試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市寶山區(qū)上海交大附中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、填空題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.2．設(shè)集合，集合，則.3．方程的解是．4．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是．5．函數(shù)的最小正周期為4，則．6．已知隨機(jī)變量的分布為，則.7．已知空間向量.若四點(diǎn)共面，則.8．已知直線與軸的交點(diǎn)為，直線上的動(dòng)點(diǎn)滿足：點(diǎn)到直線的距離恒成立，則動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)軌跡的長(zhǎng)度為.9．在某次比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績(jī)互不相等，記為，平均數(shù)為，若隨機(jī)刪去其中一輪的成績(jī)，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，下面說法正確的是.（寫出所有正確選項(xiàng)）①新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差.②新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù).③若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差.④若，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù).10．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（為正整數(shù)）.記，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為.12．若對(duì)于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間上均有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的最小值是.二、單選題13．中，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．直線與直線是異面直線 B．直線與直線AE是共面直線C．直線AE與直線是異面直線 D．直線AE與直線是共面直線15．甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球；乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C．事件與事件不相互獨(dú)立 D．、、兩兩互斥16．考慮這樣的等腰三角形：它的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且其中恰有兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn).關(guān)于這樣的等腰三角形有多少個(gè)，有兩個(gè)命題：命題①：滿足條件的三角形至少有12個(gè).命題②：滿足條件的三角形最多有20個(gè).關(guān)于這兩個(gè)命題的真假有如下判斷，正確的是（

）A．命題①正確；命題②錯(cuò)誤. B．命題①錯(cuò)誤；命題②正確.C．命題①，②均正確. D．命題①，②均錯(cuò)誤.三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，是的等比中項(xiàng)，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求.18．有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長(zhǎng)為6分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），其中是以為圓心，的扇形，且弧分別與邊相切于點(diǎn).剪去圖中的陰影部分，剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)）.(1)當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，求折卷成的包裝盒的容積；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？19．已知橢圓，右焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與圓相切于點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸右側(cè).（1）若直線過點(diǎn)，求橢圓方程；（2）求證：為定值.20．如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，點(diǎn)是棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，均不重合）.

(1)當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)當(dāng)平面將正四棱柱分割成體積之比為的兩個(gè)部分時(shí)，求線段的長(zhǎng)度.21．已知數(shù)列滿足.(1)若，求最小正數(shù)的值，使數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，求證：；(3)對(duì)于（2）中的數(shù)列，求證：答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.2．【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】或，所以.故答案為：.3．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，解得：.故答案為：.4．2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得復(fù)數(shù)，即可得的虛部.【詳解】解：復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.5．【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)周期公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)周期，屬于簡(jiǎn)單題.6．7.64【分析】根據(jù)期望的計(jì)算公式以及性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得,所以,故答案為：7.647．【分析】根基空間向量共面定理結(jié)合空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以共面，所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，所以，所以，所以.故答案為：.8．【分析】設(shè)，根據(jù)，求出的范圍，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為，所以由題意，設(shè)，由，得，即，解得，所以動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)軌跡為，其長(zhǎng)度為.故答案為：.9．①②③【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念，以及百分位數(shù)的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于①，若隨機(jī)刪去任一輪的成績(jī)，恰好不是最高成績(jī)和最低成績(jī)，此時(shí)新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差，所以①正確；對(duì)于②，不妨假設(shè)，當(dāng)時(shí)，若隨機(jī)刪去的成績(jī)是，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以②正確；對(duì)于③，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計(jì)算公式，分子不變，分母變小，所以方差會(huì)變大，所以③正確；對(duì)于④，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個(gè)數(shù)據(jù)中，因?yàn)?，此時(shí)原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二數(shù)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)；刪去一個(gè)數(shù)據(jù)后的4個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.10．【分析】利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得.設(shè)函數(shù)，將函數(shù)寫出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽和極限的思想可得當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以，即，當(dāng)?shù)茫?dāng)?shù)?，?jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以.所以.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；同理可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，其中，由函數(shù)的值域?yàn)镽知，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用函數(shù)的值域確定關(guān)于k的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數(shù)列的求通項(xiàng)公式和求和知識(shí)點(diǎn)，平時(shí)練習(xí)都要熟練應(yīng)用.11．/【分析】設(shè)為在上的零點(diǎn)，可得，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上，根據(jù)的幾何意義，可得有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案．【詳解】設(shè)為在上的零點(diǎn)，可得，所以，即點(diǎn)在直線，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，則有解，即有解，令，可得，因?yàn)?，，所以恒成立，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即的最小值為．故答案為：.12．【分析】根據(jù)整體法可得零點(diǎn)滿足，即可利用時(shí)，，求解符合條件的結(jié)合周期性驗(yàn)證所求滿足其他區(qū)間即可.【詳解】令,則，函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合條件的兩個(gè)零點(diǎn)為故，故，解得，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為，因此零點(diǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可知：滿足每個(gè)閉區(qū)間上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)。故答案為：13．C【分析】由正弦定理，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角等證明出充分性和必要性均成立，從而求出答案.【詳解】因?yàn)?，由大角?duì)大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當(dāng)時(shí)，，，由正弦定理可得，由大邊對(duì)大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C14．C【分析】根據(jù)異面直線的判定定理求解即可.【詳解】由于與均在平面內(nèi)，不是異面直線，故A錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，所以和是異面直線，故B錯(cuò)誤；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故C正確；平面，平面，點(diǎn)不在直線上，則與是異面直線，故D不正確.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，第二若一條直線與一個(gè)平面相交于一點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線，這是判斷兩條直線是異面直線的方法，要根據(jù)題目所提供的線線、線面關(guān)系準(zhǔn)確的做出判斷.15．A【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；直接寫出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的定義可判斷C選項(xiàng)；利用互斥事件的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】依題意，，，，，，B對(duì)，，A錯(cuò)；，，所以，，所以，事件與事件不相互獨(dú)立，C對(duì)，由題意可知，事件、、中的任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此，事件、、兩兩互斥，D對(duì).故選：A.16．C【分析】分別以橢圓頂點(diǎn)連線為等腰三角形的腰或底，進(jìn)行分類討論，得到答案.【詳解】不妨設(shè)，如圖1，連接，當(dāng)為等腰三角形的底時(shí)，作的垂直平分線交橢圓于兩點(diǎn)，連接，則為等腰三角形，滿足題意，同理當(dāng)為等腰三角形的底時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足要求的等腰三角形，共有8個(gè)；如圖2，當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，聯(lián)立，消得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則交點(diǎn)有，當(dāng)，即時(shí)，則圓與橢圓相交于點(diǎn)，連接，其中滿足要求，三個(gè)頂點(diǎn)均為橢圓頂點(diǎn)，不合題意，同理當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足要求的等腰三角形，共有8個(gè)；當(dāng)，即時(shí)，則圓與橢圓相交于點(diǎn)三點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，則圓與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，綜上，當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，符合題意的三角形的個(gè)數(shù)可能是個(gè)或個(gè)；如圖3，以為圓心，為半徑作圓，此時(shí)圓與橢圓相交于點(diǎn)，連接，此時(shí)為等腰三角形，滿足題意，共有2個(gè)，如圖4，以為圓心，為半徑作圓，此時(shí)圓與橢圓相交于點(diǎn)，連接，此時(shí)為等腰三角形，滿足題意，共有2個(gè)，由橢圓性質(zhì)可知，為橢圓中的最長(zhǎng)弦，所以不能作為等腰三角形的腰，而作為底時(shí)，剛好等腰三角形的頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，不合要求，綜上所述，滿足要求的等腰三角形個(gè)數(shù)為或，所以滿足條件的三角形至少有12個(gè)，最多有個(gè)，所以命題①，②均正確.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩圓一線，是平面幾何中等腰三角形存在性問題的通用解法，這里以橢圓為背景進(jìn)行考察，基本思路沒有變化，但要注意兩圓一線所得到的等腰三角形有不滿足要求的，要舍去.17．（1）；（2）.【分析】（1）直接用等差數(shù)列的基本量解方程即可；（2）先算出，然后運(yùn)用累加法即可獲解.【詳解】（1）是的等比中項(xiàng)解得

（舍去）（2）據(jù)題意兩式相減得所以有以上9個(gè)式子相加得【點(diǎn)睛】本題求和運(yùn)用了數(shù)列中得累加法，如果遞推公式形式為:或則可利用累加法.18．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合圖形可得柱體的底面積，再根據(jù)體積公式計(jì)算，即可求解；（2）設(shè)，則，其中，利用柱體的體積公式可得出包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得該包裝盒的容積的最大值.【詳解】（1）在圖甲中，連結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)，在中，因?yàn)椋?，則，從而，即，故所得柱體的底面積，又所得柱體的高，所以，所以當(dāng)長(zhǎng)為1分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積為立方分米；（2）設(shè)，則，則所得柱體的底面積.又所得柱體的高，所以，其中，令，，則由，解得，列表如下：x增極大值減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，并且，所以當(dāng)分米時(shí)，折卷成的包裝盒容積最大，最大值為立方分米.19．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由直線與圓相切可得出的值，由直線過點(diǎn)可得出的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可知，利用兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理可分別求出、，進(jìn)而可證明出為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由于直線與圓相切，則，直線過點(diǎn)，，則，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)，易知點(diǎn)在軸右側(cè)，可得，則，，，，，，，因此，（定值）.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中的定值問題的證明，涉及兩點(diǎn)間距離公式和勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.20．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面垂直的判定定理，通過證，，即可證得直線平面，其中法一用勾股定理證，；法二用向量法證，；（2）用點(diǎn)到面的距離的向量求法即可得答案；（3）法一由，列方程求解可得的長(zhǎng)度；法二由，列方程求解可得的長(zhǎng)度.【詳解】（1）證法一：因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，，，由勾股定理，得，同理可得，，又，、平面，所以直線平面；法二：如圖，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.得，

，由，，得，，又，、平面，所以直線平面.（2）如圖，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.得，，設(shè)點(diǎn)，則，由，即，得，得，設(shè)平面的法向量為，由，得，，可取，得，從而得到平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.

（3）作平行于，交于點(diǎn)，連接，得截面，連接，設(shè)線段的長(zhǎng)為由得，，可得，又由，可得，由題意，整理的，解得，所以線段的長(zhǎng)度為.另解：連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，得截面，因?yàn)槠矫嫫叫杏谌忮F的底面，得棱臺(tái)，設(shè)線段的長(zhǎng)度為，線段長(zhǎng)度為.則，得，

，，由題意，，所以，整理得，由函數(shù)和圖像可知，點(diǎn)是兩個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)，即是方程的一個(gè)解，因式分解，可得，得或或，由，得，即.21．(1)4；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推關(guān)系及函數(shù)，求出，借助等差數(shù)列求出的表達(dá)式，并驗(yàn)證即可求解.（2）利用函數(shù)不等式放縮，借助構(gòu)造法、累乘法求通項(xiàng)推理得證.（3）由（2）中數(shù)列，探求數(shù)列遞增，并借助累加法得，再利用不等式放縮得，利用裂