江蘇省揚州市揚州中學2024屆新高考一卷數(shù)學模擬測試一

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.己知集合&={如鳴彳>2},B={xeN|x<2024},則集合AcB的元素個數(shù)為（）

A.2014B.2015C.2023D.2024

2.設復數(shù)z=x+M（x>0,yeR）,且滿足z?=18i,則2=（）

A.3+2iB.3+3iC.3-2iD.3-3z

3.在，ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

sin2A—sin2C+sin2B=sinAsinB?且ABC的外接圓的半徑為山，則；ABC面積的最

大值為（）

A.73B.噸C.業(yè)D.273

44

-2一

4.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=4,點p滿足八尸=%℃，其中六0,-,

則向+用的取值范圍是（）

A.[4,5]

B.[8,10]

C.[4,何

D.[2717,10]

5.已知函數(shù)，（尤）=&+bx+c,若b是a與c的等比中項，則的零點個數(shù)為（）

A.0B.0或1C.2D.?；?或2

JT

6.函數(shù)式x)=cos(+5)ln(e*+e-)的圖象大致為()

7.對于一個給定的數(shù)列｛%｝,令2=4包，則數(shù)列｛2｝稱為數(shù)列｛%｝的一階商數(shù)列，

an

再令。，=導，則數(shù)列｛5｝是數(shù)列｛%｝的二階商數(shù)列.已知數(shù)歹￡4｝為1，2,8,64,

1024,L,且它的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則4=（）

15192128

A.2B.2C.2D.2

8.已知焦點分別在x，y軸上的兩個橢圓G，Cz，且橢圓c?經(jīng)過橢圓G的兩個頂點與兩

個焦點，設橢圓C.C2的離心率分別是4勺，則（）

A.且e：+e；<lB.e；且e：+e；>1

C.且e：+e；<lD.e；且e；+e；>1

二、多選題

9.若實數(shù)4，巧，覆滿足電-2f=鼻-3也=1,則下列不等關系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<x1C.x3<x2<x1D.x3<x1<x2

10.等差數(shù)列｛風｝的前〃項和為s“，已知與=0,兀=25,貝IJ（）

A.a5=--B.｛〃〃｝的前〃項和中S5最小

q

C.”S”的最小值為-49D.j的最大值為0

n

11.已知函數(shù)〃無）=cc>Mtanx|,則（）

A./（%）為偶函數(shù)

B.-兀,-]]是“X）的一個單調(diào)遞增區(qū)間

C.f(n+x)=-f(x)

試卷第2頁，共4頁

D.當時，/W>/(0)

12.已知實數(shù)相，"滿足繽=ln"+ln2,且e2”=L,則()

4〃emm

73

A.n,=—B.根=iC.tn+n<—D.1<2H—nt2<一

252

三、填空題

13.—2x+2)=%+4%+%%2++a］。％］。，貝!J%=.

14.等差數(shù)列｛4｝中的%，〃2023是函數(shù)/(%)=%3—6f+4x—1的極值點，則Jlog8aion=_.

15.已知點尸是直線4：iwc-ny-5m+n=0^\］l2：m+my-5m-n=0(m,neR,

蘇+〃200)的交點，點。是圓ca+l)2+y2=i上的動點，則|PQ|的最大值是.

22

16.已知直線y=x-2與雙曲線c：1-2=1(。>0力>0)的兩條漸近線分別交于點A,

ab

B(不重合)線段A5的垂直平分線過點(4,0),則雙曲線。的離心率為.

四、解答題

(71Y<3)

/、cos—+asin-Ti-a

17.(1)已知角。終邊上一點P(T3),求(2J12J的值;

tan(-7i+a)

(2)化簡求值：(log43+log83)?(log32+log92)+

18.在.ABC中，已知角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c是公差為1的等

差數(shù)列.

(1)若3sinC=5sinA,求ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)〃，使ABC為鈍角三角形?若存在，求〃的值；若不存在，說明理由.

19.已知〃>0且awl,函數(shù)/(%)=loga%—1

⑴若。=6且彳€1,e,求函數(shù)“X)的最值；

(2)若函數(shù)/(X)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面上位>，底面ABC。，側(cè)棱PA=PO=拒，底

面A3CD為直角梯形，其中BC//AD,ABLAD,AD=2AB=23C=2,。為AD中點.

p

⑴求證：尸。1平面ABC。；

（2）求異面直線尸3與8所成角的大小.

2L已知橢圓C:J>S6>。）的兩焦點分別為耳居,C的離心率為當C上有三

點、Q、R、S,直線Q&QS分別過招,8,,。尺鳥的周長為8.

⑴求C的方程;

⑵①若。（OS），求0RS的面積;

②證明：當0RS面積最大時，QRS必定經(jīng)過C的某個頂點.

22.在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標（4，。2，%）表示，其中

%e{0』}（l<z<3,zeN）.而在n維空間中（〃22,〃eN）,以單位長度為邊長的“立方體”

的項點坐標可表示為"維坐標（4%，/，…，4），其中現(xiàn)有

如下定義：在〃維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點（％,%，/，，。“）與

（偽也也，-，或）坐標差的絕對值之和，即為

k—4|+|%—白|+|七—&|++|%—回答下列問題:

（1）求出〃維“立方體”的頂點數(shù);

（2）在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望;

②證明：在〃足夠大時，隨機變量X的方差小于Q25川.

1（A、

（已知對于正態(tài)分布XN3b°），尸隨X變化關系可表示為

八/2兀

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)集合的交集運算求解.

【詳解】因為A={x|log3X>2}={xlx>9},B={%eN|x<2024}={0,1,2,3,,2024}

所以Ac3={10,11,12,.,2024},

故集合An5的元素個數(shù)共有2015個.

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算及復數(shù)相等可以求參即可.

【詳解】由題意，得Z?=（尤+何）2=*2一曠+2個i=18i,

尤2-y2=0,

解得x>0,???z=3+3i.

2孫二18,

故選:B.

3.B

【分析】在ABC中，由正弦定理邊角關系得片+匕2一°2="，由余弦定理求出角C,由余

弦定理結合基本不等式可得必W9,進而可求出三角形面積的最大值.

【詳解】在ABC中，sin2A—sin2C+sin2B=sinAsinB,

由正弦定理得：a2+b?—c1=ab,

由余弦定理得：cosC=

lab2

因為。為ABC的內(nèi)角，則0<。<兀，

所以C=g,

因為ABC的外接圓的半徑為百，

由正弦定理得：二=3=三=2如，所以c=2有sinC=2Wx3=3,

sinAsinBsmC2

由余弦定理得/=/+/一2"cosC,&?9=a2+b2—ab

因為標+爐N2H,所以必W9,當且僅當。=6=3時取等號，

故.ABC的面積S=^MsinCW2叵，

24

答案第1頁，共20頁

所以ABC面積的最大值為述.

4

故選：B.

4.B

~2~

【分析】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到P（644）,Ae0,-,從而求出

|PA+PB\=,J（6-122）2+64,求出最值.

【詳解】以A為坐標原點，AB,A￡>所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，

則A（0,0）,B（6,0）,D（0,4）,C（6,4）,設尸（s,。,

因為。尸=2Z）C，所以（SJ-4）=4（6,0）,即s=64,f=4,

故尸（644）,2c0.|,

貝B4+=（-6X,-4）+（6-64,-4）=（6-124-8）,

貝”PA+Pfi|=’（6-12/1）2+64,

因為0,-,所以6—12Xe[—2,6],（6-122）2e[0,36],

故pA+=J（6-12Xy+64e[8,10].

5.A

【分析】根據(jù)給定條件，確定判別式的正負即可得解.

【詳解】由b是a與c的等比中項，得。*0力*0,ac=b2,

方程辦2+Zzx+c=0的判另U式A=〃-4ac=-3b2<0,因此方程辦?+fcv+c=O無實根,

所以的零點個數(shù)為0.

故選：A

6.C

答案第2頁，共20頁

【解析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除D,再根據(jù)函數(shù)在[0,句，[肛2句上的符號排除A,B,進而得

答案.

【詳解】解：函數(shù)的定義域為R,

1T

/(尤)=cos(尤-ln(e%+e~x)=sinxln(ex+ex),又因為

/(-x)=sin(-x)-In(^ex+e^x^=-[sinx-lnS+"*)]=-/(x),

所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除D,

因為ln(e*+eT)Nln2>0,sinx>0在(0,%)上成立，sinx<0在(匹2%)上成立，

故函數(shù)/(%)在(0㈤上有/(x)>0,在(i,2萬)上有/(%)<0,

所以排除A,B,故C正確.

故選：C.

【點睛】關鍵點睛，解題關鍵在于化簡得/(x)=sinxln(/+eT),進而利用函數(shù)的奇偶性和

利用特殊值進行判斷選項，難度屬于中檔題

7.C

【分析】由數(shù)歹MA｝的二階商數(shù)列｛cj是常數(shù)列可知數(shù)歹u｛4｝的一階商數(shù)列也,｝是等比數(shù)

列，再利用累乘法求得從，即可得解.

【詳解】設數(shù)列｛4｝的一階商數(shù)列為抄,J,二階商數(shù)列為｛c“｝,

28b,八

貝！J4=丁=2,b,=-=4,G=M=2,

12隊

又數(shù)列｛4｝的二階商數(shù)列｛g｝是常數(shù)列，

則％=G=2,

b

貝?。ィ凉M足,=%=2,

所以數(shù)列出｝是2為首項，2為公比的等比數(shù)歹U,

則勿=2.2"7=2",

所以第=2",

叁=2"-3,L,&=2?,%=2,

A.A,A

答案第3頁，共20頁

等式左右分別相乘可得3=2"工2T...2??吸=2("T)+g)+g)++2M_上普_竽,

4一乙一乙

在［、1zfcl)

物以4=22.A=22，

7(7-1)

則4=2丁=221>

故選：C.

8.A

【分析】由題意得出=4也=9,進而得至1」!<￡<11<與<2,從而結合不等式的性質(zhì)與

2a：斤

對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解

【詳解】依題意，設橢圓C1對應的參數(shù)為q，2，q,橢圓C?對應的參數(shù)為%力2,C2，

貝=。1，所以d=1-"，W=]_與=1一務=2—務，

又因為外>打，即々>q,b；>c；=a；—b；,則2斤>〃；,

即一<^"<1,1<*^~<2,得Ovl—y<—,0<2—-^-<1,即0<e；<—,0<^|<1,

2axl\q2bx2

令'=%€&，"，則44=3-僅+手)=3++；；

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知產(chǎn)/+；在?！鄙蠁握{(diào)遞減，故4+彼=3-1}

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是依題意得到出=4，&=9,從而得到

4s=2—多,結合不等式的性質(zhì)與對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

%bx

9.ABC

【分析】將條件轉(zhuǎn)化為2為=3*=:，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=23y=31y=1

的函數(shù)圖象，判斷他們與V=加有交點時橫坐標的大小情況.

【詳解】實數(shù)毛，巧，/滿足三?2%=當-3*=1,

...三30,2^'=3^=-,

答案第4頁，共20頁

如圖在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=2,，y=3">的函數(shù)圖象，再作直線V

X

“3；

變換機的值發(fā)現(xiàn)，不，演，演的大小關系可能為W<見，X3=x2<xltx2<x3<xlt

x2<x3=x1,x2<xt<x3,x2=xt<x3,xl<x2<x3,故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC.

10.ABC

【分析】根據(jù)已知條件可計算出生和公差d,然后可計算出出對A進行判斷；求出S“，即

可對B進行判斷；求出,S”的表達式，運用導數(shù)求出最小值即可判斷C；求出2的表達式

即可判斷D.

【詳解】設等差數(shù)列｛叫的公差為d,

10%+45。=0

15〃]+105<7=25

所以%=%+4d=—§,則A正確;

如乜—+皿a

Sn=nal+

=-(n2-l0M)=-(n-5)2--

333

則當〃=5時，取得最小值，故B正確;

設函數(shù)/(x)=；-3(x>0),

70on

則/(幻=爐-毛x,貝悄0<x<T時，-(無)<0,

當尤>§時，ra)>o,

答案第5頁，共20頁

所以/(X)在上單調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

90

故〃尤)皿=/(可)，

因為6〈,<7,且〃6)=-48"(7)=-49,

所以最小值為-49,C正確；

々=:("-10),沒有最大值，故D錯誤，

n3

故選：ABC.

11.ACD

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)奇偶性判斷A,取特值判斷B,根據(jù)誘導公式判斷C,分

類討論判斷D.

【詳解】因為的定義域為］x［+關于原點對稱，

且〃-x)=cos(-x)卜an(-x)|=cosx|tan%|=/(x),所以/⑺是偶函數(shù)，故A正確；

因為/(-兀)=oj,所以〃-兀)>小亳，

且-私-1三一無「］)所以一兀，一］)不是函數(shù)的遞增區(qū)間，故B不正確；

/(7i+x)=cos(兀+x)|an(兀+%)|=-co&x|tanx|=-f(x),故C正確；

因為當時，cosx>0,tanx>0,sinx>0,所以/(%)=sinx20,

同理，當尤e［-］,0時，/(j;)=-sinx>0,即”卜了向時，/(x)>/(0)=0,故D正確.

故選：ACD.

12.ACD

【分析】根據(jù)題意可得2me2"，=(2w)21n(2")2,即Ine?"，=(2〃『ln(2〃y,構造函數(shù)

f(x)=xlnx,利用其單調(diào)性和函數(shù)值確定e2m=(2"))進而等量代換將雙未知量變?yōu)閱挝?/p>

知量，即可一一求解.

［詳解］由嗎=mw+ln2可得,=4〃21n2”，

4n2em

即2me為=4〃2x21n2〃,則有2旌2"=（2z?）2ln（2/i）2,

也即e2mIne2m=（2n）2In（2n）2,

答案第6頁，共20頁

設函數(shù)/(無)=xlnx,則/(e2m)=/［(2")］，

f\x)=Inx+1,

當xe［o,：j時，f\x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當時，f\x)>0,函數(shù)Ax)單調(diào)遞增，

且當xe(O,l)時，/(x)<0.當xe(l,向時,/(x)>0；

因為e?，"=1,所以2,—"'=(2療In(2〃y=2>0,

即/32)=/［(2"月>0,所以e2nl=(24，即〃=^，A正確；

222

mn=-^-xn=-l5-x?,B錯誤；

設心)=疣2"-1,%>0,tr(x)=e2x+2xe2x>0在(0,+8)恒成立，

Mr(0)=-l<0,/(1)=1e-l>0,

所以存在唯一X。e(0，￡|使得心)=0,

由，"'=工可得，"如2'"-1=0,所以"Ze］。,1］,

m\27

m+n=m+^Qm,設g(x)=x+ge”在［o,；］上單調(diào)遞增，

匚匚2/、1J、11r11.77

所以g(%)=%+jex<^(-)=-+-Ve<-+—=1.35<-,

乙乙乙乙乙乙J

17

所以根+〃=m+5曖,c正確；

2n—m2=em—m2f

設/z(x)=e*—元2,%￡(0,；),//(X)=/—2%,

令〃(x)=e"-2x,〃'(%)=e"-2,

易得函數(shù)〃'(x)=e=2在xe?單調(diào)遞增，且"§)=2<0,

所以函數(shù)〃(x)=e*-2尤在xe(0,)單調(diào)遞減，

且〃(；)=&-1>0,所以"(x)>0恒成立，

所以//(幻=d-苫七40,；［單調(diào)遞增，

答案第7頁，共20頁

所以/z(0)<h{x)<〃(；)，即1<h(x)<V^-1<1.7-0.25<1,

3

所以1<2"-/<一正確，故D正確；

2

故選:ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用同構思想，將原等式化為2/2根=(2")21n(2”)2,

進而構造函數(shù)f(x)=xlnx,利用單調(diào)性和函數(shù)值確定e2m=(2才，進而利用等量代換，即

可求解.

13.-592

【分析】由組合數(shù)以及分類加法和分步乘法計數(shù)原理即可得解.

【詳解】(乂-2龍+2丫表示5個因數(shù)(爐-2x+2)的乘積.而應為展開式中爐的系數(shù)，設這5個

因數(shù)，_2x+2)中分別取/、-2x、2這三項分別取仃,左個，所以i+j+左=5,若要得到

含尤5的項，則由計數(shù)原理知左的取值情況如下表：

X2—2x2

i個■7個上個

050

131

212

由上表可知(一，)

?5=C；2)5+C；?CH)-2-+CjC；(-2)'-23T=_32+(-320)+(-240=-592.

故答案為：-592.

【點睛】關鍵點點睛：解決問題的關鍵在于對上述詳解中的上正確分類，另外一點值得

注意的是在分完類之后，每一類里面還要分步取/、-2x、2這三項.

14.-

3

【分析】求得「(尤)=3/-12尤+4,結合題意，得至ljq,%°23是方程3x2-12x+4=0的兩個根，

再由等差數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(%)=/—6/+4x—l,可得1(x)=3/一12%+4,

答案第8頁，共20頁

因為〃1，%023是函數(shù)，（犬）的極值點，即%，%023是方程3-一12%+4=0的兩個根，

可得4+%023=4,又由.2=%I—=2,所以logs%32=l°g82=g

故答案為：g.

15.6+20

【分析】根據(jù)題意分析直線4,分別過定點A，8,點尸的軌跡是以A3為直徑的圓，結合圓

的性質(zhì)運算求解.

【詳解】因為直線4：mx-ny-5m+n=0,即7”（x-5）-"（y-l）=。，

人fx-5=0（x=5/、

令1y_l=0,解得jy=l'可知直線4過定點A（5，l）,

同理可知：直線4過定點5（1,5）,

又因為機X〃+（_〃）x機=0,可知/1_1_，2，

所以直線4與直線k的交點P的軌跡是以42的中點M（3,3）,半徑r=JA邳=2五的圓，

因為圓C的圓心C（-l,0）,半徑R=l,

所以忸。|的最大值是|MC|+r+R=J（3+l），32+2/+1=6+2/.

故答案為：6+20.

16.冥1

3

【分析】由已知結合直線垂直的斜率關系和直線過的點根據(jù)直線的點斜式方程得出線段A3

的垂直平分線的方程，即可聯(lián)立兩直線得出的中點坐標為（3,1），設4（石,%），3（%,%）,

分別代入雙曲線方程后作差整理得出3k=1，再根據(jù)線段中點與端點坐標關系

玉+々％]―/a

與兩點的斜率公式得出為+%=2,芳+%=6,上三匹=1,即可得出匕，在根據(jù)雙曲線離

b2

心率公式變形后代入」即可得出答案.

a

【詳解】直線、=尤-2與線段A3的垂直平分線垂直，

則線段A3的垂直平分線的斜率為-1,

線段AB的垂直平分線過點（4,0）

答案第9頁，共20頁

線段AB的垂直平分線為：y=—（九—4）,即x+y—4=0,

聯(lián)立[y[=:一x-243解得:x=3

y=l

即AB的中點坐標為（3,1）,

2

-4-o

b*2兩式作差可得3縱正匹=與

設4（%，%），磯%,為），財

a

x2%-0演+兀2再一々

la2b2

AB的中點坐標為（3』），A3的斜率為1,

二.%+%=2,必+%=6,31=1

xl-x2

則上

所以雙曲線C的離心率e="7^=聆=羊.

故答案為：正.

3

17.（1）—；（2）2

25

44

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cosa=-不，利用誘導公式化簡后，代入cosa=-

求出答案;

（2）利用對數(shù)運算法則計算出結果.

【詳解】（1）因為角。終邊上一點P（T3）,

cos—+asm-Ti-a

所以12J12J一sinax(-cosa).cosa

----------------------=sinacosa

tan(-7i+cr)tana------------------sina

216

=cosa=——

25

i

(2)

(log43+log83)-(log32+log92)+

答案第10頁，共20頁

5,3

7log23x-

oZ

53c

=—+—=2.

44

18.(1)6

⑵存在整數(shù)“=2使得為鈍角三角形’此鈍角的余弦值為一；.

【分析】(1)利用等差數(shù)列得結合正弦定理求出d仇c,結合勾股定理判

斷出直角三角形，應用面積公式即可；

(2)結合等差數(shù)列用b,c表示a,得到。的不等式，解出。進而求出b,c,再計算cosC即

可.

【詳解】(1)由a,b,c是公差為1的等差數(shù)列，則。=6-l,c=6+l,

又3sinC=5sinA,由正弦定理得：3c=a,

則3S+1)=5(8—1),解得b=4,「.a=3,c=5,

故=9+16—25=0,所以qABC為直角三角形，

貝U「?^AABC=~^b=6

(2)ABC為鈍角三角形，即/>"+〃，由〃，，。是公差為1的等差數(shù)列，得

(Q+2)2>。2+(。+1)2=Q<3,顯然a=l,b=2,c=3,不能構成三角形，

4+9-161

當〃=2,b=3,。=4可構成三角形，止匕時cosC=-------=—.

124

19.(\1)/(\^)/max=-J1,\/fmiinx).=l-e

1

⑵1<a<e?

【分析】(1)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)的最值；

(2)將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點

問題，進而求解結果.

【詳解】⑴當。=e時，函數(shù)〃x)=log.X-x=lnx-x,

故;(x)」-1=^^,

XX

答案第11頁，共20頁

當x?l,e)時,尸(x)<0,故y=f(x)在(l,e)單調(diào)減,

當時，/<x)>0,故y=〃x)在單調(diào)增，

所以"x)a="l)=T，

又因為/(e)=l-e,f=

所以〃xL=f(e)=l—e；

(2)因為函數(shù)/(x)有兩個零點

1nv

^f(^x)=logx-x=-----%=0有兩解，

aIna

所以方程處=In。有兩個不同的解，

X

InX

即為函數(shù)y=」的圖象與函數(shù)y=in。的圖象有兩個不同的交點,

x

令g(x)=F，故g，(x)=EF，

當X€(e,+oo)時，g'(x)<0,故y=g(x)在(e,+oo)單調(diào)減,

當xe(O,e)時，g[x)>0,故y=g(x)在(0,e)單調(diào)增,

如圖所示

而g(e)=L所以0<lna<L所以1〈”擊

令//(%)=^^-lna,

因為/z(l)=-lna<0,/z(e)=——lntz>0,

所以"(%)=乎-Ina在(0,e)上有一個零點，

又當%f+oo時，g(%).0,/z(x)——ln〃<0,/i(e)=——In>0,

所以//(力=手-Ina在(e,+8)上有一個零點，

答案第12頁，共20頁

所以函數(shù)/，（力有兩個零點，即當l<q<1時，函數(shù)/（X）有兩個零點.

20.(1)證明見解析

(2)arccos

3

【分析】（1）根據(jù)已知可推得尸0，相）,然后即可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得出線面垂

直；

（2）根據(jù)已知證明OCLAD,建立空間直角坐標系，得出P8,CD的坐標，即可根據(jù)向量

法得出答案.

【詳解】（1）由已知可得，PA=PD,。為AD中點，

所以，POLAD.

因為面上4￡>_L底面ABCD,面上4￡>c底面ABCD=AD,POu平面PAD,

因為AD=23C,。為中點，

所以0A=3C=l,po=y/p/c-OA1=1-

又因為BC7/AD,

所以四邊形BCQ4為平行四邊形，

所以，OC//AB,S.OC=AB=1.

由已知AB_LXD,所以OCJ_AE).

如圖，建立空間直角坐標系，

則P(0,0,l),C(l,0,0),3(1,-1,0),0(0,1,0),

所以，PB=(1,-1,-1),CD=(-1,1,0),

答案第13頁，共20頁

PBCD-1-1A/6

所以，cos(PB,CD)=

PB||CD|73X723'

所以，異面直線PB與CD所成角的余弦值為逅，大小為arccos逅

33

丫2

21.⑴亍+y2=i

誓；②證明見解析.

⑵①SQRS

【分析】(1)利用橢圓的定義與性質(zhì)計算即可；

(2)①直接求直線QR的直線方程，與橢圓聯(lián)立可得RS的坐標，利用三角形面積公式計算

即可；②法一、設Q,RS三點坐標及直線OR和直線QS的方程，與橢圓聯(lián)立結合韋達定理

s

化簡得出RS縱坐標與?？v坐標的比值，再根據(jù)三角形的面積公式用坐標表示不理，從而

3少M

構造函數(shù)“X)二

X2+——

48

證明外力(〃1)即可；法二、設"=40耳，QS=g,根據(jù)定比點差法由。橫坐標表

示4〃，再利用三角形面積公式計算得」^

°QFXF2

法三、設。耳=九耳氏，。耳=〃月5,同法二利用定比點差法由由。橫坐標表示尢〃，再利用

ORSX+14+1

三角形面積公式計算得S三-=二—J,余下同法一計算即可.

,QFXF2”"

【詳解】(1)依題意可得.以工的周長已陽=|。耳I+C閭+1陽川颶l=4a=8n〃=2,

又橢圓的禺心率為貝Ue=￡=，^=>c=,

2a2

解得〃=/一°2=i,

所以C的方程為亍+丁=1；

(2)①由上可知:0(0,1),耳卜瘋0)出(后=#,

所以直線QR的方程為丫=走尤+1,

3

答案第14頁，共20頁

片丁+1

聯(lián)立直線QR與橢圓方程

f2?

一+V=1

14/

（ah

由橢圓的對稱性可得s

\'7

因止匕S^QRS

②證明：設直線。尺和直線QS的方程為％=my—石,％=”+舊,

設。（%，％），氏（%，%），5（%2，%），

聯(lián)立QH和橢圓得：（加2+4）/一2行僅y—1=0,

2y/3m

%+M=2;…二一心

可得m+4,同理可得：＜

11

%%=一7^

又因為毛=my「瓜x0，所以為+苗.二=-26%+四,

^^為X%

所以如__ZL=-2V3x0-6,即如?二-2百%-7.

同理可得工±匹=2石〃=2池/-八,及±造=2?「6,即&=2gx0-7

%%%%%

于是S弊；3HQ馴必RQS30

%一%

不妨設為＞。,

S@g^\QF,\-\QF2\sin^RQS5,四治%

因此以2松=1一；!"；1_日_；!閨用%="vo1+

—----1—尸--------

20%+7人2百%-7,

_A2Gx0+82v§%0-8坨；

-為2氐0+7,2氐o-7

XQ---

012

答案第15頁，共20頁

4-4y：-y=昌。三

=

S^QRSy^y()

舟48

設〃%)=—U-，%e(O,l],

1~~

y°+48

下面證明〃x)4〃l)=誓,xe(O,l]

48后+16瓜v64石，化簡得言言

48/+149

48

即(1)浮

即證明147尤3—192x2+49X-4<0,<0,

49cs44Q254

又5/_耳1+方=o的判另|j式小于等于0,^_zx__x+_>0,

因此(x-l)(Bx2_gx+\

?0,尤6(0』，原命題得證.

故當3s面積最大時，QRS必定經(jīng)過C的上或下頂點.

解法二：②證明：設設礪=丸函,

玉二(1-/I)/-九

則有

、%=。-

[+"⑴

又

[(1-4)/-6"]

+[(1-乃為了=1⑵

4

2

2A/32(1-2)X0-3/1

⑴X(1—X)2_(2)可得=2(丸_2),

4

即2=2葉。+8

2yl3X。+7

設。5=〃鑿，同理可得〃=；［；￡：,

s^\QR\-\QS\sinXRQS

不妨設為＞。，于是所以不駕

：MM|sin/RQS以,。用

答案第16頁，共20頁

所以S郊”3年"國?段.武，

下同法一；

解法三：②證明：設Q（x0,%）,△（%,%）,設。耳=2耳R,

則有卜。+狗=-白（1+9

、［%+M=0

m=i⑴

又2

?+才=1⑵

⑴-⑵義萬可得宜上半9!+（為+孫心「皿）=1一入

即％0-川二結合為+彳為=一6（1+彳）解得X=2瓜。+7，

設。6=〃￡S,同理可得〃=7-26/,

丁是S"卻