考點(diǎn)07函數(shù)的單調(diào)性與最值4種常見考法歸類考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性（二）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性（三）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（一）利用單調(diào)性比較大?。ǘ├煤瘮?shù)的單調(diào)性解抽象不等式（三）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（1）分式函數(shù)（2）二次函數(shù)（3）三次函數(shù)（4）對(duì)數(shù)函數(shù)（5）分段函數(shù)（6）與絕對(duì)值有關(guān)的單調(diào)性問題考點(diǎn)三函數(shù)的最值問題（一）利用函數(shù)單調(diào)性求最值（二）根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)（三）函數(shù)不等式恒成立問題（四）函數(shù)不等式有解問題考點(diǎn)四抽象函數(shù)的單調(diào)性問題1、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：定義法：在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上任取并使得，通過作差比較與的大小來判斷單調(diào)性。具體如下：設(shè)x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，記Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么①eq\f(Δy,Δx)＞0?f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；eq\f(Δy,Δx)＜0?f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù).上式的幾何意義：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率恒大于(或小于)零.②增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，則(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．（2）性質(zhì)法：①當(dāng)常數(shù)c>0時(shí)，y＝c·f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)常數(shù)c<0時(shí)，y＝c·f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反，特別地，函數(shù)y＝－f(x)與y＝f(x)的單調(diào)性相反.②當(dāng)y＝f(x)恒為正或恒為負(fù)時(shí)，y＝eq\f(1,f（x）)與y＝f(x)的單調(diào)性相反.③若c為常數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(x)＋c的單調(diào)性相同.④若函數(shù)為增函數(shù)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，則有為增函數(shù)，2）為增函數(shù)，3）為減函數(shù)，4）為減函數(shù)。⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)也是增(減函數(shù))；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù).⑥奇(偶)函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同(相反).（3）圖像法：對(duì)于含絕對(duì)值或者分段函數(shù)經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想，通過函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的單調(diào)性。由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（4）復(fù)合函數(shù)法：對(duì)于函數(shù)，可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復(fù)合函數(shù)法來進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)隨著的增大而增大隨著的增大而增大隨著的增大而減小隨著的增大而減小增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)（5）導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果在某個(gè)區(qū)間上f′(x)＞0，那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；如果在某個(gè)區(qū)間上f′(x)＜0，那么f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.2、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）比較大?。却笮〕Ｓ玫姆椒ㄊ抢脝握{(diào)性比大??；搭橋法，即引入中間量，從而確定大小關(guān)系；數(shù)形結(jié)合比大小。注：一般三個(gè)數(shù)比較大小使用中間量法（一個(gè)大于1，一個(gè)介于0-1之間，一個(gè)小于0）再結(jié)合函數(shù)的圖像判斷大小。比較函數(shù)值的大小，常由函數(shù)的奇偶性、周期性等，將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過比較自變量的大小來比較其函數(shù)值大小.（2）解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．解抽象函數(shù)不等式問題（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范．注：自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增(減)函數(shù)，則f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).在解函數(shù)不等式時(shí)，可以利用函數(shù)單調(diào)性的“可逆性”，“脫去”函數(shù)符號(hào)f，化為一般不等式求解，但運(yùn)算必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.（3）利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②二次函數(shù)的單調(diào)性與開口和對(duì)稱軸（對(duì)稱軸左右兩側(cè)單調(diào)性相反）有關(guān)。③需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；④分段函數(shù)在定義域上的具有一種單調(diào)性，則要求分段函數(shù)在每段定義域上的單調(diào)性保持一致，還對(duì)斷點(diǎn)處的函數(shù)值的大小有要求,如果是增函數(shù)，則在斷點(diǎn)處左邊的函數(shù)值右邊的函數(shù)值，如果是減函數(shù)，則在斷點(diǎn)處左邊的函數(shù)值右邊的函數(shù)值，注意：“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)分(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，因此，討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．(2)單調(diào)區(qū)間是完整的區(qū)間，在區(qū)間上單調(diào)可能只是部分單調(diào)區(qū)間．3、求函數(shù)最值(值域)的五種常用方法及注意點(diǎn)(1)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(2)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值；(4)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．注：(1)求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域；(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值．4、函數(shù)最值的重要結(jié)論(1)設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最小值，m為常數(shù)，則f(x)≥m在D上恒成立的充要條件是f(x)min≥m.(2)設(shè)f(x)在某個(gè)集合D上有最大值，m為常數(shù)，則f(x)≤m在D上恒成立的充要條件是f(x)max≤m.5、抽象函數(shù)的單調(diào)性（1）所謂抽象函數(shù)，一般是指沒有給出具體解析式的函數(shù)，研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，主要是考查對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解，是一類重要的題型，而證明抽象函數(shù)的單調(diào)性常采用定義法．（2）一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．對(duì)于f(x＋y)型的函數(shù)，只需構(gòu)造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用題設(shè)條件將它用f(x1)與f(x2－x1)表示出來，然后利用題設(shè)條件確定f(x2－x1)的范圍(如符號(hào)、與“1”的大小關(guān)系)，從而確定f(x2)與f(x1)的大小關(guān)系；對(duì)f(xy)型的函數(shù)，則只需構(gòu)造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．6、常見抽象函數(shù)及其原型(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型為一次函數(shù)f(x)＝kx＋b.(2)f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型為f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型為f(x)＝logax(a>0，且a≠1).(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(0)≠0)，原型為f(x)＝cosx.考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性（一）判斷函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·四川·高三統(tǒng)考對(duì)口高考）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）下列各項(xiàng)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．4．（2023·北京·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的為（

）A． B．C． D．6．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)（二）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性7．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求的解析式;(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.8．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(3)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（）.(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；(2)用定義證明函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)；(3)如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求與的值.（三）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間10．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三?？奸_學(xué)考試）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．11．（2023春·河南洛陽·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．15．（2023·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性，下列判斷正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（一）利用單調(diào)性比較大小19．（2023秋·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（

）．A． B． C． D．20．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．21．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則下列各式成立的是（

）A．； B．；C．； D．．22．（2023秋·江蘇常州·高三華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若，，，則（

）A． B．C． D．23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．24．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．（二）利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式26．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省潁上第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（2023春·天津?qū)氎妗じ呷旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足不等式的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B．C． D．30．（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）．A． B．或C． D．31．（2023秋·河北秦皇島·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)（三）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍（1）分式函數(shù)32．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為____________．33．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.（2）二次函數(shù)35．（2023秋·河北唐山·高三唐山市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．37．（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．D．38．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．039．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三江蘇省高郵中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．（3）三次函數(shù)40．（2023春·北京·高三北京八十中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則“”是“f（x）在R上單調(diào)遞減”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．（4）對(duì)數(shù)函數(shù)42．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．43．（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍是___________.44．（2023春·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．45．（2023秋·河南駐馬店·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的值是_______（5）分段函數(shù)47．（2023秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知f（x）=是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是___.48．（2023秋·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)，在定義域上滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的取值范圍是____________．49．（2023秋·河南鄭州·高三?？计谀┖瘮?shù)在R上單調(diào)遞減的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．50．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)(且)是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．51．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．（6）與絕對(duì)值有關(guān)的單調(diào)性問題52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)），若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是__________.考點(diǎn)三函數(shù)的最值問題（一）利用函數(shù)單調(diào)性求最值55．（2023秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C．2 D．56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最大值為______．57．（2023秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值，判斷函數(shù)在,上的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在,上的最大值和最小值．（二）根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)58．（2023秋·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)_______.59．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.60．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)最小值為，則____________．61．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.62．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函