專題37求曲線的軌跡方程

【考點預測】

曲線的方程和方程的曲線

在直角坐標系中，如果是某曲線c（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程

/（x,y）=0的實數(shù)解建立了如下的關系：

（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解（完備性）

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（純粹性）

那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線.事實上，曲線可以看作一個點集C,以一

個二元方程的解作為坐標的點也組成一個點集產，上述定義中oC=E

［條件（2）o尸包C

【方法技巧與總結】

直接法求動點的軌跡方程

利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：

（1）建系：建立適當?shù)淖鴺讼?/p>

（2）設點：設軌跡上的任一點尸（x,y）

（3）列式：列出有限制關系的幾何等式

（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的

方程式化簡

（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應另外補充檢驗）.簡

記為：建設現(xiàn)代化，補充說明.

注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線.

二.定義法求動點的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點尸和滿足焦點標志的定點連起來判

斷.熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為尸的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等

等.當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌

跡方程.

三.相關點法求動點的軌跡方程

如果動點P的運動是由另外某一點尸，的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知

曲線方程），則可以設出P（x,y）,用（無4）表示出相關點戶的坐標，然后把p的坐標代入已知曲線方程，

即可得到動點尸的軌跡方程.

四.交軌法求動點的軌跡方程

在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出

交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通

常選變角、變斜率等為參數(shù).

五.參數(shù)方程法求動點的軌跡方程

動點”(x,y)的運動主要是由于某個參數(shù)0的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數(shù)表示動點的

[x=

坐標，即，再消參.

[y=g(。)

六.點差法求動點的軌跡方程

圓錐曲線中涉及與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點4和%),3(%,%)

的坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減可得占+X,,%+%，再-%2，%%等關系式，由于弦AB的中點P(x,y)

的坐標滿足2苫=玉+%，2y=%+為且直線鉆的斜率為上;，由此可求得弦的中點的軌跡方程.

【題型歸納目錄】

題型一：直接法

題型二：定義法

題型三：相關點法

題型四：交軌法

題型五：參數(shù)法

題型六：點差法

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡

題型八：復數(shù)與圓錐曲線的軌跡

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡

題型十：利用韋達定理求軌跡方程

【典例例題】

題型一：直接法

例1.(2022.全國?高三專題練習)己知點尸是橢圓三+匯=1上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為

64

則線段PM的中點N(x,y)的軌跡方程為.

【方法技巧與總結】

如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系且這些幾何簡單明了且易于表達，那么只需

把這些關系“翻譯”成含九,y的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟,

也不需要特殊的技巧，所以被稱為直接法.

例2.(2022?河南河南?模擬預測(理))己知平面上的動點P到點0(0,0)和A(2,O)的距離之比為占，則點尸

2

到x軸的距離最大值為.

例3.（2022?全國?高三課時練習）己知點尸（x,y）到定點M的距離比它到x軸的距離大g.

（1）求點P的軌跡C的方程;

例4.（2022?湖南?模擬預測）已知平面直角坐標系中有兩點耳（-2,0）,耳（2,0）,且曲線G上的任意一點P都

滿足|以訃|「耳|=5.求曲線Cj的軌跡方程并畫出草圖；

例5.（2022?湖南湘潭?高三開學考試）已知48兩點的坐標分別為（-2,0）,（2,0）,直線AP,8P的交點為P,

且它們的斜率之積+求點P的軌跡E的方程；

題型二：定義法

例6.（2022?全國?高三專題練習）已知定點A（1,1）和直線乙：x+y-2=0,那么到定點A和到定直線L距離

相等的點的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.直線

【方法技巧與總結】

若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程

中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法.

例7.（2022?全國?高三專題練習）已知圓尸：（X-2）2+/=1,動圓尸與圓P外切，且與定直線x=-3相切，

設動點尸的軌跡為E.求E的方程；

例8.（2022?江西南昌?三模（理））己知兩條直線4：2x-3y+2=0,l2：3x-2y+3=0,有一動圓（圓心

和半徑都在變動）與乙，4都相交，并且4,4被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26,24,則動圓圓

心的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.直線

例9.（2022?上海市大同中學高三開學考試）已知定點P（TO）和定圓Q：/+；/=以，動圓M和圓。外切，

且經過點P,求圓心M的軌跡方程

例10.（2022?全國?高三專題練習）設動圓〃與>軸相切且與圓C:Y+y2-2x=。相外切，則動圓圓心用的軌

跡方程為.

例11.（2022.黑龍江.哈爾濱市第六中學校高三期末）已知圓C］：f+（y+3）2=9和圓c?：/+5一3）2=1,

動圓M同時與圓C1及圓C?外切，則動圓的圓心M的軌跡方程為.

例12.（2022.全國?高三專題練習（理））設圓尤2+y2+2x—i5=0的圓心為A,直線/過點3（1,0）且與x軸不

重合，/交圓A于CD兩點，過8作AC的平行線交AD于點E.證明|E4|+|E@為定值，并寫出點E的軌跡

方程；

例13.（2022?全國?高三專題練習）己知尸是圓A:（x-iy+y2=i6上的動點，M是線段AP上一點，3（-L。）,

且1PMi=求點”的軌跡C的方程

例14.（2022?河南鄭州?高三階段練習（理））如圖，已知圓月的方程為（無+1）2+產=?,圓工的方程為

O

（^-1）2+/=1,若動圓/與圓月內切與圓居外切.

O

求動圓圓心M的軌跡C的方程;

例15.（2022?山東濰坊?模擬預測）已知圓M與圓耳：（*+2=+;/=1外切，同時與圓B：（尤-2日+產=49

內切.

說明動點M的軌跡是何種曲線，并求其軌跡方程；

例16.設圓V+y2+2尤-15=0的圓心為A,直線/過點8（1,0）且與x軸不重合，/交圓A于C,。兩點,

過3作AC的平行線交相＞于點E,求點E的軌跡方程.

題型三：相關點法

例17.（2022?全國?高三課時練習）設48分別是直線y=2x和y=-2x上的動點，且滿足|AB|=4,則AB的

中點M的軌跡方程為（）

22

A.%2+—=1B.y2+—=]

1616

22

C.犬-匕=1D.=1

16-16

【方法技巧與總結】

有些問題中，所求軌跡上點加（無,舊的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點河'（無',力相關聯(lián)的，

這時要通過建立這兩點之間關系，并用表示x',y',再x',y'將代入已知曲線方程，即得關系式.

例18.（2022.全國?高三課時練習）已知.ABC的頂點3（-3,0）,C（l,0）,頂點A在拋物線y=爐上運動，則

ABC的重心G的軌跡方程為.

例19.（2022?全國?高三課時練習）當點P在圓/+9=1上變動時，它與定點。（3,0）的連線尸。的中點的軌

跡方程是（）

A.x2+y2+6x+5=0B.x2+-6x+8=0

C.%?+y2—3%+2=0D.爐+_|_3%+2=0

例20.（2022?全國?高三課時練習）己知A、8分別是直線y=*x和y=上的兩個動點，線段的

長為2vL尸是A8的中點.求動點P的軌跡C的方程.

題型四：交軌法

例21.（2022?四川涼山?高三期末（理））設橢圓￡+4=1的上、下頂點分別為A、B,直線丁=%與橢圓交

48

于兩點M、N,則直線AM與直線BN的交點廠一定在下列哪種曲線上（）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓

【方法技巧與總結】

在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出

交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通

常選變角、變斜率等為參數(shù).

22

例22.（多選題）（2022.江蘇.南京市第一中學高三開學考試）已知橢圓C：—+^=1（a>2）的離心率為

a2

顯,過點尸（1,1）的直線與橢圓C交于A,8兩點，且滿足=動點。滿足=則下列

3--

結論正確的是（）

A.a=3

B.動點。的軌跡方程為2x+3y-6=0

C.線段。。（。為坐標原點）長度的最小值為迤

13

D.線段（。為坐標原點）長度的最小值為5叵

13

例23.（2022?北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校高三階段練習）在矩形及中，A'A=8,AB=6,把邊分

成〃等份，在*3的延長線上，以笈5的九分之一為單位長度連續(xù)取點.過邊48上各分點和點A作直線，過

3Z延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為尸，如圖建立平面直角坐標系，則點尸滿足的

方程是.

例24.（河北省邢臺市名校聯(lián)盟2022屆高三上學期開學考試數(shù)學試題）已知4、4為橢圓C：/+1=1的

左右頂點，直線x=x0與c交于AB兩點，直線A1A和直線48交于點P.求點尸的軌跡方程.

例25.（2022?河南?新蔡縣第一高級中學高三階段練習（理））已知反比例函數(shù)>的圖像C是以x軸與y

X

軸為漸近線的等軸雙曲線.

（1）求雙曲線C的頂點坐標與焦點坐標；

（2）設A］、4為雙曲線C的兩個頂點，點〃（x。,人）、N（%,Xo）是雙曲線C上不同的兩個動點.求直線AM與

AN交點的軌跡E的方程；

例26.（2022?全國?高三專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，F(xiàn)（l,0）,過直線/：x=4左側且

不在x軸上的動點尸，作PH_U于點H,NRP尸的角平分線交無軸于點M,S.\PH\=2\MF\,記動點尸的軌

跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

（2）已知曲線C與x軸正半軸交于點A,過點S（-4,0）的直線4交C于A,8兩點，AS=ABS,點T滿足AT=久TB,

其中幾<1,證明：5B=2NTSO.

例27.（2022?全國?模擬預測（文））設拋物線C：/=8y,過點（0,1）的直線/與C交于A,B兩點,分別過

點A,8作拋物線的切線，兩切線相交于點P,求點P的軌跡方程;

22

例28.(2022?湖南?長郡中學模擬預測)已知雙曲線C：,方=1(〃>0/>0)的離心率為2,月,F?為雙

曲線C的左、右焦點，4(2,3)是雙曲線C上的一個點.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若過點3(4,0)且不與漸近線平行的直線/(斜率不為0)與雙曲線C的兩個交點分別為N,記雙曲線

C在點M,N處的切線分別為乙，4,點尸為直線6與直線4的交點，試求點尸的軌跡方程(注：若雙曲線

22

的方程為「-2=1,則該雙曲線在點(%,%)處的切線方程為誓-萼=1)

abab

例29.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點/(0,c)(c>0)到直線/：x-y-2=0的

距離為還.

2

(1)求拋物線C的方程；

(2)設點尸(%,%)為直線/上一動點，過點P作拋物線C的兩條切線PA,尸3,其中A,8為切點，求直線AB

的方程，并證明直線A3過定點。；

(3)過(2)中的點。的直線加交拋物線C于A,8兩點,過點A,3分別作拋物線C的切線4，求乙，4

交點M滿足的軌跡方程.

22

例30.(2022?上海?高三專題練習)雙曲線三-2=1的實軸為,點尸是雙曲線上的一個動點，引

ab

4。與4。的交點為Q,求點。的軌跡方程.

例31.(2022?全國?高三課時練習)已知點尸(-2,2)、。(0,2)以及直線/:y=x,設長為正的線段A8在直線

/上移動(如圖所示)，求直線出和QB的交點〃的軌跡方程.

題型五：參數(shù)法

例32.（2022?新疆?皮山縣高級中學高三期末（文））已知A（2cosO,4sin。），B（2sinO,TcosO）,當時,

線段A8的中點軌跡方程為（）

A-TR21

2828

c-f4=iD-T4=I

【方法技巧與總結】

有時不容易得出動點應滿足的幾何條件，也無明顯的相關點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經分析可發(fā)現(xiàn)）該

動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標（x,y）中的蒼y分別隨

另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法.

例33.（2022?全國?高三專題練習（理））己知曲線c：y=6_2x+2和直線I：產區(qū)（原0）,若C與/有兩

個交點A和8,求線段A8中點的軌跡方程.

例34.（2022?江西景德鎮(zhèn)?高三期末（理））已知兩條動直線/1：y=丁A與/2：丁=幾（4。0，4為參數(shù)）的交

點為P.求點尸的軌跡c的方程；

例35.（2022?北京市第五十七中學高三期中）P是圓/+產=4上的動點，P點在X軸上的射影是。，點M

滿足Z)P=2￡>M.

（1）求動點M的軌跡C的方程；

⑵過作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直線方程及弦長；

（3）過點N（3,0）的直線/與動點M的軌跡C交于不同的兩點A,B,求以0408為鄰邊的平行四邊形功

的頂點E的軌跡方程.

例36.（2022?全國?高三專題練習）已知直線I］：>=公尤和/2：y=次與拋物線W=2p無（0>0）分別相交于A,

5兩點（異于原點。）與直線/：y=2x+p分別相交于P,。兩點，且K?左2=-2.

求線段A3的中點M的軌跡方程；

例37.（2022?江蘇倜市高級中學高三階段練習）已知直線/：&+七=1,。€0匹與坐標軸的交點分別

smacos"I2）

為A,B,則線段A8的中點C的軌跡與坐標軸圍成的圖形面積為（）

*兀八?！肛"

A.-B.—C.-D.—

24816

例38.（2022.全國?高三課時練習）已知曲線6：尸+4=1（。>6>。）所圍成的封閉圖形的面積為4百，曲線

。的內切圓的半徑為2叵，記C?是以曲線Cj與坐標軸的交點為頂點的橢圓.

3

（1）求橢圓Cz的標準方程；

（2）設AB是過橢圓C?中心的任意弦，/是線段A8的垂直平分線，M是/上異于橢圓中心的點，|“。|=川。4|

（。為坐標原點，2^0）,當點A在橢圓C?上運動時，求點M的軌跡方程.

題型六：點差法

f1

例39.（2022?全國?高三專題練習）橢圓上+/=1,則該橢圓所有斜率為;的弦的中點的軌跡方程為

42

【方法技巧與總結】

圓錐曲線中涉及與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法.

例40.（2022?全國?高三課時練習）斜率為2的平行直線截雙曲線/-V=1所得弦的中點的軌跡方程是

22

例41.（2022?全國?高三專題練習）已知橢圓亍+.=1的弦A8所在直線過點E（U）,求弦A8中點尸的軌

跡方程.

例42.（2022?上海市行知中學高三開學考試）已知曲線「上一動點尸到兩定點耳（0,-2）,8（0,2）的距離之

和為4應，過點。（T,。）的直線L與曲線「相交于點4（%,%）,s（x2,y2）.

⑴求曲線「的方程；

（2）動弦A3滿足：AM=MB，求點”的軌跡方程；

例43.（2022?全國?高三期中）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為2x+3y=0,且兩頂點間的距離為6,求該

22

雙曲線方程.（2）一組平行直線y=2x+b與橢圓土+乙=1相交，求弦的中點的軌跡方程.

129

例44.（2022?上海?高三專題練習）已知橢圓?+?=：!,”（冷必），雙（馬,為）是橢圓上的兩個不同的點.

（1）若點A（L1）滿足MA=A2V，求直線MN的方程;

（2）若"（％,%）,N值,%）的坐標滿足玉電+2乂%=0，動點尸滿足OP=OM+2ON（其中。為坐標原點）,

求動點尸的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡

例45.（2022?全國?高三專題練習）在正方體A3。-A耳CQ中，E為4。的中點，尸為底面A8C。上一動

點，且跖與底面ABCD所成的角為60。.若該正方體外接球的表面積為12兀，則動點F的軌跡長度為（）.

A.述兀B.苴兀C.友兀D.拽兀

9333

【方法技巧與總結】

利用坐標法解決.

例46.（2022?全國?高三專題練習）如圖，點A是平面a外一定點，過A作平面a的斜線/,斜線/與平面a所

成角為50。.若點尸在平面a內運動，并使直線AP與/所成角為35。,則動點尸的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線的一支

例47.（2022?北京市第十三中學高一階段練習）如圖，正方體ABC。-A4GA中，P為底面A5CD上的動

點，且PEL4c于E,且上4=PE,則點P的軌跡是（）

A.線段B.圓弧

C.拋物線的一部分D.以上答案都不對

例48.（多選題）（2022?廣東?大埔縣虎山中學模擬預測）如圖所示，在棱長為2的正六面體A3。-4與G2

中，。為線段的中點（圖中未標出），以下說法正確的有（）.

A.線段C。中點為E,則直線OE與平面A8CA所成角的正弦值為

B.在線段AB上取靠近B點的三等分點「則直線O尸與直線G2不共面.

C.在平面ABCD上存在一動點尸，滿足|河+忸尸|=2,則尸點軌跡為一橢圓.

D.在平面GRAB上存在一動點。，點。到點0的距離和點。到直線AB的距離相等，則點。的軌跡為拋

物線，其準線到焦點的距離為行.

題型八：復數(shù)與圓錐曲線的軌跡

例49.（2022?河南開封?高三階段練習（文））已知i為虛數(shù)單位，且z0=￡，復數(shù)z滿足|z-z0|=l,則復

數(shù)z對應點的軌跡方程為（）

A.（X-1）2+（J+1）2=4B.（X-1）2+（3；+1）2=4

C.（尤+]J+（y+l）2=]D.（尤_iy+（y_l）2=]

【方法技巧與總結】

（1）利用坐標法解決.

（2）利用復數(shù)幾何意義

例50.（多選題）（2022?重慶一中高一期末）若復數(shù)z在復平面對應的點為Z,則下來說法正確的有（）

A.若|z|=3,則Z在復平面內的軌跡為圓

B.若|z+4|+|z-4|=8,則Z在復平面內的軌跡為橢圓

C.不可能存在復數(shù)z同時滿足|z|=3和|z+4|+|z-4|=10

D.若|z|=3,則|z+4|+|z-4|的取值范圍為[8,10]

例51.（2022.上海市徐匯中學高三期末）如果復數(shù)z滿足|z+l+3i|+|z-2-i|=6,則復數(shù)z對應的點的軌跡

是（）

A.直線B.橢圓C.線段D.圓

例52.（2022.全國?高一課時練習）已知復數(shù)z滿足|z『-2|z|-3=0,則復數(shù)z對應的點的軌跡是.

例53.（2022?江西贛州?高三期末（文））設復數(shù)z=（l+cos6）+i-sin。（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內

對應的點（x,y）的軌跡方程為.

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡

例54.（2022.全國?高三課時練習圮知4（2,1）,B（2,-l）,O為坐標原點，動點尸（x,y）滿足OP=mOA+nOB，

其中機,〃eR,且則動點尸的軌跡方程是（）

2

B.----Fy2=1

4

D.——丁2=1

4

【方法技巧與總結】

（1）利用坐標法解決.

（2）利用向量幾何意義

例55.（2022?安徽八中學模擬預測（理））己知向量b是單位向量，若。4=0,且

c-3a+c-4b=5,則卜+。|的取值范圍是.

例56.（2022?全國?高三課時練習）設過點尸（x,y）的直線分別與無軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩

點，點。與點P關于y軸對稱，。為坐標原點.若8尸=2PA，S.OQAB=1,則點P的軌跡方程是.

例57.（2022?陜西師大附中高一期中）已知向量0,b，c，滿足忖=4,a與b的夾角為1c.（c-o）=-3,

貝小一c|的最/J、值為（）

3

A.2^3+2B.^3——C.y/3+1D.^/3—1

例58.（2022?全國?高三專題練習）已知橢圓的標準方程為三+二=1.

42

⑴設動點尸滿足：OP^M+ON＞其中M,N是橢圓上的點，直線■與ON的斜率之積為問：是

否存在兩個定點不入，使得|P司+|%］為定值？若存在，求用，鳥的坐標；若不存在，說明理由.

（2）設動點P滿足：OP=OM+2ON,其中N是橢圓上的點，直線與ON的斜率之積為問：是

否存在點尸，使得點夕到尸的距離與到直線％=2西的距離之比為定值？若存在，求產的坐標；若不存在,

說明理由.

例59.（2022?重慶八中高三階段練習）拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,P在拋物線C上，。是坐標原

點，當尸尸與x軸垂直時，△OEP的面積為1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若A,8都在拋物線C上，且。4.。8=-4,過坐標原點。作直線AB的垂線，垂足是G,求動點G的軌

跡方程.

例60.（2022?全國?高三專題練習）己知平面上一定點C（2,0）和直線/：x=8,尸為該平面上一動點，作PQ

U,垂足為。，且（尸C+尸。）=0.求動點尸的軌跡方程；

題型十：利用韋達定理求軌跡方程

例61.（2022?全國?高三課時練習）設橢圓E的方程為f+丁=1,斜率為1的動直線/交橢圓E于A,8兩

點，以線段AB的中點C為圓心，|至|為直徑作圓，圓心C的軌跡方程為.

【方法技巧與總結】

聯(lián)立直線與曲線方程得出兩根之和與之積關系，再進行轉化.

例62.（2022?全國?高三專題練習）設不同的兩點A,B在橢圓C:Y+2y2=3上運動，以線段AB為直徑的

圓過坐標原點。，過。作〃為垂足.求點M的軌跡方程.

例63.（2022?浙江.杭州市富陽區(qū)場口中學高三期末）己知橢圓C的離心率為玄，其焦點是雙曲線Y-亡=1

23

的頂點.

（1）寫出橢圓C的方程；

⑵直線/：>=云+機與橢圓C有唯一的公共點跖過點M作直線/的垂線分別交x軸、y軸于人龍,0）,B（0,y）

兩點，當點M運動時，求點P（x,y）的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

例64.（2022?廣東?高三階段練習）已知橢圓E:，+，=1（。＞6＞。）的離心率是孝，其左、右頂點分別是A、

B,且|AB|=4.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）已知點M、N是橢圓E上異于A、8的不同兩點，設點P是以AAf為直徑的圓J和以AN為直徑的圓。2

的另一個交點，記線段AP的中點為Q,若七”-心7V=-1,求動點。的軌跡方程.

例65.（2022?全國?高三專題練習）已知三角形A2C的三個頂點均在橢圓4/+5y2=80上，且點A是橢圓短

軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.

（1）若三角形A8C的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程；

（2）若角A為90°,垂直于。，試求點D的軌跡方程.

【過關測試】

一、單選題

1.（2022?江蘇省木瀆高級中學模擬預測）復平面中有動點Z,Z所對應的復數(shù)z滿足|z-3b|z-i|,則動點

Z的軌跡為（）

A.直線B,線段C.兩條射線D.圓

2.（2022?全國?高三專題練習）正三角形048的邊長為1,動點C滿足OC=WA+,且萬+9+筋=1,

則點C的軌跡是（）

A.線段B.直線C.射線D.圓

TT

3.（2022.全國?高三專題練習）四邊形ABCD為梯形，且AB=2DC,|OC|=|D4|=2,=點尸是四

邊形48。。內及其邊界上的點.若（4P-。嚴《尸8+瓦1）=-4,則點尸的軌跡的長度是（）

A.EB.2A/3C.4萬D.16萬

4.（2022?全國?高三專題練習）已知復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,則z的軌跡為（）

A.線段B.直線

C.橢圓D.橢圓的一部分

5.（2022?河南安陽?高三開學考試（文））平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點的軌跡為平行四邊

形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對角線所在的直線.若平面上到兩條直線x-y=o,y=0的距離之

和為2的點尸的軌跡為曲線「，則曲線r圍成的圖形面積為（）

A.8A/2B.672C.472D.272

6.（2022?河南?鄭州四中高三階段練習（理））下列四個命題中不正確的是（）

A.若動點尸與定點4（-4,0）、8（4,0）連線抬、尸8的斜率之積為定值：，則動點P的軌跡為雙曲線的一部

分.

B.設機，〃eR,常數(shù)a>0,定義運算“*"：（利一式，若x?0,則動點網不?^）的軌

跡是拋物線的一部分.

C.已知兩圓A:（x+l）2+;/=l、圓3：（x-iy+y2=25,動圓M與圓A外切、與圓B內切，則動圓的圓心

M的軌跡是橢圓.

D.已知A（7,0）,B（-7,0）,C（2,-12）,橢圓過A,8兩點且以C為其一個焦點，則橢圓的另一個焦點的

軌跡為雙曲線.

7.（2022?全國?高三專題練習）已知正方體A8C。-ABCQ的棱長為2,反尸分別是棱AA】、A.的中點，點產

為底面四邊形ABCD內（包括邊界）的一動點,若直線口尸與平面無公共點，則點尸的軌跡長度為（）

A.2B.>/5C.76D.2亞

8.（2022?安徽?合肥一中模擬預測（文））首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結合再利用的競賽

場館，它的設計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪

飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪

飛天的助滑道可以看成一個線段PQ和一段圓弧向組成，如圖所示.假設圓弧QM所在圓的方程為

C:（x+25）2+（y-2）2=162,若某運動員在起跳點M以傾斜角為45且與圓C相切的直線方向起跳，起跳后

的飛行軌跡是一個對稱軸在>軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（）

A.y2=-32(x-l)B.y=-x2-3

-64

C.x2=-32(y-l)D.x2=-36y+4

二、多選題

9.（2022?福建省福州第一中學三模）已知曲線C是平面內到定點廠（0,1）和定直線/：y=-1的距離之和等于4

的點的軌跡，若尸（4,九）在曲線C上，則下列結論正確的是（）

A.曲線C關于x軸對稱B.曲線C關于y軸對稱

C.-2用K2D.l^iJlPF|4

10.（2022?全國?高三專題練習）已知拋物線C：/=2px（P＞0）的焦點廠與圓片:^+丁一2尤=0的圓心重合，

直線,與C交于A?,%）、3（%,%）兩點，且滿足：0408=0（其中。為坐標原點且A、8均不與。重合），

貝1（）

A.石N=16,%%=T6B.直線/恒過定點（4,0）

C.A、8中點軌跡方程：/=2x-4D.AO3面積的最小值為16

2

11.（2022?福建?模擬預測）己知雙曲線C:d一匕=1的左、右焦點分別為斗鳥，點P在雙曲線C的右支上，

4

若NF\PF?=e,△2久乙的面積為S,則下列選項正確的是（）

A.若8=60,貝!JS=4\/3

B.若5=4,貝！］|尸鳥|=2』

C.若耳為銳角三角形，則Se（4,4"）

D.若△尸用工的重心為G,隨著點P的運動，點G的軌跡方程為9爐-亨=1、＞￡|

12.（2022?全國?高三專題練習）已知A、3兩點的坐標分別是（-1刀），（1,0）,直線AP、3尸相交于點P,且

兩直線的斜率之積為加，則下列結論正確的是（）

A.當〃?=-!時，點P的軌跡圓（除去與x軸的交點）

B.當時，點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓（除去與x軸的交點）

C.當0＜加＜1時，點P的軌跡為焦點在x軸上的拋物線

D.當〃*1時，點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線（除去與x軸的交點）

三、填空題

13.（2022?浙江?高三開學考試）已知雙曲線f-丁=1與直線/:丁二區(qū)+機依力土口有唯一的公共點人，過點A

且與/垂直的直線分別交x軸、y軸于雙飛,。）（（。,%）兩點，當點A運動時，點。（如%）的軌跡方程是

14.（2022?江西?上饒市第一中學模擬預測（文））①已知點A（6,0）,直線/”=竽，動點尸滿足到點A

的距離與到直線/的距離之比為走；