專題02探索平行線的性質(zhì)壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1考點一兩直線平行，同位角相等 1考點二兩直線平行，內(nèi)錯角相等 3考點三兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 4考點四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度 6考點五平行線的性質(zhì)在生活中的應用 8考點六平行線的性質(zhì)與判定綜合應用 11【過關檢測】 13【典型例題】考點一兩直線平行，同位角相等例題：（2022·陜西·西安市鐵一中學八年級階段練習）如圖，．，則的度數(shù)為（

）A．58° B．112° C．120° D．132°【變式訓練】1．（2023·吉林·九年級階段練習）如圖，直線．直線與、分別交于、兩點．若，則的大小為_____度．2．（2020·吉林·東北師大附中明珠學校七年級期末）如圖，D為中延長線上一點，，若，，則_____．考點二兩直線平行，內(nèi)錯角相等例題：（2022·湖南·長沙市立信中學九年級階段練習）如圖，直線a，b被c所截，，若，則的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式訓練】1．（2022·廣西大學附屬中學九年級階段練習）如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．50° D．140°2．（2022·重慶市第七中學校九年級期中）如圖，，，則的度數(shù)為（

）A．160 B．140 C．50 D．40考點三兩直線平行，同旁內(nèi)角互補例題：（2022·遼寧·沈陽市培英中學七年級期中）如圖，ABCD，射線AE交CD于點F，若∠1＝114°，則∠2的度數(shù)等于_____°．【變式訓練】1．（2022·上海理工大學附屬中學七年級期末）如圖直線、被直線所截，且，已知比大，則______．2．（2022·江西撫州·七年級期中）如圖，直線，直線l與a，b分別相交于A，B兩點，過點A作直線l的垂線交直線b與點C，若，則的度數(shù)為________．考點四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度例題：（2021·四川省南充市高坪中學七年級階段練習）如圖，已知：，，(1)說明：．(2)求的度數(shù)．【變式訓練】1．（2022·山東·寧津縣德清中學七年級期中）如圖，已知，，，求：(1)(2)的度數(shù)．2．（2022·西藏·林芝市廣東實驗中學七年級期中）如圖，點D，E在AC上，點F，G分別在BC，AB上，且，∠1＝∠2．(1)求證：；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．考點五平行線的性質(zhì)在生活中的應用例題：（2022·山東青島·七年級期中）已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．【變式訓練】1．（2022·山東·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學七年級期中）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．2．（2022·云南昆明·七年級期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角______時，．考點六平行線的性質(zhì)與判定綜合應用例題：（2021·浙江·紹興市錫麟中學八年級階段練習）探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使，且DE交BC于點P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關系？(1)我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關系：如圖1與圖2所示．①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為

；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為；請選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個真命題（用文字敘述）：

．(2)應用②中的真命題，解決以下問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．【變式訓練】1．（2022·甘肅·金昌市第五中學七年級期中）如圖，已知AMBN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．(1)∠ABN的度數(shù)是；(2)求∠CBD的度數(shù)；(3)當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量之比是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律．【過關檢測】一、選擇題1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校七年級階段練習）如圖，，則的度數(shù)是（

）度A．100 B．80 C．120 D．1502．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）如圖，將直尺與角的三角尺疊放在一起，若，則∠1的大小是(

)A． B． C． D．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學校七年級期中）如圖，，將一副直角三角板作如下擺成，圖中點A、B、C在同一直線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·廣州市第四中學七年級階段練習）把正方形ABCD和長方形EFGH按如圖的方式放置在直線l上．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為(

)A． B． C． D．5．（2021·山東·高青縣教學研究室期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（

）A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°二、填空題6．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）如圖，，∠A＝50°，則∠1＝_____．7．（2022·陜西·潼關縣教育局教學研究室七年級期中）如圖，，，，則的度數(shù)是_____________．8．（2022·安徽·潛山市羅漢初級中學七年級階段練習）如圖，將一副三角板重疊擺故，于點D，則的度數(shù)為______．9．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．10．（2022·福建·平潭第一中學七年級期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）三、解答題11．（2022·河北·威縣第三中學七年級期末）如圖，已知，，求證：．(1)請將下面證明過程補充完整．證明：∵（已知），∴（）．又∵（已知），∴（等角的補角相等），∴（），∴（）；(2)若平分，于點，，求的度數(shù)．12．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）如圖，已知，，．(1)求證：；(2)求證：．13．（2022·河南·虞城縣第二初級中學七年級期中）如圖，與有公共頂點A，且點C在邊BE上，CD交AE于點F且平分．，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．14．（2022·江蘇·漣水縣第四中學七年級期末）如圖，F(xiàn)N交HE、MD于點A、點C，過C作射線CG交HE于點B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．(1)求證：AB∥CD；(2)求∠ABG的度數(shù)．15．（2022·山東煙臺·期末）如圖把一個含有30°角的直角三角板的直角頂點放在直線上，，、兩點在平面上移動，請根據(jù)如下條件解答：(1)如圖1，若點在直線上，點在直線的下方，，求的度數(shù)．(2)如圖2，若點在平行直線，內(nèi)部，點在直線的下方，，求的度數(shù)．16．（2022·江蘇·泰興市濟川初級中學七年級階段練習）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點、C點以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．專題02探索平行線的性質(zhì)壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1考點一兩直線平行，同位角相等 1考點二兩直線平行，內(nèi)錯角相等 3考點三兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 4考點四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度 6考點五平行線的性質(zhì)在生活中的應用 8考點六平行線的性質(zhì)與判定綜合應用 11【過關檢測】 13【典型例題】考點一兩直線平行，同位角相等例題：（2022·陜西·西安市鐵一中學八年級階段練習）如圖，．，則的度數(shù)為（

）A．58° B．112° C．120° D．132°【答案】A【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，根據(jù)對頂角相等即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和對頂角性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握：兩直線平行，同位角相等．【變式訓練】1．（2023·吉林·九年級階段練習）如圖，直線．直線與、分別交于、兩點．若，則的大小為_____度．【答案】【分析】根據(jù)鄰補角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵直線，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補角的應用，解此題的關鍵是求出的度數(shù)，注意：兩直線平行，同位角相等．2．（2020·吉林·東北師大附中明珠學校七年級期末）如圖，D為中延長線上一點，，若，，則_____．【答案】72【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關鍵．考點二兩直線平行，內(nèi)錯角相等例題：（2022·湖南·長沙市立信中學九年級階段練習）如圖，直線a，b被c所截，，若，則的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可以判斷，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得出，是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·廣西大學附屬中學九年級階段練習）如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．50° D．140°【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解本題的關鍵．2．（2022·重慶市第七中學校九年級期中）如圖，，，則的度數(shù)為（

）A．160 B．140 C．50 D．40【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)先求解，再利用鄰補角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．考點三兩直線平行，同旁內(nèi)角互補例題：（2022·遼寧·沈陽市培英中學七年級期中）如圖，ABCD，射線AE交CD于點F，若∠1＝114°，則∠2的度數(shù)等于_____°．【答案】66【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可求出∠AFD的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角相等求出∠2的度數(shù)．【詳解】∵ABCD，∴∠1+∠AFD=180°．∵∠1=114°，∴∠AFD=66°．∵∠2和∠AFD是對頂角，∴∠2=∠AFD=66°．故答案為66．【點睛】本題考查了平行線，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式訓練】1．（2022·上海理工大學附屬中學七年級期末）如圖直線、被直線所截，且，已知比大，則______．【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，進行計算即可解答．【詳解】解：比大，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2022·江西撫州·七年級期中）如圖，直線，直線l與a，b分別相交于A，B兩點，過點A作直線l的垂線交直線b與點C，若，則的度數(shù)為________．【答案】##63度【分析】根據(jù)，可得，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補正確找出是解答本題的關鍵．考點四根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度例題：（2021·四川省南充市高坪中學七年級階段練習）如圖，已知：，，(1)說明：．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得到，再利用平行線的判定即可證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．（1）解：∵，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東·寧津縣德清中學七年級期中）如圖，已知，，，求：(1)(2)的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)100°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定方法即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求解．（1）解：∵，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵∴．∵，∴【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩只線平行同旁內(nèi)角互補是關鍵．2．（2022·西藏·林芝市廣東實驗中學七年級期中）如圖，點D，E在AC上，點F，G分別在BC，AB上，且，∠1＝∠2．(1)求證：；(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；（2）先求出∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解．（1）證明：∵，∴∠1＝∠DBC．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DBC，∴．（2）∵EF⊥AC，∴∠CEF＝90°．∵∠2＝∠1＝50°，∴∠C＝90°－50°＝40°．∵，∴∠ADG＝∠C＝40°．【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關鍵．考點五平行線的性質(zhì)在生活中的應用例題：（2022·山東青島·七年級期中）已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．【答案】120【分析】過點B作BF∥CD，因為AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度數(shù)，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入計算即可得出答案．【詳解】解：過點B作BF∥CD，如圖，由題意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案為：120．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應用平行線的性質(zhì)進行求解是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·山東·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學七年級期中）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．【答案】48°##48度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，∴∠3=180°-∠1=48°，∵水中的兩條折射光線是平行的，∴∠2=∠3=48°，故答案為：48°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)應用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關鍵．2．（2022·云南昆明·七年級期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角______時，．【答案】140°或40°【分析】當AB與在AC同側(cè)時，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補；當AB與CB"在AC異側(cè)時，CB"∥AB，內(nèi)錯角相等．【詳解】解：如下圖：當AB與CB′在AC同側(cè)時，當CB′∥AB時，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當AB與CB"在AC異側(cè)時，當CB"∥AB時，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補及需要由分論討論的思想求解．考點六平行線的性質(zhì)與判定綜合應用例題：（2021·浙江·紹興市錫麟中學八年級階段練習）探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使，且DE交BC于點P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關系？(1)我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關系：如圖1與圖2所示．①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為

；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為；請選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個真命題（用文字敘述）：

．(2)應用②中的真命題，解決以下問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由見解析；②如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(2)30°，30°或70°和110°【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)①寫出結(jié)論，即可求解；（2）設兩個角分別為x和2x﹣30°，由（1）的結(jié)論可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．（1）解：①如圖1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∠ABC＝∠DEF，故答案為：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如圖1中，∵，∴∠DPB＝∠DEF，∵，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∵，∴∠DPC＝∠DEF，∵，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②結(jié)論：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．故答案為：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．（2）解：設兩個角分別為x和2x﹣30°，由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴這兩個角的度數(shù)為30°，30°或70°和110°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，理解如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補是解答關鍵．【變式訓練】1．（2022·甘肅·金昌市第五中學七年級期中）如圖，已知AMBN，∠A＝64°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．(1)∠ABN的度數(shù)是；(2)求∠CBD的度數(shù)；(3)當點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量之比是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律．【答案】(1)116°(2)58°(3)不變，∠APB＝2∠ADB，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求解；（3）由平行線的性質(zhì)可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根據(jù)角平分線的定義可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．（1）解：∵AMBN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案為116°；（2）∵AMBN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不變，∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AMBN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．【過關檢測】一、選擇題1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學校七年級階段練習）如圖，，則的度數(shù)是（

）度A．100 B．80 C．120 D．150【答案】A【分析】根據(jù)鄰補角互補求出∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠3，代入求出即可．【詳解】解：∵∠1＝80°，∴∠3＝180°?80°＝100°，∵ABCD，∴∠2＝∠3＝100°，故選：A．【點睛】本題考查了鄰補角的定義，平行線的性質(zhì)的應用，注意：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同位角相等．2．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）如圖，將直尺與角的三角尺疊放在一起，若，則∠1的大小是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖：由題意得：，∵ABCD，∴∠3＝∠2＝，∴．故選D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學校七年級期中）如圖，，將一副直角三角板作如下擺成，圖中點A、B、C在同一直線上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點C作CM，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，再根據(jù)三角板的特點求解即可．【詳解】解：如圖，過點C作CM，∵，∴，∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，∵∠2＝180°?45°＝135°，∴∠ACM＝135°，∴∠ECM＝135°?30°＝105°，∴∠1＝180°?105°＝75°，故選：C．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，同位角相等”及作平行線是解題的關鍵．4．（2022·廣東·廣州市第四中學七年級階段練習）把正方形ABCD和長方形EFGH按如圖的方式放置在直線l上．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)：∠1=43°，∠HEF=90°，即可得到∠CEB=47°，再根據(jù)CDAB，可得∠2=∠CEB=47°．【詳解】解：∵∠1=43°，∠HEF=90°，∴∠CEB=47°，∵CDAB，∴∠2=∠CEB=47°，故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．5．（2021·山東·高青縣教學研究室期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（

）A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分兩種情況求解即可．【詳解】解：①如圖1所示：若AEBD，ACBD，則∠A＝∠1，∠1＝∠B，∴∠A＝∠B，∵∠A＝3∠B﹣40°＝3∠A－40°，∴∠A＝∠B＝20°，②如圖2所示：若ADBE，BCAF，則∠1＝∠B，∠1＋∠A＝180°，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝3∠B﹣40°，∴3∠B﹣40°+∠B＝180°，∴∠B＝55°，∠A＝125°，綜上所述，∠A的度數(shù)為20°或125°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關系．二、填空題6．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）如圖，，∠A＝50°，則∠1＝_____．【答案】130°##130度【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠2，根據(jù)對頂角相得出∠1．【詳解】解：如圖：∵，∴∠A+∠2＝180°，∵∠A＝50°，∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是能夠根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補和對頂角相等進行分析解答．7．（2022·陜西·潼關縣教育局教學研究室七年級期中）如圖，，，，則的度數(shù)是_____________．【答案】##37度【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)垂線的定義得到，則．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關鍵．8．（2022·安徽·潛山市羅漢初級中學七年級階段練習）如圖，將一副三角板重疊擺故，于點D，則的度數(shù)為______．【答案】15°##15度【分析】由題意可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，由垂直可得∠ADE=90°，則可判定AC∥DE，從而可得∠ACD=∠CDE=45°，即可求得∠BCD的度數(shù)．【詳解】解：由題意得：∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∴∠ADE+∠A=180°，∴AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE=45°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．故答案為：15°．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關鍵是對平行線的判定條件與性質(zhì)的掌握．9．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關鍵．10．（2022·福建·平潭第一中學七年級期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°-m，則∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．【詳解】解：設∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°-m，∴∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關計算，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．三、解答題11．（2022·河北·威縣第三中學七年級期末）如圖，已知，，求證：．(1)請將下面證明過程補充完整．證明：∵（已知），∴（）．又∵（已知），∴（等角的補角相等），∴（），∴（）；(2)若平分，于點，，求的度數(shù)．【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判斷即可求解；（2）根據(jù)垂直和平行，即可求出，且，只要求出的度數(shù)即可求出答案，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)即可求出，由此即可求出答案．（1）證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．又∵（已知），∴（等角的補角相等），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同位角相等）故答案是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；∠FAC=∠2；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．（2）解：∵，平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，故答案是：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判斷，以及根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)問題，掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題的關鍵．12．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學三模）如圖，已知，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直得出，根據(jù)平行線的判定得出；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，由得出，根據(jù)平行線的判定得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，（垂直的定義），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行；（2）證明：∵，∴（兩直線平行，同位角相等），又（已知），∴（等量代換），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．13．（2022·河南·虞城縣第二初級中學七年級期中）如圖，與有公共頂點A，且點C在邊BE上，CD交AE于點F且平分．，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D=∠DCE，根據(jù)角平分線的定義得出∠ACD=∠DCE，求出∠BAC=∠ACD，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠DAE，∠BAC=∠ACD，根據(jù)角平分線的定義得出∠ACD=∠DCE，求出，即可求出答案．（1）證明：∵，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠ACD=∠D，∵∠BAC=∠D，∴∠BAC=∠ACD，∴；（2）解：∵，∴∠E=∠DAE，∠D=∠DCE，∵∠DAE=∠D，∴∠E=∠DCE，由（1）知，∴∠DCE=∠B，又∵，∴∠E=∠B=．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義等知識點，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解此題的關鍵．14．（2022·江蘇·漣水縣第四中學七年級期末）如圖，F(xiàn)N交HE、MD于點A、點C，過C作射線CG交HE于點B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．(1)求證：AB∥CD；(2)求∠ABG的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)135°【分析】（1）由對頂角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；（2）由平角的定義得到∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．（1）證明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，∴∠EAF＝∠FCD，∴AB∥CD；（2）解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，∴∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，由（1）知，AB∥CD，∴∠ABG＝∠BCD，∠ABG＝135°，故∠ABG的度數(shù)是135°．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．15．（2022·山東煙臺·期末）如圖把一個含有30°角的直角三角板的直角頂點放在直線上，，、兩點在平面上移動，請根據(jù)如下條件解答：(1)如圖1，若點在直線上，