專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)-【二級結(jié)論速

解】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)高效速解突破技巧

專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=/（x）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T（X）.特別地，丁=。'與

y=logax（a>0且awl）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，即（Xo，/（X。））與（/（Xo）,x0）分別在函

數(shù)y=/（x）與反函數(shù)^=/7。）的圖象上.

若方程X+/（X）=左的根為玉，方程》+/7（》）=左的根為々，那么西+々=左.

二、典型例題

例題1.（2022?高三課時練習(xí)）若關(guān)于X的方程x+logsX=4與x+5、=4的根分別為加、〃，則機+〃的

值為（）

A.3B.4C.5D.6

例題2.（2022春?河南新鄉(xiāng)?高二封丘一中校考期末）已知事是方程=4的根，迎是方程x/og3X=4

的根,則g=（)

A.16B.8C.6D.4

三、針對訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若不滿足2*=5-x,&滿足》+1。82》=5,則Jq+x?等于（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022?陜西咸陽??？寄M預(yù)測）已知X］是函數(shù)〃x）=2'+x-2的零點，X2是函數(shù)

g（x）=log2（x-l）+x-3的零點,則占+七的值為（）

A.17B.5C.12D.3

3.（2020秋?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若a>1,設(shè)函數(shù)〃x）=a*+x-4的零點為加，

g（x）=log“x+x-4零點為"，則的取值范圍是（）

mn

A.-,+oojB.-,+oojC.［L+8）D.［4,+oo）

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知。是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+100*=3的解，則（）

A.a+b2=—B.a+b2=3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=—

2

5.（2020秋?高一課時練習(xí)）關(guān)于x的方程x+lgx=3,x+e=3的根分別為B,則的值為

（）.

A.3B.4C.5D.6

YI4

6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)機,〃分別是方程丫*/_4和工+6地尸=氣?！担荩┑母?，則―7十:丁的

x十a(chǎn)一今加+14+3〃

最小值是（）

1312八二8

A.—B.—C.2v2-1D.—

211913

7.（2017秋?山西太原?高一山西實驗中學(xué)校考期中）若不滿足工+2、=4,修滿足工+四2工=4,則玉+%=

（）

5一7

A.—B.3C.—D.4

22

8.（2022秋?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第三高級中學(xué)?？计谀┮阎齻€函數(shù)/（x）=2'+x-2,

g（x）=x3-8,〃（x）=log2X+x-2的零點依次為a、b、c,則a+6+c=

A.6B.5C.4D.3

9.（2020?高一課時練習(xí)）若X］是方程xe、=4的解，X2是方程xlnx=4的解，則玉超等于（）

A.4B.2C.eD.1

二、填空題

Y

10.（2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）設(shè)方程2，“+x-6=0的解為多，方程log?,+x-6=0的解為X2,

貝?。輝,+x2=.

11.（2022春播南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）己知函數(shù)〃x）=e、+x-7i,g（x）=x+lnx-兀，若

aAx'j=/優(yōu)）=1（°>0,“*1）,貝Ij*+x?=.

12.（2021秋?陜西安康?高一統(tǒng)考期中）若實數(shù)。、分滿足2"=2-a,log2（/,-l）=3-/）,則a+b=

13.（2022?上海?高一專題練習(xí)）設(shè)方程x+log2X=2的解為X1，x+2、=2的解為X2，則X+x?

14.（2019?浙江寧波?高一校聯(lián)考期中）若X是方程2、T+X—4=0的根，&是方程x+bg?工=3的根，則

x}+x2=.

專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=/（x）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T（X）.特別地，丁=優(yōu)與

y=logax（a>0且awl）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于V=x對稱，即（Xo，/（x。））與（/a。）,/）分別在函

數(shù)V=/（x）與反函數(shù)歹=/T（X）的圖象上.

若方程x+/（x）=左的根為玉，方程X+.廣1（》）=左的根為々，那么m+々=%.

二、典型例題

例題1.（2022?高三課時練習(xí)）若關(guān)于*的方程x+logsx=4與x+5、=4的根分別為加、〃，則機+〃的

值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】解由題意，可知logsX=-x+4,5*=-x+4,作出函數(shù)V=logsX,y=5*,y=-x+4的圖像（如

圖），

fy=x,

/、8兩點的橫坐標(biāo)分別為加、〃，且/、8關(guān)于直線y=x對稱，的中點為C,聯(lián)立〃可得點C

[y=-x+4,

的橫坐標(biāo)為2,因此m+"=4.

【反思】本題也可直接利用結(jié)論解題：若方程x+/（x）=%的根為玉，方程X+/T（X）=A的根為々，那

么玉+赴=4.在本例中，記/（x）=log）則廣（x）=5、，這樣利用結(jié)論，可快速得到：“+〃=4。

例題2.（2022春?河南新鄉(xiāng)?高二封丘一中?？计谀┮阎毷欠匠?4的根，%是方程x-log]x=4

的根，貝！1占￡=（）

A.16B.8C.6D.4

【答案】D

【詳解】方程x,3'=4可變形為3、=24,方程x」og3%=4可變形為k）g3X=4—,

XX

所以，不是》=3、與y=24的圖象的交點橫坐標(biāo)，&是^=1"3%與歹=之4的圖象的交點橫坐標(biāo)，

因為y=3'與歹=log3X互為反函數(shù)，這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線'對稱，

在函數(shù)歹=之圖象上任取一點（。,與，該點關(guān)于直線歹='的對稱點的坐標(biāo)為（b,。），

x

444

由6=—可得。=；，則點（仇。）也在函數(shù)》=一的圖象上，

abx

故函數(shù)歹=之4的圖象關(guān)于直線V=x對稱，

所以，點與點關(guān)于直線y=x對稱，所以玉=色，故%％=4.

故選：D.

【反思】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)，在N=/（x）上，貝！1（6,。）在y=/T（x）上，結(jié)合圖形的對稱性,

從而得到結(jié)論占％=4.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若X1滿足2、=5-x,X2滿足x+log?x=5,則x+x2等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】由題意5—石=2』,故有5-々=唾23

故X1和*2是直線V=5-x和曲線y=2'、曲線夕=log?x交點的橫坐標(biāo).

根據(jù)函數(shù)y=2、和函數(shù)y=log2X互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線V=x對稱，

故曲線y=2'和曲線y=bgzx的圖象交點關(guān)于直線夕=》對稱.

即點G/,5-x/）和點02，5-x,）構(gòu)成的線段的中點在直線產(chǎn)x上，

即當(dāng)2=土巧盧%，求得々+.0=5,

故選：D.

2.(2022?陜西咸陽??？寄M預(yù)測)已知%是函數(shù)/(x)=2'+x-2的零點，&是函數(shù)

g(x)=10g2(X-l)+X-3的零點，則X]+*2的值為()

A.17B.5C.12D.3

【答案】D

【詳解】由己知可得/(再)=23+再-2=0,所以，2斗=2-玉，

所以，X]為直線y=2-x與曲線y=2、的交點的橫坐標(biāo)，

g(x2)=log2(X2-1)+X2-3=0,則地2(%2-1)=2-卜2-1),

則Z-1為直線P=2-x與曲線y=logzx的交點的橫坐標(biāo)，如下圖所示：

函數(shù)丁=1幅》與y=2、的圖象關(guān)于直線y=x對稱，聯(lián)立\/y=x，可得x=y=i,

[y=2-x

所以，直線V=x與直線y=2-x交于點

由圖象可知，點A、B關(guān)于點C對稱，所以，王+》2-1=2,可得%+尤2=3.

故選：D.

3.(2020秋?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))若。>1,設(shè)函數(shù)〃x)=a、+x-4的零點為機，

g(x)=1og“x+x-4零點為〃，則’的取值范圍是()

mn

A.—,+oo^B.—,+oo^jC.[1,+co)D.[4,+oo)

【答案】C

[詳解]優(yōu)+x-4=0=qX=4_x,logax+x-4=0<x>logax=4-x,

見"可以看作是直線V=4-x與函數(shù)y=優(yōu)和y=log”X交點的橫坐標(biāo)，

作出圖象，如圖，

歹=10&%與^=優(yōu)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線N=x對稱，而直線y=4-x與直線y=x垂直，因此直線

優(yōu)和圖象交點P,。也關(guān)于直線y=x對稱，

所以〃2+〃=4,由圖象知0<加<2,2工〃<4.

11m+n4

y=—+—=------=---------,

mnmn

又y=加（4一加）=-〃/+4機=一（加一2）2+4,0<w<2,所以0<加（4一加）W4,

-^,1.

加（4-優(yōu)）

所以所求范圍是口,內(nèi)）.

故選：C.

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知。是方程x+lgx=3的解，b是方程2x+100'=3的解，則（）

A.a+b'=-B.a+b~—3

2

3

C.a+2b=3D.a+2b=—

2

【答案】C

【詳解】在2x+100，=3中，令f=2x,則有f+10，=3,

因為y=lgx與y=10*互為反函數(shù)，圖象關(guān)于F=x對稱.

依題意可知。，，就是直線V=3-x與曲線y=lgx,y=10,交點的橫坐標(biāo)，

所以也=3,所以。+/=3,即a+2b=3.

22

故選：C.

5.（2020秋?高一課時練習(xí)）關(guān)于％的方程x+lgx=3,1+10丫=3的根分別為a,B,則a+尸的值為

（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】lgx=3-x,io，=3-x.

作出N=lgx,y=10*和V=3-x的圖象如圖所示.

A,B兩點的橫坐標(biāo)分別是夕，。，點A,3關(guān)于直線對稱,

A,B兩點的中點是C.聯(lián)立了=》和y=3-x,

求得C點的橫坐標(biāo)為］3,4=2x^3=3.

13

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)犯〃分別是方程如mY_4和x+ebgak%?！?。的根，則—7+7丁的

x十a(chǎn)一4加+14+3〃

最小值是()

,1312…「8

A.—B.—C.2>/2—1D.—

2119713

【答案】B

【詳解】方程x+「=4和彳+61。&戶=4(4〉1)可化為：

X|

ae=(ae)x=4-x,log,x=4-x,

ae

即方程的根分別為函數(shù)y=(-y,y=l°g“：x圖象與y=4-X的交點的橫坐標(biāo),

因為y=(U)，，N=l°g/互為反函數(shù)，

所以y=(a*，蚱嗎：X的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

因為直線y=4-x與直線y=x垂直且交點為(2,2)

所以〃2+〃=4,

所以3加+3+3〃+4=19,

牧m+\+4+3〃=3m+3+4+3〃=1?"癡+3)+(4+3?)](^^y+4+3〃)

$6+#+*)4(6+2囪Y

1311

當(dāng)且僅當(dāng)3〃?+3=4+3〃，即加=7，〃=”時，等號成立,

66

故選：B

7.(2017秋?山西太原?高一山西實驗中學(xué)?？计谥?若X滿足x+2，=4,X2滿足》+/咕2》=4,則再+々=

()

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】D

【詳解】由題不滿足2*=4-x,*2滿足bg2X=4-x.故畫出y=4-x與y=logzX和y=2'的圖像可知，因為

歹=唾2》和尸2，關(guān)于尸工對稱,且了=》與昨4_》交于(2,2).

故占+/=2x2=4.

8.(2022秋?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第三高級中學(xué)校考期末)已知三個函數(shù)/(x)=2，+x-2,

g(x)=x3-8,4(x)=k>gzX+x-2的零點依次為a、b、c,則a+6+c=

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【詳解】令〃x)=0,得出2，=2-x,令〃(x)=0,得出log2X=2-x,

則函數(shù)y=2-x與函數(shù)y=2、、y=bg2X交點的橫坐標(biāo)分別為“、c.

函數(shù)y=2、與y=k>g2x的圖象關(guān)于直線V=x對稱，且直線>=x與直線y=2-x垂直，

如下圖所示：

\y=x/、

聯(lián)立.、,得x=y=i,則點/1,1,

[y=2-x

由圖象可知，直線y=2-x與函數(shù)夕=2:V=log,x的交點關(guān)于點A對稱，則a+c=2,

由題意得g（b）="-8=0,解得6=2,因此，a+b+c=4.

故選：C.

9.（2020?高一課時練習(xí)）若X]是方程xe、=4的解，》是方程xlnx=4的解，則玉等于（）

A.4B.2C.eD.1

【答案】A

4

【詳解】因為M是方程X/=4的解，所以不是函數(shù)丁=，與歹=（交點尸的橫坐標(biāo)；

4

又&是方程工1。x=4的解，所以4是函數(shù)^二歷工與y=交點。的橫坐標(biāo)；

因為函數(shù)丁=j與y=lnx互為反函數(shù)，所以函數(shù)歹=，與y=lnx圖像關(guān)于直線丁二不對稱，

4

乂歹=一的圖像關(guān)于直線歹=%對稱，

x

因此，p,。兩點關(guān)于直線J，=X對稱，所以有1"二%，

因此占占=看必=4.

故選：A

二、填空題

X

10.（2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末）設(shè)方程2向+》-6=0的解為為，方程log25+x-6=0的解為入2,

則xt+x2=.

【答案】6

XX

【詳解】由方程2，”+x-6=0得21=6-*,由方程logz^+x-6=0得log2]=6-x.

由于/(x)=2e與g(x)=log,]互為反函數(shù)，圖像關(guān)于了=》對稱.

X

如圖示，2川=6-x的根為點力的橫坐標(biāo)，log2；=6-x的根為點5的橫坐標(biāo)，

因為〃x)=2㈤與g(x)=log25圖像關(guān)于P=x對稱，且與y=6-x垂直，所以

48兩點為y=x與y=6-x的交點，且關(guān)于V=x對稱.

y=x

由＜",解得：x=3,則尤|+赴=6.

[y=6-x

故答案為：6.

11.(2022春?湖南?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'+x-7t,g(x)=x+lnx-7t,若

/(3)==](q＞Qa*[),則X]+X2=.

【答案】兀

【詳解】/")=/沁)=1(。＞0,。#1),則/(xj=e*+X]-兀=0,得：e*=7t-X]；

令g(x2)=2+111/-兀=0,得：lnx2=n-x2；

所以Xj々分別為〉=e，和y=lnx與y=Jt-x的圖像交點的橫坐標(biāo)，如圖所示：

因為N=e，和y=l