引言數(shù)學(xué)是一門根底的自然學(xué)科，它的運用非常廣泛，數(shù)學(xué)思想滲透人類各個方面，其顯著特點是富有思想智慧。但是數(shù)學(xué)又是一門研究思想事物的抽象學(xué)科，其特點有二：一是數(shù)學(xué)研究成果揭示了事物數(shù)量和形式的一般規(guī)律；二是數(shù)學(xué)研究過程及其成果中蘊含有一般思維規(guī)律。人類已經(jīng)步入一個嶄新的、開展的、挑戰(zhàn)的、競爭的數(shù)字化時代，全球經(jīng)濟一體化進程急劇加快，現(xiàn)代數(shù)學(xué)滲透到與人類生活息息相關(guān)的各個領(lǐng)域，它不僅是科學(xué)知識，而且是一項普遍適用的技術(shù)，在收集、整理、描述信息、創(chuàng)造、保存、傳遞、交流、開展人類文化中充當(dāng)著重要角色。數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的一個問題，不再僅是教學(xué)內(nèi)容，而是如何掌握和操作這些內(nèi)容，重點應(yīng)放在對教學(xué)過程的研究上，突出學(xué)生在教學(xué)過程中的主動、積極的活動，使學(xué)生不再把數(shù)學(xué)作為一堆死板、封閉的事實、步驟來記憶，而應(yīng)當(dāng)作為動態(tài)的探索性的開展的學(xué)科來學(xué)習(xí)?！皩で蠼夥?，不單是記憶步驟；探索模式，不單是記憶公式；形成猜想，不單是做些習(xí)題”。隨著《新課程標(biāo)準》的公布與實施，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)已轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注每一個學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的開展，為每個學(xué)生的終身可持續(xù)開展奠定良好的根底。綜合運用各種手段、遵循循序漸進的原那么，通過持之以恒的培養(yǎng)，樹立學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，不斷提高學(xué)生的思維能力。第一章緒論一、問題的提出21世紀國際數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)就是“問題解決”。因此，培養(yǎng)學(xué)生具有根本的數(shù)學(xué)思想方法，是未來社會的要求和國際數(shù)學(xué)教育開展的必然結(jié)果。美國、日本、英國、德國等許多興旺國家在數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重視讓學(xué)生掌握根本的數(shù)學(xué)思想，正如日本數(shù)學(xué)史家米山國藏所指出的：“不管他們〔指學(xué)生〕從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，都隨時隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生?！睆娬{(diào)數(shù)學(xué)思想以及方法的教學(xué)早已成為各興旺國家的一致共識。在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，人們早在八十年代已經(jīng)開始研究，側(cè)重點在于有哪些數(shù)學(xué)思想，這些數(shù)學(xué)思想的形成可以帶來哪些好處，有哪些意義等，研究的學(xué)段主要是初高中階段。進入21世紀，小學(xué)階段對于數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透已開始受到重視，而隨著課程改革的不斷深入，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中有意識地培養(yǎng)學(xué)生一些根本數(shù)學(xué)思想和方法也開始成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重點之一，〔全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準〔實驗稿〕》〔以下簡稱《標(biāo)準》〕提出：“學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步開展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及根本的數(shù)學(xué)思想方法?！币虼耍谛W(xué)階段有意識地向?qū)W生滲透一些根本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實現(xiàn)從傳授知識到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。然而，《標(biāo)準》公布以來，在學(xué)習(xí)內(nèi)容中提到了假設(shè)干重要的數(shù)學(xué)觀念、意識和能力，但沒有提及關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的要求。之所以如此，一個重要的原因是，在界定和刻畫適于義務(wù)教育階段學(xué)生領(lǐng)悟和掌握的數(shù)學(xué)思想方法方面，多注重整體上如何滲透各類數(shù)學(xué)思想，而如何細致地分階段去研究和實踐數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思想方法如何滲透等所積累的研究成果卻還不夠充分。近年來，越來越多的教師認識到了培養(yǎng)學(xué)生根本的數(shù)學(xué)思想重要意義。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體知識不夠，對于教材所反映出的一些根本數(shù)學(xué)思想不能加以分析和考量，適時進行數(shù)學(xué)思想滲透的意識不強。從以往的教學(xué)看，很多教師把落實“雙基”作為課堂教學(xué)的主要任務(wù)，教師在新課程下的“三維目標(biāo)”中也很少看到將滲透數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)目標(biāo)之一。很多教師在研究教材時都是唯“書”是從，沒有將無形的數(shù)學(xué)思想方法貫穿到有形的數(shù)學(xué)知識之中，這樣就不利于教師從整體上把握數(shù)學(xué)教學(xué)目的，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)、知識形成的過程，解決問題的過程展示給學(xué)生，將思維的方式方法展現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生也就不可能獲得真正的可持續(xù)開展。

長期以來，由于對數(shù)學(xué)教學(xué)效果的評價總是圍繞著對“顯性知識”的掌握而展開的，看學(xué)生是否記住了數(shù)學(xué)公式、概念、定理等等，是否會用某種方法解題，是否會用某種規(guī)那么進行運算、推理，并把這些作為考試、考察的根本指標(biāo)，許多教師的數(shù)學(xué)教學(xué)變成了單純的“解題教學(xué)”，相對削弱了對學(xué)生“數(shù)學(xué)思想”的有效考察，影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)智能的均衡開展。二、理論依據(jù)1、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準總體目標(biāo)的第一條明確提出：“讓學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步開展所必需的重要數(shù)學(xué)知識〔包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗〕以及根本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》〔最新稿〕不僅把“數(shù)學(xué)思考”作為總體目標(biāo)之一提出，同時，還將“雙基”擴展為“四基”，即根底知識、根本技能、根本數(shù)學(xué)思想、根本活動經(jīng)驗。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)變得越來越重要。2、從數(shù)學(xué)與文化開展關(guān)系上看M．克萊因〔美〕關(guān)于數(shù)學(xué)與文化開展的關(guān)系的觀點：懷特?！灿ⅰ吃?jīng)這樣展望人類思想的未來：……在今后的兩千年內(nèi)，在人類思想領(lǐng)域里具有壓倒性的新的情況是數(shù)學(xué)的理解問題占統(tǒng)治地位的觀點；華羅庚〔中〕對數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用的觀點等從不同的角度闡述數(shù)學(xué)思想在人類生存與開展中的重要作用。3、從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看我國數(shù)學(xué)從算術(shù)到代數(shù)，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，從“清晰數(shù)學(xué)”到“模糊數(shù)學(xué)”，以及從手工證明到機械證明等，上述這些重大的轉(zhuǎn)折，首先是數(shù)學(xué)思想與方法的重大轉(zhuǎn)變，如果說歷史上數(shù)學(xué)思想推進了數(shù)學(xué)科學(xué)，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中就是數(shù)學(xué)思想與方法在傳導(dǎo)著數(shù)學(xué)的精神，在塑造著人的靈魂，在對一代人的數(shù)學(xué)素質(zhì)深刻、穩(wěn)定而持久的影響。它給予學(xué)生的不僅是數(shù)學(xué)知識，更重要的使學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，受到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練。4、從教學(xué)方法來考慮《孫子兵法》云：“授人魚，供一餐之用；授人漁，那么享用不盡”這里的“漁”就是規(guī)律，就是方法。在課堂教學(xué)中，我們在傳授知識，訓(xùn)練能力的同時，還應(yīng)幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律，讓他們掌握方法。眾所周知，沒有離開數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有離開數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)的各個分支學(xué)科中提煉和總結(jié)出來的研究方法，是形成數(shù)學(xué)概念，探討數(shù)學(xué)規(guī)律，解決數(shù)學(xué)問題的方法。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不能只滿足于知識教學(xué)，結(jié)論教學(xué)，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。把過程教學(xué)放在主要的位置上，充分展示概念的形成過程，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程和解題思路的探索過程，以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力，經(jīng)受探索的鍛煉和體驗發(fā)現(xiàn)的喜悅。研究小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，就是對小學(xué)數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)有著本質(zhì)性的認識，從方法論的角度來研究小學(xué)數(shù)學(xué)中分析問題，思考問題的方法。所以說數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是教學(xué)方法論中一個重要的分支。5、從現(xiàn)代兒童開展心理學(xué)的角度看學(xué)生在解決問題的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步得到開展，也會逐步體驗到一些數(shù)學(xué)思維策略。在良好的學(xué)習(xí)情境下，學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時，會產(chǎn)生如何去解決這個問題的“假設(shè)”和“設(shè)想”，然后進行嘗試和推理驗證。這便是一個“策略創(chuàng)新”的過程。小學(xué)生在解決問題的思考過程中，會體會多種重要的思考策略，并逐步體驗數(shù)學(xué)的一些重要的思想，在這一過程中開展數(shù)學(xué)的思維。學(xué)生只有在豐富的活動中才能體驗這些思想和策略，逐步建立對數(shù)學(xué)思想的認識，死記硬背解題方法是不可取的。三、概念界定界定范圍：小學(xué)生根本數(shù)學(xué)思想界定對象：小學(xué)1~6年級學(xué)生界定根本數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認識，是對具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的認識過程中提煉概括的根本觀點和根本想法，對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想；根本數(shù)學(xué)思想那么是表達于根底數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的根本特征，并且是歷史地開展著的。關(guān)于根本數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)：小學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)尚處于試驗、探索階段。一方面需要教師挖掘、提煉隱含于教材中的數(shù)學(xué)思想；另一方面教師要把數(shù)學(xué)思想的教學(xué)納入到教學(xué)目標(biāo)，做到有目的、有方案、有步驟地精心設(shè)計好教學(xué)過程。小學(xué)生常用的數(shù)學(xué)思想有符號思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、假設(shè)思想、建模思想等。集合思想：在數(shù)學(xué)中，集合是一個原始的概念，這如同幾何學(xué)中的“點”、“線”一樣，不能用別的概念加以定義。集合一般的描述是：在一定范圍內(nèi)的個體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素。集合是近代數(shù)學(xué)中的一個重要概念。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向小學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要標(biāo)志，集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對應(yīng)思想等，作為數(shù)學(xué)思想方法的一種，在教學(xué)中是具有很大的指導(dǎo)意義的。符號思想：用符號化的語言〔包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號〕來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號思想。符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體，把復(fù)雜的語言文字表達用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶，便于運用。把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。用符號來表達的數(shù)學(xué)語言是世界性語言，是一個人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合反映。

化歸與轉(zhuǎn)化的思想：在遇到一些問題直接求解較為困難時，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題〔相對來說，對自己較熟悉的問題〕，通過新問題的求解，到達解決原問題的目的。事實上，解題的過程就是一個縮小與求解的差異的過程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想不僅用之于數(shù)學(xué)，而且是一般分析問題和解決問題的十分重要的根本思想方法。數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想。假設(shè)思想：假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學(xué)思考方法，利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應(yīng)用題。有些題目數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無從下手?？上葘︻}目中的條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的條件進行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。建模思想：建模思想是指在碰到要解決生活中的實際問題時，用數(shù)學(xué)語言將實際問題抽象出來，建立數(shù)學(xué)模型，找出等量關(guān)系，然后解決實際問題。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題乃數(shù)學(xué)的最高境界，也是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)所追求的目標(biāo)。

分類思想：分類思想是通過對復(fù)雜問題的分解，將綜合問題化解為單一問題的組合，再對具體問題各個擊破，可以到達以簡馭繁、化難為易的效果。其具體實施的結(jié)果就是把難度較大的問題轉(zhuǎn)化成了難度較小的問題，實現(xiàn)了化難為易、化繁為簡的目的。類比思想：數(shù)學(xué)上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想，它能夠解決一些外表上看似復(fù)雜困難的問題。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)浦郏瑥亩梢约ぐl(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造力。

統(tǒng)計思想：統(tǒng)計思想就是從局部〔樣本〕推斷整體〔總體〕的思想，是關(guān)于如何收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，如何解釋數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果以及在什么情況下可以應(yīng)用于實際生活等的根本概念和原理。極限的思想：所謂極限的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中一般是指用最大〔多〕或最小〔少〕的思維方式去分析題目之間的數(shù)量關(guān)系的一種思想方法。小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時，要滲透從有限中認識無限，以精確中認識近似，從量變中認識質(zhì)變的極限思想。一般來說，當(dāng)題目中需要構(gòu)造一種符合條件的范圍時，以及需要討論一種可能時，把最好〔最多、最大〕的與最不利〔最少、最小〕的情形考慮到的時候，可以考慮運用極限的思想方法。四、課題研究的意義、目標(biāo)及內(nèi)容〔一〕課題研究的意義和價值〔1〕根據(jù)《課標(biāo)》精神，目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)至少必須包含著兩大任務(wù)：一是獲取重要的數(shù)學(xué)知識和技能，二是掌握根本的數(shù)學(xué)思想方法。在階段性目標(biāo)中，與初中和高中都明確地提出來培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想的任務(wù)要求相比，小學(xué)并沒有明確提出對于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。但是作為一個完整的教學(xué)體系，小學(xué)數(shù)學(xué)不僅要為初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的知識根底，更重要的是為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)事實和數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗。即運用數(shù)學(xué)的思想方法從現(xiàn)實的背景出發(fā)，抽象出來的一系列經(jīng)驗。正是基于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有目的有方案地蘊伏和滲透數(shù)學(xué)思想，對于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的持續(xù)開展有著極其重要的意義?！?〕幫助小學(xué)數(shù)學(xué)教師深入學(xué)習(xí)、深刻領(lǐng)會和認識教材和課程的精神實質(zhì)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的水平。任何一冊或者一段教材的編寫，都是受到一定的數(shù)學(xué)思想的支配。教材的前后聯(lián)系是一個原那么，更深層次的研究那么涉及到概念與例題的本質(zhì)是什么，從怎樣的材料出發(fā)經(jīng)過怎樣的過程概括，最重要達成怎樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，組成怎樣的體系，讓學(xué)生形成怎樣的數(shù)學(xué)思想，教材不可能對于所有的這些問題都做完整的說明。但是，正是這些問題中的數(shù)學(xué)思想支配著整個教材的靈魂，使之成為整體而不是孤立的，毫無聯(lián)系的知識點。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的教材盡管內(nèi)容比擬簡單但是實際上卻包括了兩條主線：一是顯性知識，它們是教材上的明線；二是隱藏在顯性知識中的數(shù)學(xué)思想，這是一條暗線，前者是解決“教材教什么，學(xué)生學(xué)什么”的問題；而后者是解決“為什么這么寫和應(yīng)該如何教”的問題。前者是顯而易見的，而后者是需要開掘的。只有理解后者才能在教學(xué)中站在一定的高度上認識教材和理解課程內(nèi)容?！?〕轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式教育家葉圣陶說，教育就是要學(xué)生知道學(xué)習(xí)。蘇霍姆林斯基也認為，在人的心里深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己成為一個發(fā)現(xiàn)者和研究者，在兒童的精神世界中，這種需要更加強烈。美國心理學(xué)家加德納認為應(yīng)該倡導(dǎo)學(xué)生以主動參與、探索發(fā)現(xiàn)、交流合作的方式學(xué)習(xí)?；谝陨系目緺t，新課程改革將指導(dǎo)學(xué)生進行探究式學(xué)習(xí)作為改革的重點之一，提出了要努力改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。教學(xué)實踐可以證明，數(shù)學(xué)思想是知識、技能轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是數(shù)學(xué)認知中強有力的支持要素。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想就如同掌握了翻開數(shù)學(xué)知識大門的鑰匙，就能夠迅速地找到解決問題的目標(biāo)、方法和途徑，從此，大量的數(shù)學(xué)信息在學(xué)生的大腦中編織成一個有機的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生形成了對于數(shù)學(xué)的整體的認識，從而真正地讓學(xué)生變被動學(xué)習(xí)為主動參與、自主探索，在學(xué)習(xí)方式上徹底改變?！捕痴n題研究的目標(biāo)實踐性目標(biāo)〔1〕梳理出小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想分布表，學(xué)生思維的階段特征?！?〕探究小學(xué)階段數(shù)學(xué)思想的階段性特征，培養(yǎng)的側(cè)重點?！?〕探討總結(jié)課堂教學(xué)中根本數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)的途徑和方法，形成以培養(yǎng)學(xué)生根本數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的教學(xué)案例、論文集等研究成果。育人性目標(biāo)〔1〕在日常教學(xué)中，讓我們一線的數(shù)學(xué)教師更好地從整體上把握教材的數(shù)學(xué)思想的編排體系，注重引導(dǎo)、滲透可利用資源，讓學(xué)生感悟、領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，以逐步提高教師的教學(xué)業(yè)務(wù)水平?！?〕提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，自覺地、主動地在學(xué)習(xí)過程中運用所學(xué)知識，并創(chuàng)造性地運用發(fā)散思維、或逆向思維，提高解決問題的能力。〔三〕課題研究的具體內(nèi)容〔1〕研究小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的階段性特征，對小學(xué)階段存在的根本數(shù)學(xué)思想的進行系統(tǒng)梳理；然后再研究小學(xué)不同階段〔分年級〕主要運用了哪些數(shù)學(xué)思想，教材編排是如何表達的，該如何運用到實踐中去，在哪些方面運用何種思想，以及一種數(shù)學(xué)思想在不同階段要到達怎樣的程度等?！?〕大力開展培養(yǎng)學(xué)生根本數(shù)學(xué)思想課堂教學(xué)的嘗試，探索小學(xué)中實施根本數(shù)學(xué)思想教學(xué)的根本規(guī)律〔一般模式〕，對于數(shù)學(xué)教學(xué)中不同形式的學(xué)習(xí)活動和不同數(shù)學(xué)思想歸附的數(shù)學(xué)知識與技能的教學(xué)的結(jié)構(gòu)模式的構(gòu)建進行深入思考和探討。第二章數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維辯證關(guān)系一、什么是數(shù)學(xué)思想所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；根本數(shù)學(xué)思想那么是表達或應(yīng)該表達于根底數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的根本特征，并且是歷史地開展著的?！皵?shù)學(xué)思想”比一般的“數(shù)學(xué)概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。“數(shù)學(xué)思想”是與其相應(yīng)的“數(shù)學(xué)方法”的精神實質(zhì)與理論根底，“數(shù)學(xué)方法”那么是實施有關(guān)的“數(shù)學(xué)思想”的技術(shù)與操作程式中。中學(xué)數(shù)學(xué)用到的各種數(shù)學(xué)方法，都表達著一定的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想屬于科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就是數(shù)學(xué)思想。有的數(shù)學(xué)思想〔例如“一分為二”的思想和“轉(zhuǎn)化”思想〕和邏輯思想〔例如完全歸納的思想〕由于其在數(shù)學(xué)中的運用而被“數(shù)學(xué)化”了，也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。根本數(shù)學(xué)思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想，函數(shù)與方程的思想，整體思想，極限思想，抽樣統(tǒng)計思想等。當(dāng)我們按照空間形式和數(shù)量關(guān)系將研究對象進行分類時，把分類思想也看作根本數(shù)學(xué)思想。根本數(shù)學(xué)思想有兩大基石——符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大支柱——對應(yīng)思想和公理化結(jié)構(gòu)思想。根本數(shù)學(xué)思想及其衍生的其他數(shù)學(xué)思想，形成了一個結(jié)構(gòu)性很強的網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)中滲透著根本數(shù)學(xué)思想，它們是根底知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中去，那么我們的得到的是很多的。二、什么是數(shù)學(xué)思維所謂的數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認識數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性活動。具體來說，數(shù)學(xué)思維就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對象，以數(shù)學(xué)語言和符號為思維的載體，并以認識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的一種思維。數(shù)學(xué)思維既附屬于一般的人類思維，具有一般思維的特征，同時由于數(shù)學(xué)及其研究方法的特點，數(shù)學(xué)思維又具有不同于一般思維的自身特點，表現(xiàn)在思維活動是按客觀存在的數(shù)學(xué)規(guī)律進行的，具有數(shù)學(xué)的特點與操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學(xué)語言的簡約性和數(shù)學(xué)形式的符號化、抽象化、結(jié)構(gòu)化傾向決定了數(shù)學(xué)思維具有不同于其他思維的獨特風(fēng)格。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點。三、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思維辨證關(guān)系數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。數(shù)學(xué)思維，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)的行為。運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累到達一定程序時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。假設(shè)把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)思維相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。第三章對小學(xué)生思維特征與數(shù)學(xué)教學(xué)的思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化，以及空間模型等概念的抽象學(xué)科，是研究數(shù)和形的變化及其運動規(guī)律的科學(xué)。由于生活和勞動的需要，古代人們就知道了簡單的計數(shù)，并由此而逐漸地演進為抽象的數(shù)學(xué)。建立在生活根底上的小學(xué)數(shù)學(xué)，也是由具體而逐漸到達抽象的過程。小學(xué)生，特別是低年級小學(xué)生，由于其生理、心理上仍處于不成熟時期，對于相對抽象的數(shù)學(xué)問題，僅僅用形象的思維方式并不能完全解決抽象特別是稍微復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)問題，并且，由于其他學(xué)科，特別是語言的理解障礙，使得他們在理解數(shù)學(xué)問題時更難以恰當(dāng)?shù)轿?。有時他們只依靠某些簡單的關(guān)鍵詞匯理解或解決問題，但這并不能幫助他們完全理解抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師恰當(dāng)?shù)剡\用某些方法和工具如學(xué)具、教具及適當(dāng)?shù)恼Z言鼓勵等都能比擬好地引導(dǎo)小學(xué)生從形象思維逐步轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笏季S。一、小學(xué)生的生理特點與思維方式小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法最重要就是要遵守并適應(yīng)小學(xué)生的生理、心理開展規(guī)律。6歲至9歲的兒童生長發(fā)育逐漸平緩，體格維持穩(wěn)步增長，智力發(fā)育迅速，從低年級到高年級，小學(xué)生的生理和心理在不斷地變化開展中，低年級學(xué)生的腦功能發(fā)育處于快速開展中，腦神經(jīng)活動的興奮性水平高，但是集中注意力不能持久，一般只有20—30分鐘。他們的形象思維優(yōu)于邏輯思維，很難理解抽象的概念。伴隨著年齡的增長，腦神經(jīng)進一步開展，他們的心理活動日益成熟穩(wěn)定，注意力、語言能力、邏輯思維等不斷增強，智力進一步飛躍開展，邏輯思維、創(chuàng)造思維不斷開展。由于上述生理特點的限制，小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，特別是一些抽象內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)盡可能地簡短且重點突出，不可節(jié)外生枝，以節(jié)省講授時間，以及防止學(xué)生注意力分散而影響學(xué)生聽課效果。必要時，我們應(yīng)輔以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)工具或?qū)W具。上述方法大體上與小學(xué)生的生理特點相適應(yīng)，符合客觀事物的開展運動規(guī)律，完全有利于小學(xué)生在課堂上理解數(shù)學(xué)的根本要點和概念。課堂作業(yè)或家庭作業(yè)，也應(yīng)當(dāng)考慮到這些問題，一般來說，作業(yè)的數(shù)量與難度均需要考慮小學(xué)生的生長發(fā)育特點，盡可能地精選一些與根本概念相當(dāng)?shù)念}目，數(shù)量適當(dāng)減少而質(zhì)量相對較高。二、學(xué)具與教具在教學(xué)中的應(yīng)用意義學(xué)具與教具的根本要義是學(xué)生自我操作或老師演示操作，通過形象地擺、拼、剪、制作、測量、畫圖等形象地表達，直觀地將抽象的概念形象化，符合“感知——表象——概念”的兒童認識規(guī)律。合理地應(yīng)用學(xué)具與教具那么與此規(guī)律完全相吻合，這樣可以使小學(xué)生直觀形象地感知數(shù)學(xué)的根本概念，并在大腦中逐漸形成具體而形象的概念并向抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換，從事物的表象中抽象出事物的本質(zhì)特征，促進學(xué)生從形象思維向邏輯思維的方向協(xié)調(diào)開展。因此，一方面，學(xué)具與教具的應(yīng)用，能加速數(shù)學(xué)抽象概念的形成，通過數(shù)學(xué)思想方法的滲透，理解數(shù)學(xué)算理。另一方面，學(xué)具恰好符合小學(xué)生好動愛玩的天性，能極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并能培養(yǎng)學(xué)生的操作能力。由于動手操作能力的提高，小學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與創(chuàng)新欲望及其解決實際問題的能力等都能得到比擬全面的開展，符合素質(zhì)教育的精神。三、數(shù)學(xué)教學(xué)中的情商因素情商是學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、意志品質(zhì)、心情、興趣與習(xí)慣等非智力因素。我們要充分地利用并調(diào)動小學(xué)生的情商因素，全方位地提高課堂教學(xué)效果與學(xué)生業(yè)余學(xué)習(xí)效率。情商因素的開掘主要與以下因素相關(guān)。課堂內(nèi)外建立良好的師生關(guān)系，學(xué)生喜歡某一學(xué)科在很大程度上與他喜歡哪位老師有關(guān)，正所謂親其師而信其道。幽默幽默的課堂語言能創(chuàng)造出輕松、和諧的課堂氣氛，有利于調(diào)動、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，積極引導(dǎo)學(xué)生參與課堂互動。教師要關(guān)心每個孩子的成長，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，正視學(xué)生出現(xiàn)的錯誤。教師的每一句贊語、每一次表揚，對學(xué)生都是一種鼓勵。即使是學(xué)困生也要創(chuàng)造條件，使他們有時機體面地表現(xiàn)自己，進而在表揚、努力、成功、自信和再努力這一過程中形成學(xué)習(xí)上的良性循環(huán)。四、數(shù)學(xué)作業(yè)的批改方法與意義批改作業(yè)是小學(xué)數(shù)學(xué)教師的一項常規(guī)工作，充分地利用批改作業(yè)的過程，運用恰當(dāng)?shù)脑u語對學(xué)生學(xué)習(xí)進行恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)指導(dǎo)，充分肯定學(xué)生的學(xué)習(xí)成績或鼓勵學(xué)生積極向上的精神。同時，教師通過批改作業(yè)，也可以比擬完整地自我檢查教學(xué)效果，進一步調(diào)整教學(xué)方案。數(shù)學(xué)作業(yè)的批改不一定完全應(yīng)用“√”“×”評判正誤，小學(xué)生面對“×”特別是“？”時，或多或少會在心理上產(chǎn)生抑制心理，同時也缺乏鼓勵性，評價結(jié)果也不夠全面。教師適當(dāng)?shù)厥褂霉膭钚曰虮頁P性評語可充分地滿足小學(xué)生的好勝心理，調(diào)動小學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。帶感情色彩的評語表達了教師對學(xué)生的關(guān)愛，拉近了教師與學(xué)生的距離，讓小學(xué)生充分感受到教師對他們的關(guān)愛，使他們對練習(xí)更感興趣。一定程度上，評語能拓寬學(xué)生思路，促使學(xué)生養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)與練習(xí)的習(xí)慣，開拓學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，有利于改變學(xué)生的思維方式，促進其發(fā)散思維，逐漸形成創(chuàng)新意識。良好的作業(yè)評語溝通了師生間情感的交融，接近了師生關(guān)系，調(diào)動了小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促使小學(xué)生在心情愉快中成長，符合素質(zhì)教育的要求。五、數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)簡單地說，數(shù)學(xué)的思維是由具體或形象思維過程逐漸形成抽象思維的過程，隨著小學(xué)生年齡的增長、大腦的發(fā)育，其思維能力也日漸提高。因此，密切地聯(lián)系生活實際中的小學(xué)生能經(jīng)常接觸到的具體數(shù)學(xué)事例，對培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，使其在生活的形象具體的真實事件中，逐漸理解抽象數(shù)學(xué)，形成良好的數(shù)學(xué)思維或抽象思維能力。教師要鼓勵小學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識運用于實際生活，引導(dǎo)小學(xué)生帶著問題走向生活，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)意識及運用數(shù)學(xué)解決生活實際問題。相對于小學(xué)生來說，應(yīng)用題解答是比擬復(fù)雜的綜合思維過程。小學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)重點是，不但要引導(dǎo)學(xué)生正確地解答問題，而且要拓展與培養(yǎng)小學(xué)生的思維維度，盡可能地做到一題多解，其目的是讓他們知道，解決問題有多種多樣的方法。在這種寬泛思維指導(dǎo)下，教師通過科學(xué)嚴格的思維引導(dǎo)與訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力及其靈活性；通過多種解題途徑的分析，能讓他們找出其中最為簡捷有效的方法。小學(xué)生生理特點及其思維能力的培養(yǎng)具有極其密切的關(guān)聯(lián)性，牢牢地把握小學(xué)生生理特點和思維模式與數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，真正地完整地理解素質(zhì)教育的精髓，在完整的數(shù)學(xué)教育過程中，教師不必完全拘泥于現(xiàn)在的教學(xué)模式，更不必將自己的思維僅僅局限于教科書。教師應(yīng)靈活多樣地把握教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，將小學(xué)生置于自己的思維中心，將備課、課堂講授與互動、作業(yè)批改、巧妙應(yīng)用評語及其考試等諸多方面以保護小學(xué)生為出發(fā)點，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使其能應(yīng)用現(xiàn)已掌握的知識去學(xué)習(xí)更多的其他數(shù)學(xué)知識或進一步自我完善已有的知識，甚至是數(shù)學(xué)以外的其它知識。第四章滲透數(shù)學(xué)思想提升思維能力的方法策略一、數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，不能只傳授知識、技能，而應(yīng)以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法為核心，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)思維思考問題，用數(shù)學(xué)方法解決問題。在小學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)思想主要有集合思想、極限思想、轉(zhuǎn)化思想、符號化思想、假設(shè)思想等?！惨弧臣纤枷?/p>

集合是近代數(shù)學(xué)中的一個重要概念，集合思想已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論根底。我們把具有某種屬性的一些對象的全體看成一個集合。運用集合的知識去解決有關(guān)的問題,這樣的思維觀點被稱為集合的觀點。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中，主要是通過畫集合圖的方法來滲透的。1、集合思想在教學(xué)中的妙用集合之間的交集、并集、補集等運算在教學(xué)中有著妙用。實際上，在解題中借助數(shù)軸來完成無限數(shù)集之間的運算，借助平面直角坐標(biāo)系中解決數(shù)對組成的集合之間的運算，是我們經(jīng)常采用的“數(shù)形結(jié)含”的思想方法。但對一些有限數(shù)集之間的運算，卻住往無視了“韋恩圖”所起到的輔助作用，從而使問題的解答變得抽象而復(fù)雜。在問題分析中，假設(shè)能恰當(dāng)運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有效地借助圖進行比擬、分析、判斷，那么可化繁為簡，化抽象為直觀，使問題的求解一目了然，也能加深對集合間各運算關(guān)系的認識和理解。例如：分母是385的最簡真分數(shù)共有多少個？[分析與解]先將分母385分解質(zhì)因數(shù)得385=5x7x11，只要分子是5,7或11的倍數(shù)的就定不是最簡真分數(shù)。根據(jù)以上計算的數(shù)據(jù)，可以用三個和互交叉的集合圈來分別表小5的倍數(shù)，7的倍數(shù)，11的倍數(shù)，交叉局部為兩個數(shù)或二個數(shù)公有的倍數(shù)的個數(shù)。〔見圖1〕圖1上圖顯示的各局部數(shù)據(jù)就是5，7，11的倍數(shù)的個數(shù)統(tǒng)計，共有:60+40+24+10+6+4=144(個)所以分母為385的最簡真分數(shù)有384-144=240(個)2、滲透集合思想開闊解題思路一些小學(xué)數(shù)學(xué)競賽題和思考題，數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽且復(fù)雜，假設(shè)以集合思想輔以圖形分析題意，那么可以使數(shù)量關(guān)系明朗化，進而找出解題方法。例如：某小學(xué)舉辦學(xué)生畫展，展出的畫中有16幅不是六年級的，有15幅不是五年級的，現(xiàn)知道五、六年級共展出25幅畫，那么其他年級展出的畫有多少幅?分析：假設(shè)六年級展出的畫數(shù)為a，五年級展出的畫數(shù)為b，其他年級展出的畫數(shù)為c、根據(jù)題意可得以下圖：〔見圖2〕圖2顯然，其他年級展出的畫數(shù)為：(15+16-25)÷2=3(幅)例如：某班有學(xué)生45人，參加演講比賽的有16人，參加書法比賽的有14人，如果這兩種比賽都沒有參加的有20人，那么同時參加演講、書法這兩種比賽的有多少人?分析：由題意畫圖如下：〔見圖3〕圖3由圖可知，參加比賽的人數(shù)為：45-20=25(人)而參加演講比賽的人數(shù)+參加書法比賽的人數(shù)=16+14=30(人)，30人比25人多，這是因為有局部人既參加了演講比賽，又參加了書法比賽，這局部人重復(fù)計數(shù)了故同時參加演講、書法兩種比賽的人數(shù)(圖中陰影局部)為：30-25=5(人)例如：有一學(xué)校由50名同學(xué)參加的球類運動隊中，喜歡打籃球的有38人，喜歡打排球的有41人，喜歡踢足球的有27人。既喜歡打籃球又喜歡打排球的有32人，既喜歡打排球又喜歡踢足球的有21人，既喜歡踢足球又喜歡打籃球的有20人。問同時喜歡這二類球的有多少人?圖4分析：如上圖〔見圖4〕所示，設(shè)同時喜歡二類球的有X人(陰影局部)，那么只喜歡打籃球的有：(38-32-20+x)人，只喜歡打排球的有：(41-32-21+x)人，只喜歡踢足球的有：(27-21-20+x)人，根據(jù)題意，得：(38-32-20+x)+(41-32-21+x)+(27-21-20+x)+32+20+21-2x=50解之:x=17故同時喜歡這二類球的有17人。由此可見，集合思想已經(jīng)滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)競賽活動中。因此在教學(xué)中須加強對集合思想的啟發(fā)，才能提高學(xué)生的素質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合思想，都是依附于教學(xué)知識而出現(xiàn)的，教材中沒有對任何一個集合下過定義，或出現(xiàn)過任何一個集合符號。正因如此，教學(xué)時教師就不必向?qū)W生一一介紹這些抽象的名詞術(shù)語，主要是使學(xué)生獲得一些對集合的感性認識，形成集合思想的某些初步觀念。〔二〕極限的思想極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，靈活的借助極限思想，可以使某些數(shù)學(xué)問題化難為易，防止一些復(fù)雜運算，探究出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何去挖掘并適時地加以滲透呢？根據(jù)自身的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐粗淺幾點見解。1、在數(shù)學(xué)公式推倒過程中滲透極限思想片斷一在教學(xué)“圓面積公式的推導(dǎo)”一課時，我是這樣設(shè)計的。師：〔課件出示一個圓〕要知道這個圓的面積，怎么辦？生1：可以把它轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。師：怎么轉(zhuǎn)化？生2：把圓平均分?！泊笃聊簧涎菔景褕A平均分成了2份，把兩個半圓使勁地拼，結(jié)果還是一個圓。〕師：轉(zhuǎn)化不成已經(jīng)學(xué)過的圖形，怎么回事？生2：平均分的份數(shù)不夠多。師：是這樣么？那我們平均分得多一些，請大家仔細觀察?！惭菔景岩粋€圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拼成正方形。從平均分成4個、6個、到16個?！硯煟耗銈儼l(fā)現(xiàn)什么？同桌相互交流一下。生3：16個拼起來，比擬象長方形。生4：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。師：你們同意他的看法嗎？〔學(xué)生表示同意〕那我們再來分一分這個圓?！舱n件演示把圓平均分成32個、64個……完全相同的小扇形?！硯煟捍蠹易屑毧匆豢?，想一想，如果一直這樣分下去，拼下去會怎么樣？生5：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。師：拼成的長方形與原來的圓有什么關(guān)系呢？……片斷二在教學(xué)圓柱體積公式的推導(dǎo)這內(nèi)容時，我做了這么一次嘗試。師：如何知道一個圓柱體的體積？生1：以前學(xué)過的柱體都是用“底面積乘高”來求的，這次也應(yīng)該是吧？師：那你們就先借助于手中的學(xué)具操作一下，看能不能有什么發(fā)現(xiàn)？〔學(xué)生動手操作，小組交流。〕生2：我發(fā)現(xiàn)圓柱體可以通過切割拼成一個近似的長方體……因此，圓柱體的體積=底面積乘高?！仓链?，應(yīng)該說學(xué)生已經(jīng)根本掌握了圓柱體體積的計算公式，進入應(yīng)用階段沒多大問題，但蘊含在其中的思維方法并沒有滲透給學(xué)生，于是我繼續(xù)追問。〕師：怎樣切割，圓柱體就真地變成一個長方體了？生3：將圓柱的底面平均分成無數(shù)多份，它的底面就轉(zhuǎn)化為一個長方形，整個圓柱也就變成了一個長方體。〔教師進行課件演示〕師：還有不同的思想方法嗎？生：將圓柱沿高的方向切分成無窮多個細長的長方體。每個長方體的體積都是“底面積乘高”，根據(jù)乘法分配律，這無窮多個小長方體的體積之和正好是“他們的底面積之和乘以高”，也即圓柱體的“底面積乘高”?！陨蟽蓚€計算公式的推導(dǎo)過程，均采用“化圓為方”、“變曲為直”極限分割思路。在“觀察有限分割”的根底上，“想象無限細分”，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的終極狀態(tài)。這樣不僅使學(xué)生掌握了圓的面積和圓柱體的體積的計算公式，而且非常自然地在“曲”與“直”的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。2、在教學(xué)新的知識點時滲透極限思想在教學(xué)行程問題時，我給學(xué)生講了這樣一個故事：兔子和烏龜賽跑，起初烏龜在兔子前100米，兔子每分走10米，烏龜每分走一米，兔子永遠追不上烏龜。學(xué)生感到很驚訝，接下來我就說明了兔子追不上烏龜?shù)睦碛桑寒?dāng)兔子走完100米的時候，烏龜已經(jīng)向前走了10米，當(dāng)兔子繼續(xù)向前走1米的時候，烏龜又向前走了0.1米，當(dāng)兔子再向前走0.1米的時候，烏龜又向前走了0.01米，……所以兔子永遠追不上烏龜。這個教學(xué)片斷中，學(xué)生顯然不接受“兔子永遠追不上烏龜”這個觀點，其實兔子追上烏龜?shù)臅r間是10+1+0.1+0.01+0.001+……=11EQ\F(1,9)〔分〕，但這樣的教學(xué)卻可以使學(xué)生在頭腦中初步萌生出“無限”的概念。我以為，如此教學(xué)不但初步滲透了極限的方法，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3、在數(shù)學(xué)練習(xí)中挖掘極限思想片斷一商不變性質(zhì)的教學(xué)后我讓學(xué)生練習(xí)：〔32÷□〕÷(8÷□)=4.師：這題怎么填？生1：填4。師：有不同的答案么？生2：1。生3：可填1——9各數(shù)。生4：可填任意數(shù)，只要相同就可以了。師：你們明白他的意思么？生：0除外。……片斷二在學(xué)習(xí)分數(shù)根本性質(zhì)后的練習(xí)題中，我又要求學(xué)生在1分鐘內(nèi)寫出與EQ\F(2,5)相等的分數(shù)。師：你寫了幾個？生1：我寫了2個。生2：我寫了8個。生3：我寫了28個。如果有時間讓你們繼續(xù)寫，還能寫么？……片段三在學(xué)生完成“一個蘋果，今天吃它的，明天吃它的的，還剩這個蘋果的幾分之幾？”之后，我又出了這樣一道思考題：一個蘋果，今天吃它的，明天吃它的的，后天吃它的的的，……如果這樣下去，這個蘋果吃得完嗎？通過同學(xué)們的討論得出這樣的結(jié)論：理論上這個蘋果是吃不完的，盡管蘋果越來越小，但還是有的〔只要你有耐心，米粒大的物質(zhì)是有的〕。我們只能說，這個蘋果的極限為零，但是絕對不為零。如果單從解題的角度看，以上三道題，學(xué)生很容易找到答案，而且不會費時太多，但學(xué)生們還沒有得到此題的精髓，也就是表達了怎樣的數(shù)學(xué)思想，教師還應(yīng)該給學(xué)生挖出來。片斷一中的“有不同的答案嗎？”片斷二中的“如果有時間讓你們繼續(xù)寫，還能寫嗎？”，片斷三中的后續(xù)試題，都使極限理論中的無窮的概念在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生了朦朧的印象。這為他們將來的學(xué)習(xí)作了鋪墊。當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠挖掘滲透極限思想的地方還有很多，譬如：在教學(xué)平面圖形的面積時?？梢韵冉烫菪蔚拿娣e計算公式，再讓上底趨于0，利用極限思想得到三角形的面積計算公式。教學(xué)圓面積計算公式之后，我們?nèi)钥梢岳^續(xù)對學(xué)生滲透極限的思想。把圓平均分成n等份，n越大每一份就越小，要求圓的面積只要先求一個小扇形的面積。當(dāng)n無窮大時，這個小扇形可以看作一個三角形。因為三角形的高等于圓的半徑，底等于圓周長除以n，所以三角形的面積S=×〔2πr÷n〕×r=πr2÷n。從而同樣能推到出圓的面積S=πr2?！踩侈D(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中分析問題和解決問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想。任何一種新的數(shù)學(xué)知識，總是原有知識開展和轉(zhuǎn)化的結(jié)果。轉(zhuǎn)化就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將一個問題轉(zhuǎn)化成另一個問題來解決。一般是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解問題轉(zhuǎn)化為易解問題，將未解問題轉(zhuǎn)化為已解問題，將不標(biāo)準的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準的問題。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)逐步教給學(xué)生一些轉(zhuǎn)化思想,使他們能用轉(zhuǎn)化的觀點去學(xué)習(xí)新知識，分析新問題。1、運用類比聯(lián)想，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化類比方法是通過對兩個研究對象的比擬，根據(jù)它們某些方面的相同或類似之處，推出它們在其他方面也可能相同或類似的一種推理方法。因此，在學(xué)習(xí)新知識時，適時運用類比方法進行轉(zhuǎn)化，可使生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，有利于學(xué)生更好地接受新知識,穩(wěn)固舊知識。例如：在教學(xué)“梯形面積公式”時，可讓學(xué)生先復(fù)習(xí)三角形面積公式的推導(dǎo)過程，將三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的平面圖形。再引導(dǎo)學(xué)生展開類比聯(lián)想，嘗試用同樣的方法推導(dǎo)出梯形的面積公式。再如:在教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”時，將例題中的1.2×0.8采用比照的方法，引導(dǎo)學(xué)生分別觀察因數(shù)和積中小數(shù)的位數(shù)，找出它們之間的聯(lián)系，然后利用這一關(guān)系，準確找到積中小數(shù)點的位置?？梢娺\用類比方法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效途徑。2、運用數(shù)形結(jié)合思想，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合思想是充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來。即通過做一些線段圖、數(shù)形圖、長方形面積圖、集合體等來幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題內(nèi)容具體化、形象化，從而把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的一種數(shù)學(xué)思想方法?？梢姡ㄟ^圖形來進行轉(zhuǎn)化,能使數(shù)學(xué)問題簡單化，數(shù)形結(jié)合是實現(xiàn)解題思路轉(zhuǎn)化的重要方式。3、運用替換思想，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化替換思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思維方法，替換的實質(zhì)是改變題目的形式，但卻不改變題目的本質(zhì)。當(dāng)我們遇到題意比擬難懂的習(xí)題時，可以把題中的某些條件或問題替換成與其內(nèi)容等價的另一種形式，從而實現(xiàn)解題思路的順利轉(zhuǎn)化，以到達解題的目的。例如：在解決下面這道習(xí)題時,我努力引導(dǎo)學(xué)生進行條件替換：五年級六班學(xué)生舉行一次野炊活動，分組時，5人一組正好分完，但每組人數(shù)偏少；7人一組少2人，8人一組又多出5人。問參加野炊的學(xué)生共有多少人？題中一會兒正好分完,一會兒人數(shù)不夠，一會兒又多出幾人，看起來很麻煩。我們把題中“5人一組”替換成“5人一組多5人”，“7人一組少2人”替換成“7人一組多5人”。條件一替換，問題也就解決了。不難看出學(xué)生總數(shù)就是“比5、7和8的最小公倍數(shù)還多5人”?？梢姡?dāng)有一些問題不能直接解決時，我們可以用替換的策略進行解題思路的轉(zhuǎn)化。4、運用假設(shè)法，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生對思考性較強的問題常常感到難以解決。因此,教師在教學(xué)過程中要注意教給學(xué)生解決問題的方法，以提高他們的思維能力。而假設(shè)方法往往在解決問題的過程中起關(guān)鍵性的作用。假設(shè)法就是把抽象性的問題轉(zhuǎn)化為比擬具體的問題，使其中的數(shù)量關(guān)系更加明確,更易于把握解題的路徑。例如，在解決“一個數(shù)減少50%后又增加50%，結(jié)果是原數(shù)的百分之幾？”這道習(xí)題時，學(xué)生一開始顯得束手無策，假設(shè)引導(dǎo)學(xué)生運用假設(shè)法進行轉(zhuǎn)化，問題就迎刃而解了。這里可將這個問題具體化，如設(shè)一個數(shù)是100，100×(1-50%)×(1+50%)=75。結(jié)果是原數(shù)的75%?？梢?，假設(shè)法是一種常用的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略。在解題過程中引導(dǎo)學(xué)生合理、靈活地運用它，可使復(fù)雜問題簡單化、具體化。〔四〕符號化思想

英國著名數(shù)學(xué)家羅素：什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。符號化思想就是用符號化的語言〔包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號〕來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容的思想。符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透是根據(jù)不同的教學(xué)階段的具體情況進行的。滲透主要從以下幾個方面作了有方案、有步驟的安排。1、引入常用數(shù)學(xué)符號。具體在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，引入的常用數(shù)學(xué)符號大體上可以分為以下幾類：〔1〕元素符號。所謂“元素符號”是指表示數(shù)或幾何圖形的符號。常見的有：①阿拉伯?dāng)?shù)字：1、2、3、4、……②表示數(shù)的字母：一般用字母表前面的字母表示數(shù)，如a、b、c、……用后面的字母表示未知數(shù)，如x、y、……③表示常數(shù)的字母。如π。④表示幾何形體的。如線段用AB，表示角用∠，表示三角形用△，等等?！?〕運算符號：+，－，×，÷?！?〕關(guān)系符號：=,≠，≈，>，<，∥，⊥等?！?〕結(jié)合符號：()、〔〕、｛｝等?！脖硎灸承?shù)先結(jié)合而后運算〕。〔5〕性質(zhì)符號：“+”正號，“—”負號等?！?〕計量單位符號：㎝、㎡、㎏等。這些符號是根據(jù)小學(xué)生的年齡、思維特點，按照一定的順序、一定的邏輯,有方案、有步驟的引入的。2、變元思想。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，各個年級對變元思想都有滲透。例如：從一年級始，就設(shè)計了這種類型的習(xí)題：□+2=6，要學(xué)生在□內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得兩個數(shù)的和為6。進入中年級，就會出現(xiàn)這樣的習(xí)題：20-3×□=2，在等式中用□或()代表變元符號x，讓學(xué)生填數(shù)。雖然這樣的題目只要求學(xué)生在“□”中填一個數(shù)，但教師應(yīng)該明白，假設(shè)將符號□換成x，那么上述題目就是一元一次方程。這就是變元思想。變元思想是列方程解決問題的根底。3、用符號代表數(shù)的思想。引進用字母表示數(shù)，是用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的根底。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，是認識上的一個飛躍。例如：有兩堆同樣重的稻谷，第一堆運走3/4噸，第二堆運走3/4。兩堆稻谷剩下的同樣重嗎？為什么？

假設(shè)兩堆稻谷都為a噸，第一堆稻谷剩下的：〔a-3/4〕噸，第二堆稻谷剩下的：〔a-3/4a〕噸，

〔1〕當(dāng)a＞1時，3/4＜3/4a，a-3/4＞a-3/4a，第一堆稻谷剩下的重；

〔2〕當(dāng)a=1時，3/4=3/4a，a-3/4=a-3/4a，兩堆稻谷剩下的一樣重；

〔3〕當(dāng)a＜1時，3/4＞3/4a，a-3/4＜a-3/4a，第二堆稻谷剩下的重。4、列方程解應(yīng)用題的思想。用方程來解決問題，解法本身蘊含著符號化思想，它主要表達在如下幾個方面：1、代數(shù)假設(shè)，用字母代替未知數(shù)，與數(shù)平等地參與運算；2、代數(shù)翻譯，把題中的自然語言表述的條件，譯成用符號化語言表述的方程。3、解代數(shù)方程。把字母看成數(shù)，并進行四那么運算，進而到達求解的目的。例如，解決問題“電視機降價銷售，8折后每臺售價2000元，這種電視機原來每臺多少錢？”。解這道題時，首先就應(yīng)該進行代數(shù)假設(shè)，用字母x代替電視機原來的價錢，這就是用字母代替未知數(shù)，與數(shù)平等的參與運算；其次，是進行代數(shù)翻譯，把題中的自然語言表達的條件，譯成用符號化語言表述的方程x×80%=2000。最后，把字母看成數(shù)進行四那么運算，到達求解的目的。整個分析、解題過程，可以說是符號化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的集中表達，這對學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號化思想及其意義都有重要價值。運用符號化思想解決數(shù)學(xué)問題常用的方法是設(shè)數(shù)法和代數(shù)法例如：甲數(shù)比乙數(shù)多1/4，乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾？乙數(shù)：1甲數(shù)：1+1/4乙數(shù)比甲數(shù)少：1/4÷〔1+1/4〕例如：一輛汽車從甲地到乙地，去時每小時行40千米，返回時每小時行60千米，往返的平均速度是多少？

〔120×2〕÷〔120÷40+120÷60〕例如：有一筐蘋果，如果平均分給六〔1〕班的全體同學(xué)，每人可分得6個，如果只分給這個班的男同學(xué)，每人可分得10個。如果只分給這個班的女同學(xué)，每人可分得多少個？全班：A人蘋果：6A個男同學(xué)：6A/10人女同學(xué)：A－6A/10=4A/10人女同學(xué)每人分得：6A÷4A/10=15個綜觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，在符號化思想的滲透上，從最初的數(shù)學(xué)符號的引入，接著滲透變元思想，然后到用字母表示數(shù)，最后過渡到列方程解決問題的思想，逐級遞進、螺旋上升，把符號化思想，從朦朧狀態(tài)轉(zhuǎn)化到與小學(xué)數(shù)學(xué)的完美融合，筆者認為，編者思路清晰，教材呈現(xiàn)清楚?！参濉臣僭O(shè)思想

在分析數(shù)學(xué)問題時，假設(shè)假設(shè)某個條件成立，能使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，使受阻的思維暢通，這就是假設(shè)思想方法。用假設(shè)思想指導(dǎo)解答數(shù)學(xué)問題最常用的方法是假設(shè)法，假設(shè)法解答數(shù)學(xué)問題一般有四個步驟：

假設(shè)一種現(xiàn)象成立；得出一個結(jié)論；

結(jié)論與實際發(fā)生矛盾；分析原因得出答案。例題：雞兔共有50個頭，160只腳，雞兔各有多少只？假設(shè)一種現(xiàn)象成立；假設(shè)全是雞得出一個結(jié)論；腳有50X2=100只結(jié)論與實際發(fā)生矛盾；比實際少了160-100=60只腳分析原因得出答案。兔：60/〔4-2〕=30只。雞：50-30=20只例如：甲乙兩個糧倉共存放糧食110噸。如果運走甲倉庫的1/4和乙倉庫的1/5，就運走了25噸。甲、乙兩個倉庫原來各有糧食多少噸？假設(shè)一種現(xiàn)象成立；假設(shè)運走的全是乙倉庫的得出一個結(jié)論；運走110X1/5=22噸結(jié)論與實際發(fā)生矛盾；比實際少了25-22=3噸分析原因得出答案。甲：3/〔1/4-1/5〕=60噸。乙：110-60=50噸〔六〕建模思想數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性很強的根底科學(xué)，只有在實踐應(yīng)用中才能攝取數(shù)學(xué)知識的精髓。作為數(shù)學(xué)知識核心內(nèi)容的“數(shù)學(xué)模型”，它的作用自然處于所有數(shù)學(xué)應(yīng)用之心臟。簡言之，活用“數(shù)學(xué)模型”可以在很大程度上幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會所學(xué)知識，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，從而大大提高學(xué)生解決實際問題的能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)得以足夠的提升。1、用模型解釋。如果建模的過程是“歸納”的話，那么用模更多的是“演繹”。用模型去解釋，是對模型的提取、解讀和應(yīng)用。如建立分數(shù)模型后，通過它解釋其它分數(shù)的意義，從而實現(xiàn)模型的具體化過程。2、用模型解題。要學(xué)會把復(fù)雜問題納入已有模式之中，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問題的思考工具。例如：A、B兩地相距220千米，甲從A、乙從B同時相向而行，甲每小時行40千米，乙每小時行50千米。途中乙修車停了1小時。兩車從出發(fā)到相遇用了幾小時？可以引導(dǎo)學(xué)生進行分析：從前解決的問題中兩個物體自始至終都在運動，而這個問題中發(fā)生了變化，可以把它變成以前的模型，如讓乙車再行1小時，兩車行的時間就一樣多，或甲先單獨走1小時后剩下的路程兩車同時行駛等，使之成為較為熟悉、較為簡單的模式。利用原認知模型解題，必須基于對教材各知識要素的全面把握，進而幫助學(xué)生建構(gòu)起認知模型，使學(xué)生能夠以原認知模型的不變應(yīng)數(shù)學(xué)問題形式中的萬變。3、用“舊模型”構(gòu)建“新模型”。數(shù)學(xué)的概念、法那么、關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型，并且總是建立其他數(shù)學(xué)模型的材料，模型的應(yīng)用還應(yīng)表達在對新知的建構(gòu)上。如“一個數(shù)乘一位數(shù)”法那么是一個模型，在教學(xué)“一個數(shù)乘兩位數(shù)”時可以放手讓學(xué)生自主探究，在其過程中，舊模型被調(diào)用，為構(gòu)建更高一級的法那么模型發(fā)揮重要作用。隨著知識不斷更新，學(xué)生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)不斷得到重組優(yōu)化，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統(tǒng)一，使得數(shù)學(xué)模型更具有了概括性的特征。4、通過評價，引導(dǎo)用模。一次六年級的數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研，我們編擬了這樣一道題：坦克模型玩具是用棱長1分米的正方體盒子包裝的，現(xiàn)在需要把24盒裝成一箱，為了使包裝箱的外表積盡可能小，玩具廠征集包裝箱設(shè)計方案。小明設(shè)計了3種方案〔見下表〕。〔1〕請你設(shè)計3種與小明不同的方案〔長、寬、高分別是1、1、24；1、24、1；24、1、1屬同一種方案〕，將有關(guān)數(shù)據(jù)填在表格中?！?〕觀察表中長、寬、高數(shù)據(jù)的變化，想一想：當(dāng)長方體體積不變時，在什么情況下它的外表積最?。堪涯愕陌l(fā)現(xiàn)寫下來：___________________________________?！?〕根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，如果要將36盒玩具裝成一箱，當(dāng)長是〔〕分米、寬是〔〕分米、高是〔〕分米時，箱子的外表積最小。這題的設(shè)計把整個建模線索以數(shù)學(xué)材料的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生在材料的引領(lǐng)下解決某些環(huán)節(jié)，構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，并運用模型求解。這樣設(shè)計考慮到學(xué)生的建模意識和建模能力還處在啟蒙培養(yǎng)階段，防止“越位”和增加學(xué)生負擔(dān)，采取了將其分解，分步解決的方法，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，表達以學(xué)生為主體的原那么，又培養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，通過“數(shù)學(xué)建模”解決實際問題。數(shù)學(xué)從“關(guān)于數(shù)的科學(xué)”、“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”到“關(guān)于模式的科學(xué)”，經(jīng)歷了不斷的開展過程，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要順應(yīng)開展的要求，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和能力?！财摺硵?shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是一個重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法。是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來分析，能化難為易，使某些知識的構(gòu)建更加直觀簡捷。這一思想方法一直貫穿小學(xué)教材的每一冊，在小學(xué)五六年級的解決問題中，有些題的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，用一般的思維方法難以發(fā)現(xiàn)解題方法，那么可以把題中的條件和問題用直觀的線段圖表示出來，以便很快發(fā)現(xiàn)解題思路,使問題迅速得到解決。數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想?！皵?shù)形結(jié)合”可以借助簡單的圖形、符號和文字所作的示意圖，促進學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)開展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原那么，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復(fù)雜的形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系表示。在解應(yīng)用題中常常借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。例如：在小學(xué)一年級中，剛開始學(xué)習(xí)數(shù)的認識時，都是以實物進行引入，再從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實際含義。例如學(xué)習(xí)“6的認知”時，先出示主題圖，問學(xué)生圖中有些什么？學(xué)生從中數(shù)出6朵小花，6只小鳥，6個氣球。從而感知6的某些具體意義。再從實物中慢慢抽象成某一特定物體，利用學(xué)生的學(xué)具小棒擺出由6根小棒組成的任何圖形，從而讓學(xué)生在動手的過程中，不僅表現(xiàn)出自己的獨特創(chuàng)意，而且更深一層地理解6的實際意義；第三層次時利用黑板進行畫6個圈，6個正方形，6個三角形等特定圖形來代表6，從而慢慢抽象至數(shù)字6.這些從實物至圖形，在抽象到數(shù)字，整個過程應(yīng)該符合一年級小學(xué)生的特點，也是數(shù)形結(jié)合思想的一種滲透。又如：水果店有一批水果，運出總數(shù)的5/8后，又運進700千克，現(xiàn)在水果店里的水果正好是原來的2/3。原來水果店的水果是多少千克？圖5作圖求解借助線段圖〔如圖5〕，可以很清楚地看出700千克與5/8和2/3的相互重疊處相對應(yīng)，由此可以得到以下幾種解法：解法1：從左往右看，700千克是2/3與1-5/8的差，解法為：700÷[2/3-〔1-5/8〕]。解法2：從右往左看，700千克是5/8與1-2/3的差，解法為：700÷[5/8-〔1-2/3〕]。解法3：從兩端往中間看，700千克是夾在1-5/8與1-2/3中間的一段，解法為：700÷[1-〔1-5/8〕-〔1-2/3〕]。解法4：從整體上看，700千克是2/3局部與運出5/8局部的重疊局部，解法為：700÷〔2/3+5/8-1〕很容易得到所求的結(jié)果，數(shù)形的結(jié)合使算法相當(dāng)明了，從而獲得正確的結(jié)果。〔八〕分類思想分類是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時使用的重要方法，也是兒童開展思維能力、概括能力的重要途徑。分類思想是一種根本的數(shù)學(xué)思想。它是根據(jù)一定的標(biāo)準，對事物進行有序劃分和組織的過程。分類活動包含一系列復(fù)雜的思維過程，因此，分類能力的開展，反映了兒童思維開展水平，特別是概括能力的開展水平。1、初步建立分類思想，培養(yǎng)學(xué)生思維能力分類能力既是學(xué)生邏輯思維能力開展的重要方面，又對促進學(xué)生邏輯思維能力的開展具有重要意義。分類首先要對客觀事物進行分析、綜合，通過比擬、發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系與區(qū)別，并抽象概括出事物的一般特點與本質(zhì)屬性。北師大版教材一年級上冊“分類”知識的教學(xué)是孩子們后繼學(xué)習(xí)及應(yīng)用“分類”思想方法的根底，因此在教學(xué)中必須切實加強學(xué)生對“分類”思想方法的學(xué)習(xí)，并隨著在教學(xué)中的不斷應(yīng)用，使學(xué)生逐步掌握“分類”的思想方法，從而能自覺地利用“分類”的思想方法去分析思考解決問題。教材按由易到難的順序，分別安排了單一標(biāo)準的分類和不同標(biāo)準的分類兩局部內(nèi)容。由于單一標(biāo)準的分類方法是不同標(biāo)準分類的根底，所以教材在編排上的側(cè)重點也有所不同。教師可充分利用校內(nèi)課程資源，從學(xué)生生活實際出發(fā)，擴大取材范圍，增加學(xué)生熟悉的玩具、書、衣物等，為學(xué)生提供更廣泛的思考空間，讓學(xué)生按某個給定的標(biāo)準或選擇某個標(biāo)準對物體進行分類。在教學(xué)做一做“鉛筆分類”時，教師不要簡單地讓學(xué)生看圖說出圖意，而是要根據(jù)課本插圖的提示，讓學(xué)生拿出自己的所有鉛筆進行分類。因為鉛筆是小學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)用品，所以他們能從不同的角度進行觀察，作出分類。從實際教學(xué)情況來看，除了老師課前想到的這幾種分類標(biāo)準之外，學(xué)生還想到了按鉛筆的形狀(圓形、六角形)、鉛筆的型號(2B、B、H、2H)等，以及鉛筆的品種(木頭鉛筆、活動鉛筆、子彈鉛筆等1進行分類。在此根底上，讓學(xué)生進一步看課本說出插圖中三個小朋友是怎么分的，既利用了課本培養(yǎng)學(xué)生初步的看圖理解能力，又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心：“我們想到的方法比課本上的多”。讓學(xué)生動手操作，分一分自己的鉛筆，顯然比只看課本插圖的效果要好得多。教學(xué)中只要我們做到放手讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，自己解決問題，學(xué)生的聰明才智才能得到充分的發(fā)揮。不同標(biāo)準的分類活動中，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了分類的根本方法，重點讓學(xué)生學(xué)會選擇不同分類標(biāo)準的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性和靈活性。2、有機滲透分類思想，提高學(xué)生思維能力每個學(xué)生在日常生活中都具有一定的分類知識，如人群的分類、書籍的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識根底，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的時機，把握滲透的契機。分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法表達對數(shù)學(xué)對象的分類及其分類的標(biāo)準。如自然數(shù)的分類，假設(shè)按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；按因數(shù)的個數(shù)分素數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學(xué)對象的正確、合理的分類取決于分類標(biāo)準的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)。例如：用1、2、3三個數(shù)字卡片可以排成幾個三位數(shù)，讓學(xué)生做一做，排一排。有的學(xué)生很快排出來了，但有些學(xué)生卻排不完整。這時教師要指導(dǎo)學(xué)生分類討論，首先確定百位上的數(shù)字是1時，有哪幾個三位數(shù)？(123、132)，百位上的數(shù)字是2時，有哪幾個三位數(shù)？(213、231)，百位上的數(shù)字是3時，有哪幾個三位數(shù)？(312、321)可見以百位上的數(shù)字為準，進行分類，能有效糾正學(xué)生的無序性甚至盲目拼湊的毛病，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。3、靈活運用分類思想，拓展學(xué)生思維能力分類思想貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中。當(dāng)知識積累到一定的程度就需要運用分類、歸納的思想來幫助學(xué)生建構(gòu)自己的知識網(wǎng)絡(luò)。對分類思想方法的滲透要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，以及學(xué)習(xí)的各階段的認識水平和知識特點，循序漸進，反復(fù)訓(xùn)練，逐步上升，讓學(xué)生在不斷豐富自身內(nèi)涵中領(lǐng)悟。小學(xué)數(shù)學(xué)中，一些概念就是通過分類定義的，有的運算法那么、運算性質(zhì)和計算公式也是用分類的方法給出的，一些圖形的識別和相互位置的變化規(guī)律也要通過分類加以研究。在解答小學(xué)數(shù)學(xué)問題時，也要用分類的思想方法對一些比擬復(fù)雜的問題進行分析，分成假設(shè)干類加以考察，從而使問題得到解決?！簿拧辰y(tǒng)計思想《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步開展所必需的重要數(shù)學(xué)知識〔包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗〕以及根本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)知識和應(yīng)用技能是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要組成局部，但是根本的數(shù)學(xué)思想方法也是必不可少的，而統(tǒng)計本身就是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。1、使學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程。要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統(tǒng)計活動的全過程中去：從提出問題到收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，再到分析數(shù)據(jù)，做出決策，進行交流、評價與改良。一堂統(tǒng)計課的教學(xué)要注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的全過程，假設(shè)一節(jié)統(tǒng)計課上下來，只是教學(xué)生填寫統(tǒng)計表，計算數(shù)據(jù)，而不感受統(tǒng)計表的作用，學(xué)生會對統(tǒng)計感興趣嗎？會產(chǎn)生統(tǒng)計觀念嗎？在仇學(xué)斌老師《折線統(tǒng)計圖》的課上，我們看到老師讓學(xué)生讀5月21日某地白天室外氣溫情況的記錄。學(xué)生對一開始繁瑣的文字記錄進行了一次次優(yōu)化，想到統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖，再到折線統(tǒng)計圖。此教學(xué)的設(shè)計為學(xué)生提供了有效的教學(xué)情景，讓學(xué)生自主產(chǎn)生統(tǒng)計的需要，接著，不要求學(xué)生直接想到用折線統(tǒng)計圖來反映，而是讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程，不僅回憶了舊知，而且有機得將所學(xué)知識串聯(lián)起來，讓學(xué)生對統(tǒng)計有了更深刻的理解和認識。2、使學(xué)生在現(xiàn)實情境中體會統(tǒng)計對決策的作用，能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問題。例如在與張萍老師同課異構(gòu)的仇學(xué)斌老師在執(zhí)教《折線統(tǒng)計圖》一課的練習(xí)中，為學(xué)生提供一個情景：學(xué)生家長想了解學(xué)生的在校學(xué)習(xí)情況。你能幫助老師想想，提供應(yīng)家長什么材料更能反映這位學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況呢？學(xué)生很自然得能想到，把近期學(xué)生的考試成績繪制成一張折線統(tǒng)計圖，通過折線的變化，就能更加清楚看到該生的學(xué)習(xí)情況，哪些單元學(xué)得較好，哪些單元需要再加強。在遇到實際問題時，學(xué)生能夠想到可以用統(tǒng)計的方法來幫助決策。這些需要我們在教學(xué)中為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，讓統(tǒng)計確實成為一種需要，而不是教學(xué)中的一種要求而已。3、使學(xué)生能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程，做出合理的決策。學(xué)生要親自收集、描述和分析數(shù)據(jù)，重點是積累經(jīng)驗，并最終將經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為觀念。要根據(jù)數(shù)據(jù)做出大膽而合理的判斷，這是數(shù)學(xué)提供的一個普遍適用而又強有力的思考方式。例如仇學(xué)斌老師執(zhí)教的《選擇適宜統(tǒng)計圖》中，讓學(xué)生根據(jù)三組數(shù)據(jù)：〔1〕某影院一天內(nèi)三部影片售票張數(shù)統(tǒng)計。〔2〕一部影片在市內(nèi)各影院售票張數(shù)統(tǒng)計。〔3〕一部影片在一個影院五天售票張數(shù)統(tǒng)計。讓學(xué)生根據(jù)我們實際所要解決問題的需要來擇選相應(yīng)的統(tǒng)計圖。目的就是要讓學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)的實際背景，選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)。使學(xué)生親身體會到根據(jù)問題研究的方向，對選擇何種統(tǒng)計圖做出合理的決策?！彩愁惐人枷虢虒W(xué)有法，教無定法這一普遍的教學(xué)規(guī)律對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)同樣適合，長期以來，對數(shù)學(xué)方法的探索，研究和實踐，目的都是為了使傳授知識與開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)有機結(jié)合，使數(shù)學(xué)思想方法能有效的滲透到課堂教學(xué)中去。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們可以通過以下幾個方面來運用類比法進行有效的教與學(xué)。1、運用類比法探究新知數(shù)學(xué)中有些概念是難以讓學(xué)生理解和接受的，倘假設(shè)在教學(xué)中，講授新知識時聯(lián)系舊知識，將新舊類比分析，將能讓學(xué)生更加理解知識，同時也能突破難點，降低教學(xué)難度。例如，學(xué)生剛開始接觸比的性質(zhì)時，感覺困難，但學(xué)生對于分數(shù)的性質(zhì)是相當(dāng)熟悉的。根據(jù)這點利用類比遷移來講：對照分數(shù)的根本性質(zhì)，看比又有什么樣的根本性質(zhì)呢？復(fù)習(xí)分數(shù)的根本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比的根本性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生很自然的說出比的根本性質(zhì)，既“比的前項和后項都乘以或者都除以相同的數(shù)〔零除外〕，比值不變。”這樣的講解使新知識不新，舊知識不舊，學(xué)生容易理解和接受。由此可見，應(yīng)用舊知識的類比能使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時易于同化，從而學(xué)得輕松，教的愉快。2、運用類比法建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)運用類比法將各知識點串聯(lián)起來有利于學(xué)生更好的掌握知識，能使所學(xué)的知識更加系統(tǒng)化。如在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，“工程問題”中的三個數(shù)量有“工作效率×工作時間=工作總量”這樣的關(guān)系。而“行程問題”中的三個量也有類似的關(guān)系：速度×?xí)r間=路程。因此，工程問題的解法可以類推到行程問題中去。例如：在“一件工程，甲隊單獨做20小時完成，乙隊單獨做30小時可以完成，兩隊合做，幾小時可以完成全工程？”這一工程問題應(yīng)用題中，工作總量可以看作單位“1”，甲隊的工作效率可以看作1/20，乙隊的工作效率可以看作1/30，根據(jù)工作總量÷工作效率和=工作時間，這題的解法是：1÷〔1/20+1/30〕。而在“客車從甲地開往乙地要10小時，貨車從乙地開往甲地要15小時，如果兩車分別從甲、乙兩地同時相對開出，幾小時可以相遇？”這一條“相遇問題”應(yīng)用題中，同樣可以把總路程看作單位“1”，客車速度看作1/10，貨車速度看作1/15。因此，從上一題的解法可以類推出此題的解法為：1÷〔1/15+1/10〕。這樣通過類比溝通了兩類不同的應(yīng)用題，建構(gòu)了系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加輕松。3、運用類比法加深對概念的理解對不同的數(shù)學(xué)概念運用類比進行比擬分析，通過異同的比擬能使學(xué)生加深對概念內(nèi)涵的理解。如對于反比例的教學(xué)，教師可以通過熟知的正比例類比到反比例。例如y／x=2與xy=3兩者的區(qū)別在哪？前者可以用通式y(tǒng)／x=k〔k為常數(shù)，k≠0〕來表示，后者呢？學(xué)生很容易抽象出反比例的通式xy=k(k為常數(shù),k≠0)〔這樣的類比，效果還是不錯的，在課堂實踐中已證實〕學(xué)生通過這樣的類比不但加深了對概念的理解，同時也有效的提高了解題能力。4、運用類法激發(fā)創(chuàng)新思維在教學(xué)中，假設(shè)能在適當(dāng)時機將后續(xù)知識、擴展知識提前與正在學(xué)習(xí)的知識進行類比，那么能激發(fā)學(xué)生進行探索與創(chuàng)新。如在學(xué)習(xí)分數(shù)乘法時，將分數(shù)的混合運算提前涉及一點內(nèi)容。1／2×1／3與2／3×1／5學(xué)生很容易對這兩個式子進行運算，這時老師提出在這兩個式子之間添加“+”，問這該怎么辦？(老師提示：我們學(xué)過的整數(shù)是怎么運算的？〕通過這樣的類比，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維也提高了學(xué)習(xí)積極性。二、滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維能力數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就會取得非常好的學(xué)習(xí)效果。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生提高思維水平，真正懂得數(shù)學(xué)的價值，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而運用數(shù)學(xué)、開展數(shù)學(xué)的重要的保證，也是實施素質(zhì)教育的要求?！爸矘鋯栴}”是北師大版四年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，安排此內(nèi)容的目的就是向?qū)W生滲透復(fù)雜問題從簡單入手的思想。在解決植樹問題的過程中，向?qū)W生滲透一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上、研究問題上都很重要的數(shù)學(xué)思想方法——化歸思想，使學(xué)生感悟到應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解題所帶來的便利，同時還自始至終滲透著一一對應(yīng)的思想〔一個間隔對應(yīng)著一棵樹〕。把解決植樹問題作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的一個學(xué)習(xí)支點，并且借助此教學(xué)內(nèi)容開展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維能力。下面就談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的做法：〔一〕以疑導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究在教學(xué)“植樹問題”時，我首先就呈現(xiàn)“在100米長路的一旁植樹，每隔5米栽一棵〔兩端要栽〕，一共要栽多少棵樹苗？”給學(xué)生提供一個具有數(shù)學(xué)問題的大情境，把學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力一下子集中起來，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性空前高漲，你一言我一語，認為這樣的問題太簡單了，很多同學(xué)會脫口而出，100÷5＝20〔棵〕。20棵到底對不對呢？怎么來驗證。我讓學(xué)生以小組合作的方式進行探究。有的學(xué)生在草稿上進行計算，有的那么在草稿上畫線段圖……討論交流時，他們各抒己見，充分發(fā)表自己的意見和看法，有的說對，有的說不對。這時教師可以向?qū)W生說明，像這樣數(shù)量較大、比擬復(fù)雜的問題，我們可以從簡單問題入手：2米長的路，5米長的路，每隔1米栽一棵〔兩端都栽〕，看看每種情況下，要栽多少棵？植樹棵樹與間隔有什么關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在這里數(shù)據(jù)小了，降低了學(xué)習(xí)的難度，便于學(xué)生利用線段圖操作建立數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生的思考。學(xué)生從教師的引導(dǎo)中很容易感悟出先可以少種點距離，把復(fù)雜問題先簡單化，找到規(guī)律，解決問題。從而向?qū)W生滲透復(fù)雜的問題可以從簡單入手的數(shù)學(xué)思想。然后，教師可根據(jù)本班學(xué)生的實際情況，讓學(xué)生在教室里試著站隊，由學(xué)生自己探索規(guī)律：在寬6米的教室里站隊，每隔1米站1人，靠墻兩端要站，可以站幾人？接著，又由泡沫板當(dāng)作小路，牙簽當(dāng)作樹苗，讓學(xué)生動手操作，在模擬植樹的情境中探索在線段上植樹的情形，由此將學(xué)生引導(dǎo)到探究“在線段上兩端都植樹”的學(xué)習(xí)活動中來。〔二〕讓學(xué)生在互動交流中發(fā)現(xiàn)規(guī)律數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生的一個活動過程。經(jīng)歷和體驗是學(xué)生從舊知識向隱含的新知識遷移的過程。教學(xué)中，我創(chuàng)設(shè)了情境，向?qū)W生提供屢次體驗的時機，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種民主、寬松、和諧的學(xué)習(xí)氣氛，給了學(xué)生充分的時間與空間，讓學(xué)生在親自實踐、互動交流中進行自主探究。如果說生活經(jīng)驗是學(xué)習(xí)的根底，學(xué)生間的合作交流是學(xué)習(xí)的推動力，那么借助圖形幫助理解就是學(xué)生建構(gòu)知識的一個拐杖。有了這根拐杖，學(xué)生們才能走得更穩(wěn)、更好。探究時，我注意了數(shù)形結(jié)合，先鼓勵學(xué)生自己做設(shè)計師，想方法設(shè)計植樹方案，在學(xué)生自主探索的過程中很多學(xué)生采用了畫線段圖的方式，交流時利用多媒體再現(xiàn)線段圖。在教學(xué)間隔數(shù)和棵數(shù)，總長和間距，間隔數(shù)之間的關(guān)系時，不要簡單地把規(guī)律告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己動手操作，在模擬植樹過程中自由的植樹，提出讓學(xué)生“想植多少棵就植多少棵”，并將植樹的情況填入表格：條件〔兩端都種〕間隔數(shù)問題路長〔米〕相鄰兩棵間的距離〔米〕列式計算列式計算棵數(shù)〔棵〕212÷1＝22÷1＋1＝3〔棵〕414÷1＝44÷1＋1＝5〔棵〕818÷1＝88÷1＋1＝9〔棵〕10110÷1＝1010÷1＋1＝11〔棵〕我發(fā)現(xiàn)了：棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1然后小組合作交流，觀察討論：這些數(shù)據(jù)、信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)〔兩端都栽〕＝間隔數(shù)＋1。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，再來解決前面的植樹問題就簡單多了：100米長的小路，按5米一段來分，平均分成20段，也就是共有20個間隔，而栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，因此一共要準備21棵樹苗。這樣就把整個分析、思考、解決問題的全過程展示出來，讓學(xué)生經(jīng)歷這個過程并從中學(xué)習(xí)一些解決問題的方法和策略。這樣，學(xué)生在操作研究的過程中，既掌握了知識，又體驗到了“再發(fā)現(xiàn)”的過程和探究發(fā)現(xiàn)的方法，最重要的是品嘗到了自主探究、交流合作的樂趣?！踩吃谔骄恐信囵B(yǎng)思維能力讓學(xué)生先掌握兩端都種