課時(shí)分層作業(yè)十一平面與平面垂直的性質(zhì)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.下列命題正確的是 ()①過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；②如果一條直線(xiàn)和兩個(gè)垂直平面中的一個(gè)垂直，它必和另一個(gè)平面平行；③過(guò)不在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；④如果兩個(gè)平面互相垂直，經(jīng)過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與另一平面垂直的直線(xiàn)在第一個(gè)平面內(nèi).A.①③ B.②③ C.②③④ D.④【解析】選D.過(guò)平面外一點(diǎn)可作一條直線(xiàn)與平面垂直，過(guò)該直線(xiàn)的任何一個(gè)平面都與已知平面垂直，所以①不對(duì)；若α⊥β，a⊥α，則aβ或a∥β，所以②不對(duì)；當(dāng)平面外的直線(xiàn)是平面的垂線(xiàn)時(shí)，能作無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，否則只能作一個(gè)，所以③也不對(duì)；由題意知，④正確.2.已知直線(xiàn)l，m，平面α，β，l⊥α，m⊥β，α∥β，則直線(xiàn)l與m的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定【解析】選C.l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊥β，所以l∥m.3.設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面.考查下列命題，其中正確的命題是 ()A.m⊥α，nβ，m⊥n?α⊥βB.α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥nC.α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥nD.α⊥β，α∩β=m，n⊥m?n⊥β【解析】選B.正確的命題是α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n.4.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC，AD=CD，則BD與CC1的位置關(guān)系為 ()A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直【解析】選C.如題干圖所示，在四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=BC，AD=CD.所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.5.設(shè)平面α⊥平面β，且α∩β=l，直線(xiàn)aα，直線(xiàn)bβ，且a不與l垂直，b不與l垂直，那么a與b ()A.可能垂直，不可能平行B.可能平行，不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.不可能垂直，也不可能平行【解析】選B.當(dāng)a，b都平行于l時(shí)，a與b平行.假設(shè)a與b垂直，如圖所示，由于b與l不垂直，在b上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作b′⊥l.因?yàn)槠矫姒痢推矫姒?，所以b′⊥平面α，所以b′⊥a，又由假設(shè)a⊥b易知a⊥平面β，從而a⊥l，這與已知a不與l垂直矛盾，故假設(shè)不正確，即a與b不可能垂直.6.如圖所示，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，則二面角BPAC的大小為 ()A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】選A.因?yàn)镻A⊥平面ABC，BA，CA平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即為二面角BPAC的平面角.又∠BAC=90°，所以二面角BPAC的大小為90°.二、填空題(每小題5分，共10分)7.如圖，在三棱錐PABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，則PB=_________.

【解析】因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC，交線(xiàn)為AC，∠PAC=90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB=90°，CA=CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)________.

【解析】因?yàn)镃A=CB，O為AB的中點(diǎn)，所以CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線(xiàn)為AB，所以CO⊥平面ABD.因?yàn)镺D平面ABD，所以CO⊥OD，所以△COD為直角三角形.所以圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個(gè).答案：6個(gè)三、解答題(每小題10分，共20分)9.(2018·重慶高一檢測(cè))如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD.【證明】(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD=AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD=2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.10.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，BD⊥CD，且AE=1.(1)求證：AE∥平面BCD.(2)求證：平面BDE⊥平面CDE.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)M，連接DM，AM，因?yàn)锽D=CD，且BD⊥CD，BC=2，所以DM=1，DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，又DM平面BCD，AE?平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD，所以DE⊥CD.因?yàn)锽D⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE.因?yàn)镃D平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線(xiàn)AB∥l，直線(xiàn)AC⊥l，直線(xiàn)m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是 ()A.AB∥m B.AC⊥mC.AB∥β D.AC⊥β【解析】選D.如圖所示.AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D.2.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β=直線(xiàn)l，則 ()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線(xiàn)l的直線(xiàn)一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線(xiàn)lD.垂直于直線(xiàn)l的平面一定與平面α，β都垂直【解析】選D.垂直于平面β的平面與平面α平行或相交，故A錯(cuò)誤；垂直于直線(xiàn)l的直線(xiàn)與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤；垂直于平面β的平面與直線(xiàn)l平行或相交，故C錯(cuò)誤；D正確.3.已知平面α，β，γ，直線(xiàn)l，m滿(mǎn)足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有 ()A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②【解析】選D.一方面，由題意得QUOTE所以l⊥α，故②是正確的.另一方面，如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，把AA1記作l，把平面AB1記作β，把平面AC1記作γ，把平面A1B1C1記作α，把直線(xiàn)A1C1記作m，就可以否定①與③，故選D.4.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為QUOTE和QUOTE.過(guò)A，B分別作兩平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，則AB∶A′B′等于 ()A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3【解題指南】利用面面垂直的性質(zhì)定理作垂線(xiàn)找AB與兩平面α，β所成的角，再利用直角三角形的知識(shí)表示出AB與A′B′的值，進(jìn)而求出AB∶A′B′的值.【解析】選A.如圖：由已知得AA′⊥面β，∠ABA′=QUOTE，BB′⊥面α，∠BAB′=QUOTE，設(shè)AB=a，則BA′=QUOTEa，BB′=QUOTEa，在Rt△BA′B′中，A′B′=QUOTEa，所以5.如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列命題正確的是 ()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】選D.在題圖①中，因?yàn)椤螧AD=90°，AD=AB，所以∠ADB=∠ABD=45°，因?yàn)锳D∥BC，所以∠DBC=45°，又因?yàn)椤螧CD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.在題圖②中，此關(guān)系仍成立.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD.因?yàn)锽A平面ADB，所以CD⊥AB.因?yàn)锽A⊥AD，AD∩CD=D，所以BA⊥平面ACD.因?yàn)锽A平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.二、填空題(每小題5分，共20分)6.設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線(xiàn).從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)推導(dǎo)：_________(用代號(hào)表示).

【解析】逐一判斷.若①②③成立，則m與α的位置關(guān)系不確定，故①②③?④錯(cuò)誤；同理①②④?③也錯(cuò)誤；①③④?②與②③④?①均正確.答案：①③④?②(或②③④?①)7.如圖，直二面角αlβ，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)________.

【解析】如圖，連接BC，因?yàn)槎敲姒羖β為直二面角，ACα，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BCβ，所以AC⊥BC，所以BC2=AB2AC2=3，又BD⊥CD，所以CD=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.如圖，四面體PABC中，PA=PB=QUOTE，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，AC=8，BC=6，則PC=_________.

【解析】取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，因?yàn)镻A=PB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥CE，因?yàn)椤螦BC=90°，AC=8，BC=6，所以AB=2QUOTE，PE=QUOTE=QUOTE，CE=QUOTE=QUOTE，PC=QUOTE=7.答案：79.如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說(shuō)法正確的是_________(填序號(hào)).

①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC；②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB；④在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD.【解析】分別取CE，DE的中點(diǎn)Q，P，連接MP，PQ，NQ，可證MNQP是矩形，所以①②正確；因?yàn)镸N∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，則PQ∥CE，又PQ與CE相交，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)平面ADE⊥平面ABCE時(shí)，有EC⊥AD，④正確.答案：①②④三、解答題(每小題10分，共30分)10.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn).求證：(1)EF∥平面PCD.(2)平面BEF⊥平面PAD.【證明】(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形.因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.11.如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求證：AD⊥CC1.(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線(xiàn)BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.【證明】(1)因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.因?yàn)榈酌鍭BC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C=BC，所以AD⊥平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，所以AD⊥CC1.(2)延長(zhǎng)B1A1與BM延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N，連接C1N.因?yàn)锳M=MA1，所以NA1=A1B1.因?yàn)锳1C1=A1N=A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥側(cè)面BB1C1C，又因?yàn)镃1N截面MBC1.所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.12.如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC=CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明：AE∥平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線(xiàn)段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為EC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AE