2023屆高三（上）期末模擬

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中只有一

個正確答案）

1.已知集合A={0,l},8={—1,0,。+3},且則。等于（C）

A.1B.0C.-2D.-3

2.在復平面內，復數z=2-（i為虛數單位）的共扼復數對應的點位于（）.

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

分析先化簡復數z,再寫出其共加復數，然后根據其實部和虛部作出判斷.

解析所以N=i-i,故復數z的共粗復數對應的點位于第四象限

1+i+

故選D.

77T

3.已知a=log21.41,L=1.703,c=cos號,則（）

A.h>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【詳解】因為b=L7°3>1,c=cos=cos=；=log,V2>a=log21.41,

所以￡?>c>a.

4.已知犯〃是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若加〃a,n〃￡，則加〃〃

B.若惟〃a,m〃B,則a〃4

C.若aA.0,mA.0,mBa,則m〃a

D,若a_L/?,〃?ua,則，〃_L￡

【答案】C

【分析】根據線面位置關系，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：若加〃a,〃〃a,則加，〃的位置關系不確定，故A錯誤；

對B：若機〃/〃?〃/,則a,力的位置關系不確定，故B錯誤；

對.C：若a_1_夕,〃?J_p,/n<Za,則/?〃I,故C正確；

對D：若a_L￡,〃?ua,則〃?，夕的位置關系不確定，故D錯誤.

故選：C.

1

5.為了強化安全意識，某校擬在周一至周四的4天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練，則選擇的

兩天恰好是間隔1天的概率是（）

A.1B.|C.-D.-

3235

【答案】C

【分析】求出四天隨機抽取兩天的取法總數和間隔一天的取法總數，即可得到選擇的兩天恰好是間

隔1天的概率.

【詳解】解：由題意

四天隨機選兩天，共有C：=6種取法，

兩天恰好是間隔1天的取法為（一，三）（二，四）共2種，

221

選擇的兩天恰好是間隔1天的概率是p=w=k=§,

故選：C.

6.已知向量a=（x-l,2）,6=（2,4）,則“a與6夾角為銳角''是“x>-3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】首先求a與人夾角為銳角時，x的取值范圍，再根據集合的包含關系，判斷選項.

【詳解】當a-6=2（x-l）+2x4>0,解得：x>-3,

且當a〃方時，4（x-l）-4=0,解得：x=2,

所以“a與b夾角為銳角時，x的取值范圍是x>-3且xx2,

所以“a與》夾角為銳角”是。>-3”的充分不必要條件.

故選：A

7.如圖所示,該曲線W是由4個圓：。一1）2+>2=1,0+1）2+丫2=1,犬+（>+1）2=1,父+（丫—1）2=1的

一部分所構成，則下列敘述錯誤的是（）

2

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2兀

B.若圓/+丁=，”>0）與曲線卬有4個交點廁r=0或2

C.3。與。E的公切線方程為x+yT-血=。

D.曲線上的點到直線x+y+5收+1=0的距離的最小值為3

【答案】D

【分析】對于A,將曲線卬圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的

半圓構成計算即可;對于B,結合圖像分情況討論即可;對于C,設公切線方程為y=kx+t（k<Q,t>0）,

根據直線和圓相切的條件列出方程求解即可得到結果;對于D,根據選項C中的方法，求得“J,HG的

公切線方程，再利用兩條平行線間的距離公式計算即可.

【詳解】曲線卬圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓構成,

所以其面積為2x2+2x7txF=4+2兀，故A正確；

當r=&時,交點為8Q,F,H;當r=2時,交點為4,仁瓦6;當0<廠<&或「>2時，沒有交點;當

&<r<2時，交點個數為8個，故B正確；

設BO與。E的公切線方程為丫="+4％<0J>0），

由直線和圓相切的條件可得±±=1=注雪，

J1+二Ji+二

解得左=-1,t=1+V2（1->/2舍去），

則其公切線方程為y=-x+l+VL即x+y-正-1=0,故C正確;

同理可得H8，HG的公切線方程為x+y+l+&=0,

則兩平行線的距離為+l二一&1=4,故D錯誤.

故選:D.

3

8.已知等差數列｛為｝的公差不為0,設S?為其前"項和，若Sg=0,則集合卜|x=S*,k=1,2,…,2023)

中元素的個數為()

A.2022B.2021C.2015D.2019

【答案】D

【分析】根據$9=0可得出0、d的等量關系，求出&的表達式，利用二次函數的對稱性和單調性

可得出集合｛x|x=S?,%=1,2,…,2023｝中元素的個數.

【詳解】因為Sg=94+于d=9q+36d=0,可得q=-4d,且dwO,

,0,k(k-l)dk(k—l)dk2-9k,d\(.9?81"

所cri以'&=姐+-^-7"+-^-=^^=萬卜-5卜了-

且數列⑸｝(425)單調遞增，

根據二次函數的對稱性可知S2=S7,S3=S6,S4=S5,

故集合｛小=1?=1,2,…,2023｝中元素個數為2023-4=2019.

故選：D.

9.函數圖象上存在兩點P(M，Q(M(”。)滿足一W,則下列結論成立的是()

【答案】B

【分析】根據尸(取),>0)在=sin2x上,可得出2r+2s=乃+2&肛％eZ，再根聯立

一s，得至IJs的值，根據t>0縮小?，的取值范圍，進而代入小+高求值即可.

【詳解】解:由題知/'(x)=sin2x,；.T=%

P(s/)，Q(r,f)均在/(x)=sin2x上，

sin25=sin2r=r>0,

4

7T7TT

644

:.0<2r-2s<-,

2

故有：2r+2s=7T+2k冗,keZ,

2r+2s=4+2&乃

兩等式聯立有71

r-s=一

6

解得2s=5+k冗,Z￡Z,

,sin2s=1>0,

7C

2s=—+2k內k、eZ,

綜上選項B正確.

故選:B

10.如圖，直徑為4的球放地面上，球上方有一點光源尸，則球在地面上的投影為以球與地面切點

廠為一個焦點的橢圓，已知4人是桶圓的長軸，24垂直于地面且與球相切，/入=6,則橢圓的離

c5D-T

【分析】根據給定條件，結合球的性質作出截面引A2,再結合三角形內切圓性質求出AA?長即可

作答.

【詳解】依題意，平面尸A4截球。得球面大圓，如圖，RLPAA?是球o大圓的外切三角形，其

中尸切圓。于點E,F,

5

OE1

顯然AE=A尸=OE=2,而必=6,則PE=4,又OELR,<tanZOPE=—=-,

PE2

由圓的切線性質知，tanj公tan2NOPE=寄喘4

在Rt/氣兒中，PA1A4，則A4=PA-tanZA1P4=8,于是得橢圓長軸長2a=8,即。=4,

又F為橢圓的一個焦點，令橢圓半焦距為c,即有a-c=AF=2,因此c=2,

C1

所以橢圓的離心率6=—=7.

a2

故選：A

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

11.若拋物線*2=政經過點（2,—1）,則其準線方程是.

【答案】y=i

1\

（4-荻J的展開式中常數項為A,則人=.

分析寫出二項展開式的通項力…，令通項中x的指數為零，求出廠，即可求出A.

-r

解析7；+l=C；(^)-7r=C；(_1)，/一《，令二_/=0,得「=3,所以A=—C：=—10.

vVx/26

13.如圖所示，在三棱柱45G—ABC中，D,E,F分別是AB,AC,A4的中點，設三棱

錐R—ADE的體積為K,三棱柱/用G-ABC的體積為匕，則匕：匕=.

分析通過點為中點得出三棱柱與三棱錐的底面面積以及高之間的關系，

C,

然后利用體積公式得到體積之間的比值.B,

解析設三棱柱的底面ABC的面積為S,高為力，則其體積為匕=5〃.

因為2E分別為AB,AC的中點，所以△AOE的面積等于\\\

4

6AD

又因為尸為44的中點，所以三棱錐F-ADE的高等于;力，

于是三棱錐尸-AOE的體積X=-x-S--h=—Sh=—V,,故V；:匕=1:24.

'3422424'''

22

14.在直角坐標系xOy中，雙曲線「—馬=1(“>0">0)的離心率e>2,其漸近線與圓

ab

x2+(y-2)2=4交x軸上方于A,8兩點，有下列三個結論：

?|OA-OB|<|OA+OB\:

②存在最大值；

③|OA+OB|>6?

則正確結論的序號為.

【答案】①?

【分析】根據雙曲線離心率的范圍可得兩條漸近線夾角的范圍，再根據直線與圓的位置關系及弦長,

即可得答案；

【詳解】e=-=Jl+(-)2>2=>->^3,.-.ZAOB<60,

Vaa

對①，根據向量加法的平行四邊形法則，結合乙4。3<60,可得|&_辦|<|'+加|成立，故①正

確；

對②，|&-d|=|AB|，由于乙4OB<60NAOB沒有最大值，，|AB|沒有最大值，

故②錯誤；

對③，當NAOB=60時，10Al=|OB|=2-2cos30=2后，

|&+&F=i2+12+20OB；=36,又ZAOH<60,■■\OA+OBf>36>

\OA+Of3\>6'故③正確：

7

故答案為：①③.

r<0

15.已知函數〃x)='；,g(x)=-f+2x(其中e是自然對數的底數)，若關于x的方程

[x,x>0

g(f(x))=機恰有三個不等實根為,々，W，且不<%2<巧，貝112王一々+2占的最大值為.

【答案】3-ln3

【分析】設f(x)=，，則根據題意得gQ)-/n=-r+2f-加=0必有兩個不相等的實根％,t2,不妨設

tt<t2,故。+芍=2,f2=2-4，再結合/(x)的圖象可得々=/*'=小七=&=2-6,0<t,<1,進

而2%—々+2工3=121—36+4,再構造函數〃⑺=lnf-3f+4,(0<f<1),分析函數的單調性，求得最

大值.

【詳解】由題意設/5)=，，根據方程g(f(x))-，〃=O恰有三個不等實根，

即g⑺一加=-/+2r-"?=0必有兩個不相等的實根4，t2,不妨設4<芍

f|+^2=2,則，2=2-f],

方程/(x)=4或/(x)=，2有三個不等實根與,々,西，且％<々<須,

作出圖象如圖所示：

所以N+2鼻=lnf1-34+4,

構造新函數版力=lnr-3f+4,(O<r<l),貝I]h'(t)=三,

所以〃⑺在(o,￡j上單調遞增，在CJ)上單調遞減，

所以切皿=咽=3-1113,

8

所以2*一々+2工3的最大值為3-ln3.

故答案為：3-In3.

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.（本小題滿分14分）

已知函數f（x）=>/3sinxcosx-ycos2x,

⑴求“X）的最小正周期；

⑵在ABC中,三個角A,8,C所對的邊分別為a,6,c,若〃A）=l,c=2a-cos3,0=6,求A8C的面

積.

【詳解】（1）解:由題知/（X）=J5sinxcosx-；cos2x

=—sin2x--cos2x........................4分

所以，的最小正周期^^5.........................6分

（2）由于在A8C中,三個角AB,C所對的邊分別為a,0,cJ（A）=l,

.?./（A）=sin（2A.）=l,

八，兀八,兀UTTr八

0<A<71,—<2A---<.......................7分

666

-4兀兀

2A——

62

.■.A=p.............................8分

c=2acosB,

在八ABC中由正弦定理得，

sinC=2sinAcos

又有sinC=sin［兀一（A+8）］

=sin（A+6）=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcos8,

sinAcosB-cosAsin8=0,

/.sin（A-B）=O,.................................11分

9

A-B=kn,keZ,

AB是MB。的內角，且Ag

TT

A=B=C=—,.................................................12分

：.a=b=c=6,

ABC的面積S,BC=1X6X6X@=96...........................................................14分

ABC22

17.(本小題滿分14分)

如圖，在三棱柱ABC44cl中，側面8CC4為正方形,平面BCC、B、，平面ABBX\,

AB=BC=2,M,N分別為A耳，AC的中點.

⑴求證：MN〃平面BCC耳;

(2)若AB_LMN,求直線48與平面BMN所成角的正弦值.

【詳解】(1)證明：取4B的中點為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABCA4G可得四邊形A84A為平行四邊形,

而8也="，BK=KA,則MK〃叫，

而MKg平面5CC4，381U平面BCC4，故MK//平面BCC4,2分

而CN=NA,BK=KA,則NK〃8C,同理可得NK〃平面BCGM,

而NKC|MK=K,NK,MKu平面MKM

10

故平面MKN//平面BCC4,...................................................5分

而MNu平面MKN,

故MN〃平面3CCM；...................................................................6分

(2)因為側面8CCM為正方形，故CBLBB「

而CBu平面BCC,B,,平面CBB?，平面AB4A，

平面CBBgc平面ABB,4=BB、,故C8，平面A網A，

因為A3u平面A8B|A，所以CBJ.AB,

因為NK〃8C,故NKL平面AB4A，

因為ABu平面A84A，故NKJ.AB,

又A8LMN,而NKJ_AB,NKMN=N,

故AB1平面MNK,而MKu平面A/NK,故A8_LMK,

所以A8L84,故8C,A8,8耳兩兩垂直，故可建立如所示的空間直角坐標系，...........8分

則8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,1,0),M(0,l,2),

故BA=(0,2,0),BAT=(1,1,0),BM=(0,1,2),

設平面BMW的法向量為”=(x,y,z),

n-BN=0[x+y=0

,從而｛cc，取z=-1,則

n-BM=0[y+2z=0

n=(-2,2,-l),......................................12分

設直線48與平面BMW所成的角為0,則

sin?=卜os<〃,=J14分

II

18.(本小題滿分14分)

某超市每天以4元/千克購進某種有機蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6點以前所購進的

有機蔬菜沒有全部銷售完，則對未售出的有機蔬菜降價處理，以2元/千克出售，并且降價后能夠

把剩余所有的有機蔬菜全部處理完畢，且當天不再進貨.該超市整理了過去兩個月(按60天計算)

每天下午6點前這種有機蔬菜的日銷售量(單位：千克)，得到如下統計數據.(注：視頻率為概率,

s,teN").

每天下午6點前的銷售量/千克250300350400450

天數1010St5

(注：每天超市銷售的蔬菜量互相獨立)

(1)在接下來的2天中，設X為下午6點前的銷售量不少于350千克的天數，求X的分布列和數學

期望；

(2)若該超市以當天的利潤期望值為決策依據，當購進350千克的期望值比購進400千克的期望值

大時，求,的最小值.

【解】

202

(1)依題意，1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率。=1-............1分

603

隨機變量X的可能值為0,1,2,.....................................2分

I1?14?4

P(X=0)=g)V，P(X=l)=C^x-x-=-,P(X=2)=C(￡)2=G，................5分

所以X的分布列為：

X012

￡44

P

999

.............................7分

1444

X的數學期望E(X)=0x§+lx§+2xg=y.....................................8分

211

(2)購進350千克時利潤的期望值：350x3x-+(300x3-50x2)x-+(250x3-100x2)x-=925,

366

........................10分

購進400千克時利潤的期望值：

40-v911297525?

400x3x——-+(350x3-50x2)x—+(300x3-100x2)x-+(250x3-150x2)x-=—------

60606636

12

..............................12分

297525s

由925＞彳-牛解得，5＞16,因sJeN",s+f=35,因此174s434,seN*,

36

所以s的最小值是17...........................................................14分

19.(本小題滿分14分)

已知函數/(x)=%2+狽+人，g(x)=e'(cx+d),若曲線y=/(x)和曲線y=g(x)都過點

尸(0,2),且在點尸處有相同的切線y=4x+2

(1)求a,b,c,d的值

(2)若元》一2時，/(x)WZg(x),求Z的取值范圍.

分析(1)利用所給的點及切線方程列出方程組求解字母的取值；(2)構造函數，利用導數求解函

數的最大值，求解時需要注意分類討論.

解析(1)由已知得/(0)=2,g(0)=2,/(0)=4,g'(O)=4.

而r(x)=2x+。’g'(x)=e'(cx+d+c),..................2分

故人=2,d=2,o=4,d+c=4.從而。=4,/?=2,c=2,d=2....................4分

(2)由(1)知，/(x)=x2+4x+2,g(x)=2eJ(x4-l).

設函數F(x)=必(x)—/(x)=2Z:ev(x+l)-x2-4x-2,

則尸(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(teA-1)......................6分

由題設可得尸(0)20,即女＞1...................7分

令F(x)=0得％=-ln=-2...................8分

⑴若1W攵e2,則一2七W0.從而當x￡(-2,xj時，Fr(x)0；當x￡(Xp+oo)時，

F(x)0,即F(x)在(—2,%)上單調遞減，在(％,+oo)上單調遞增，故尸(x)在[—2,+00)上

的最小值為F(x,),而/(xJ=2X]+2-片一4%-2=-%(玉+2)NO.

故當工，一2時，尸⑺20,即依(力恒成立...........................10分

(ii)若&=e2,則尸(x)=2e2(x+2)(e、-e-2).

13

從而當X.—2時，F(x)0,即/(尤)在(一2,+8)上單調遞增，

而尸(-2)=0,故當xN—2時，尸(力20,即/(x)W必(力恒成立.

....................11分

(iii)若攵e2,則尸(一2)=—2ZW+2一Re后Je從而當x2—2時，

/(aWZ(g)不可能恒成立.....................13分

綜上，％的取值范圍是....................14分

20.(本小題滿分14分)

已知橢圓G：《+V=l,與x軸不重合的直線/經過左焦點耳，且與橢圓G相交于4,B兩

點，弦AB的中點為直線OM與橢圓G相交于C,。兩點.

(I)若直線/的斜率為1,求直線的斜率；

(11)是否存在直線/,使得成立？若存在，求出直線/的方程；若不存在，

請說明理由.

設A0,%),B(x2,y2),

21

所以A8中點M(--------------------------------------------------------3分

1

于是直線0M的斜率為*=-1...........................................--4分

-3

(II)解法1：

假設存在直線/,使得恒加『=|。^?|。加|成立.

當直線/的斜率不存在時，A8的中點”(-1,0),

14

所以=|CM|-|DM|=(V2-1)(V2+1)=1,矛盾；一一?5分

故可設直線/的方程為：Y=A(X+1)(ZHO),聯立橢圓G的方程,

得：(2k2+\)x2+4k2x+2(k2-\)=0,

4女22(^-1)

設〉B(x,y),x+x=-分

AO”22WJ{22二+1'A|X?2k2+]?6

于是,

2二k

點M的坐標為(-),?7分

2F+1'2%2+1

IAB\=J(1+/)(X|-々)2=J1+一-_4.g卷"2V2-(1+F)

---------9分

V乙K十1乙K十12&?+1

1c4"2

直線8的方程為：y=---x,聯立橢圓G的方程，得：x2=JJ,-------------10分

2k2k2+\

+

設C(xo,"),則|0C「=君+yj=(1+?XQ=~i\,

JK乙K?1

由題知，=4|CM|-|PM|=4(|CO|+|OM|)(|CM-|OM|)=4(|C(9|2-|(9M|2),

8<1+^)2_爾4/+1k2(4/+1)

(2必+1)2—2"+1-(2/+1)2)'

化簡，得：k2=~,故&=±業(yè)，............................................13分

22

BF)

所以直線/的方程為：y=1(x+l),y=-^(x+l)....................................................14分

(II)解法2：

假設存在直線/使得成立

由題意直線/的斜率不與x軸重合，設直線/的方程為x=,町一1,

由I：'"'L得(疝+2)丁-2根y-l=O,

[x2+2/=2

設4(士,弘)，8。2，%)則X+%=J.,

m~+2m~+2

|A3|二^\yt-y2\=J(l+府語)，-尋=

機？+2'm2+2

15

所以直線C3的方程為：y=--x,

2

由對稱性，設。(%,券)，則。(一-即尤：=二——,

zn+2

|叫|叫=6||"％|歷顯+止(1+$同一右卜吟瑞型

由|4B|=2|AM|,\AMf=得|A3「=4\CM\\DM\,

口n(2夜(1+機.(>+4)(川+1)

(m"+2)+2)~

2

解得m=2f故機=±A/2,

所以直線/的方程為：x=^y-l,x=-y/2y-\.

21.(本小題滿分15分)

已知含有"個元素的正整數集A={4，a2,…,a,J(4</23)具有性質P：對任意不

大于S(A)(其中5(A)=q+%+…+?！?的正整數k,存在數集4的一個子集，使得該子集所有元素的

和等于h