)>0恒成立，:y=7'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③若a>2時(shí)，工<；,當(dāng)0<x<工或時(shí)，f'(%)>0,當(dāng)工<久<；時(shí)，f'(%)<0,

.?.y=於)在(0,￡)和&+8)上單調(diào)遞增，在&^上單調(diào)遞減.

(3)若a為正整數(shù)，函數(shù)〃%)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

【答案】a的值為1.

【解析】??,a為正整數(shù)，若0Va<2,則a=1,即/(%)=In%+——3%+2,

由⑵知y=八》)在(0彳)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在&1)上單調(diào)遞減，

又八1)=0,y=/(久)在區(qū)間G，+8)內(nèi)僅有1個(gè)實(shí)根，fQ)>f(l)>0,

又/(eV)=e-4-3e-2=e-2(e-2—3)<0,y=f(久)在區(qū)間(0,1)內(nèi)僅有1個(gè)實(shí)根,

此時(shí)y=/(久)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)恰有2個(gè)實(shí)根；

若a=2,y=/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，至多有1個(gè)實(shí)根；

若a>2,/Q)=lnQ)+ag)—(a+2)&)+2=In；：+1，

令t=%則0<t<芯y=\nt—t+1,y=1-1>0,

/.y,<2In-2--+1=-2-In2<0.

由⑵知y=/(%)在C)上單調(diào)遞減，在(0()和&+8)上單調(diào)遞增，

???Q)<0，?.?y=/(%)在(。,+8)上至多有1個(gè)實(shí)根.

綜上，a=1.

22、某公司為了了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對(duì)年銷售額y(單位：億元)的影響.對(duì)

公司近12年的年研發(fā)資金投入量陽和年銷售額%的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：

①^二戊十。/,②y=e族+%其中a、0、六t均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計(jì)

量的值.令以=療，%=ln%(i=l,2,?-?,12),經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：

12

Xy工出”)'&V

??1

20667724604.20

12

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