專題提升圓的綜合題

類型一簡單的圓的證明與計算

例1如圖，AABC的點A,C在。。上，。。與AB相交于點D,連接CD,ZA=

30°,ZACD=45°,DC=^2.

⑴求圓心。到弦DC的距離；爪

⑵若NACB+NADC=180°.[)

①求證：BC是。。的切線;

②求BD的長.

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖，AB為。。的直徑，C為。0上的一點，D為BA延長線上的一點，ZACD

=ZB.

(1)求證：DC為。。的切線；

(2)線段DF分別交AC,BC于點E,F,且NCEF=45°,。。的半徑為5,sinB

二已求CF的長.

5

2.(2019?陜西)如圖，AC是。。的一條弦，AP是。。的切線，作BM=AB并與

AP交于點M,延長MB交AC于點E,交。。于點D,連接AD.

⑴求證:AB=BE；

(2)若。0的半徑R=5,AB=6,求AD的長.

型二圓與動點

例2如圖①，。。的直徑AB=12,P是弦BC上一動點(與點B,C不重合)，ZABC

=30°,過點P作PD_LOP交。0于點D.

(1)如圖②，當(dāng)PD〃AB時，求PD的長；

(2)如圖③，當(dāng)弧AC與弧CD的長相等時，延長AB至點E,使BE=：AB,連接DE.

乙

①求證：DE是。。的切線；

②求PC的長.

圖

跟蹤訓(xùn)練電

1.(2019?河南)如圖，在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB為直徑的半

圓。交AC于點D,點E是弧BD上不與點B,D重合的任意一點，連接AE交BD

于點F,連接BE并延長交AC于點G.

(1)求證：△ADFZZXBDG；

⑵填空：

①若AB=4,且點E是弧BD的中點，則DF的長為；

②取弧AE的中點H,當(dāng)NEAB的度數(shù)為時，四邊形0BEH為菱形.

2.如圖，已知。。的半徑為2,AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M,將歷沿

CD翻折后，點A與圓心0重合，延長0A至點P,使得AP=0A,連接PC.

(1)求CD的長；

(2)求證：PC是。。的切線;

⑶點G為A曲的中點，在PC延長線上有一動點Q,連接QG交AB于點E,交品于

點F(點F與B,C不重合)，問GEXGF是否為定值，如果是，求出該定值，如果

不是，說明理由.

Q

H

3.(2019?邵陽)如圖①，已知。。外一點P向。。作切線PA,點A為切點，連

接P。并延長交。。于點B,連接A0并延長交。。于點C,過點C作CDLPB,分

別交PB于點E,交。。于點D,連接AD.

(1)求證：AAPO^ADCA；

(2)如圖②,當(dāng)AD=AO時.

①求NP的度數(shù)；

②連接AB,在。。上是否存在點Q,使得四邊形APQB是菱形.若存在，請直接

P0

寫出」的值；若不存在，請說明理由.

4.已知：在。。中，BC是。。的弦，點A是圓上一動點，連接AB,AC,過C點

引一條射線CD,且使NBCD=NA.

(1)當(dāng)弦AC經(jīng)過圓心。時，如圖①，求證：射線CD是。0的切線;

⑵當(dāng)弦AC不經(jīng)過圓心。時，延長AB交射線CD于D,如圖②.

①射線CD仍是。。的切線嗎？(填“是”或“不是”)

②請在圖中找一對相似三角形，并給予證明；

③當(dāng)AB經(jīng)過圓心。時，如圖③，若BC=2,AC=4,求CD的長.

類型三圓與坐標(biāo)系

例3如圖①，②，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為(4,0),以點A為

圓心，4為半徑的圓與x軸交于0,B兩點，0C為弦，ZA0C=60°,P是x軸上

的一動點，連接CP.

⑴求NOAC的度數(shù)；

(2)如圖①，當(dāng)CP與。A相切時，求P0的長；

⑶如圖②，當(dāng)點P在直徑0B上時，CP的延長線與。A相交于點Q,問P0為何

值時，AOCQ是等腰三角形.

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(4,0),點B(0,4),動點C在以半

徑為2的。。上，連接0C,將0C繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到0D,連接AB.

⑴若點C在第二象限的。。上運動，當(dāng)OC〃AB時，NBOC的度數(shù)為；

⑵若點C在整個。。上運動，當(dāng)點C運動到什么位置時，AABC的面積最大?

并求出4ABC的面積的最大值；

⑶若點C在第一、二象限的。。上運動，連接AD,當(dāng)OC〃AD時：

①求出點C的坐標(biāo)；

②直線BC是否為。。的切線？請作出判斷，并說明理由.

效1=1案

【例1】（1）解：如解圖①，分別連接OD,0C,過點。作OE_LDC于點E.

?:△ADC內(nèi)接于。0,ZA=30°,

AZD0C=60°.

VOD=OC,DC=0

??.△DOC是等邊三角形，

.*.OD=OC=DC=^2.

V0E±DC,；.DE=gZDE0=90°,ZD0E=30°,

；.0E=串）E=羋,即圓心。至IJDC的星巨離為

例1題解圖①

(2)①證明：由⑴得△DOC是等邊三角形，.../€0)=60°,

VZACB+ZADC=180°，ZCDB+ZADC=180°,

.?.ZACB=ZCDB.VZB=ZB,

，AABC^ACBD,

ZBCD=ZA=30°,

.,.Z0CB=90°,

.??BC是。。的切線.

……A—ABCB.

②由△ACBs^CDB,得手二,，即CB2=AB-BD.

LDDD

如解圖②，過點D作DFLAC于點F,.-.ZAFD=ZCFD=90°.

VZA=30°,NACD=45。,DC=0

.-.DF=^DC=1,AD=2DF=2.

VZA=ZBCD=30°,ZACD=45°,

ZB=ZCDB=75°,，CB=CD=0.

設(shè)BD為x,則為=x(2+x),

解得x=^j3—1或x=—/—1(舍)，

例1題解圖②

跟蹤訓(xùn)練

L(1)證明：連接0C,如解圖.

E

'D

O]A

第1題解圖

VOB=OC,.?.ZOBC=ZOCB.

TAB是。。的直徑，

Z.ZACB=90°..,.Z0CA+Z0CB=90°.

又：ZACD=ZB,

AZACD+Z0CA=90°.

.,.OC±CD.

TOC為。0的半徑，...CD是。。的切線.

(2)解：由NCEF=45°,ZACB=90°,

可知NCFE=NCEF=45°,

3

.?.CF=CE.由sinB=k，AB=2X5=10,可得AC=6,

5

由勾股定理，得BC=8,設(shè)CF=CE=x,

由NCED=NBFD,ZECD=ZFBD,

可知，△CEDs/XBFD,

BFFD8-x?

則nlNCDE=NBDF,而:=而=——，①

CEEDx

由NCFD=NAED,ZEDA=ZFDC,

CFFDx

可知△CFDS/^AED,則a=而=^一，②

AEED6—x

2424

聯(lián)立①②得，x=-,即CF的長為了

2.(1)證明：：AP是。。的切線,

，NEAM=90°.M

P

：.ZBAE+ZMAB=90°,ZAEB+ZAMB=90°.

YAB=BM,ZMAB=ZAMB,ZBAE=ZAEB,

.*.AB=BE.

⑵解:連接BC,：AC是。。的直徑，.*.ZABC=90o.

在RtZ\ABC中,AC=10,AB=6,ABC=8.

VBE=AB=BM,.*.EM=12.

由（1）矢口NBAE=NAEB,/.△ABC^AEAM,

EMAMnr12AM

.*.ZC=ZAME,—,即1一二—

ACDC108

4848

ZD=ZC,AZD=ZAMD,.e.AD=AM=y,

【例2】(1)解：連接OD,如解圖①.

：PD〃AB,Z0PD=90°,APOIOB.

XVZABC=30°,

.,.PO=BO?tan30°=2^3,

在RtZXOPD中，由勾股定理，得

PD=^0D2-0P2=2^6.

⑵①連接0D交BC于點F,連接BD.如解圖②,

由笈=鼠，ZABC=30°,得優(yōu)和鼠所對的圓心角都為2X30。=60°,

故ND0B=60°,

AAOBD是等邊三角形,

cD

例2題解圖②

.*.BD=OB.

1

VBE=^-AB=OB=BD,

乙

...△BDE是等腰三角形，

ZE=30°,

.,.Z0DE=180°-30°-60°=90°,

即OD±DE.

：0D是。。的半徑，

.?.DE是。。的切線.

②由AOBD是等邊三角形，Z0BC=30°可知，

BF是N0BD的平分線，

BF±OD,且F是0D中點，

二.BC是0D的垂直平分線，

故PO=PD,

/.A0PD是等腰直角三角形，

1

.,.PF=0D=3.

7乙

XVBF=0B?cos30°=3口

BC=AB?cos30°=6yp,

.,.PC=6^3-3^3-3=3^3-3.

跟蹤訓(xùn)練

1.(1)證明：VBA=BC,ZABC=90°,ZBAC=45°.

：AB是。。的直徑，...NADB=NBDG=90。,

AZABD+ZBAC=90°,

ZABD=ZBAC=45°,，AD=BD,

,/NDAF=ZDBG,Z.AADF^ABDG.

⑵解：①4—20②30。.

2.(1解：)如解圖①，連接OC,?.?弧CD沿CD翻折后，點A與圓心0重合,

第2題解圖①

1I______________L

CD±OA.VOC=2,CD=2CM=2^0C2-0M2=2^3.

(2)證明：VPA=OA=2,AM=OM=1,CM=；CD=0,ZCMP=Z0MC=90°,

.,.PC=qMC2：PM2=2FVOC=2,P0=4,

...PC2+OC2=PO2,ZPC0=90°,

；.PC是。。的切線.

⑶GEXGF是定值8.

理由：如解圖②，連接GO并延長，交。。于點H,連接HF,

第2題解圖②

?.,點G是⑥的中點，

AZG0E=90°.

VZHFG=90°,且NOGE=NFGH,

AOGGE

/.△OGE^AAFGH,.,.GEXGF=0GXGH=8.

GFGH

3.(1)證明：...PA切。。于點A,AC是。。的直徑，

ZPA0=ZCDA=90°.

VCD±PB,.?.NCEP=90°,

.,.ZCEP=ZCDA,，PB〃AD,

NP0A=ZCAD,AAPO^ADCA.

⑵解:①連接OD,VAD=AO,OD=AO,

.,.△AOD是等邊三角形，

.,.Z0AD=60°.

?「PB〃AD,AZP0A=Z0AD=60°.

VZPA0=90°,

AZP=90°-ZP0A=30°.

第3題解圖

②存在.如解圖，過點B作BQJ_AC交。。于點Q,連接PQ,BC,CQ,

由①得NP0A=60。，NPA0=90°，

ZB0C=ZP0A=60°.

/OB=OC,AZACB=60°，

：.ZBQC=ZBAC=30°.

VBQXAC,.*.CQ=BC.

VBC=OB=OA,.,.△CBQ^AOBA,

ABQ=AB.VZ0BA=Z0PA=30°,

，AB=AP,.*.BQ=AP,

VAP±AC,，BQ〃AP,

???四邊形ABQP是平行四邊形.

VAB=AP,四邊形ABQP是菱形，，PQ=AB,

PQAB

??5=^=tan60o=y/3.

cyDLv

4.⑴證明：?.》(：是。。的直徑，

ZA+ZACB=90°.

,/ZA=ZBCD,

AZACB+ZBCD=90°,即AC_LCD,「.CD是。。的切線.

(2)解：①是

②△DBCs/^DCA,

證明：VZBCD=ZA,ZD=ZD,

ADBC^ADCA.

.DB_DC_BC_2_1

③?.?△DBCS/^DCA,，DC=DA=AC=4=2,

.*.DC=2DB,DC2=DB?DA,

設(shè)DB=x,貝l]DC=2x,VAB=^+4^=2^,

.*.DA=x+2^5,

.?.X;攣，，DC=2x=芋.

【例3】解：(1)VZA0C=60°,AO=AC,.'.△AOC是等邊三角形，，N0AC

=60°.

(2)?「CP與。A相切，.?.NACP=90。.

ZAPC=90°-Z0AC=30°.

,點A(4,0),.*.AC=A0=4,.*.PA=2AC=8,

.?.P0=PA-0A=4.

(3)①如解圖，過點C作CP_LOB,垂足為P,延長CP交。A于Q.

1111

?「OA是半徑，.,.寬=g,.?.OCuOQ,

11

/.AOCQ是等腰三角形.

1

又「△AOC是等邊三角形，.“0=%0=2；

12

②如解圖，過點A作ADLOC于D,延長DA交。A于Q,CQ與x軸交于P,

222

ADQ垂直平分OC,ACQ=0Q,AAOCQ是等腰三角形，

2222

過點Q作QELx軸于E,在RtZXAQE中，

222

?.,NQAE=NOAD=[NOAC=3O。，

2z

1廣

/.QE-AQ=2,AE=2p

.二點Q,的坐標(biāo)為(4+2f,-2)；

在Rt^COP中，VP0=2,ZA0C=60°，

11

.,.CP|=2/,.?.點C的坐標(biāo)為(2,2^3)；

-2=(4+2f)k+b,

設(shè)直線CQ的關(guān)系式為y=kx+b,則

2

k=~l,

解得

當(dāng)y=0時，x=2+2>j3,

.,.P,O=2+20

綜上可知，當(dāng)P0為2或2+20時，AOCQ為等腰三角形.

跟蹤訓(xùn)練

1.解:(1)45°；

⑵當(dāng)點C到AB的距離最大時，4ABC的面積最大,

如解圖①，過。點作OE1_AB于E,0E的反向延長線交。。于C,止匕時C點至IJAB

的距離最大，即為CE的長.

?「△OAB為等腰直角三角形，??.AB=0OA=40,

1L

.*.OE=^AB=2