線性代數(shù)

張保田線性代數(shù)

第三節(jié)§1.3行列式的性質(zhì)內(nèi)容復習第三節(jié)§1.3行列式的性質(zhì)內(nèi)容復習11.3行列式的性質(zhì)行列式D中第i行第j列位置上的元素：在DT中位于第j行第i列位置上：為簡化行列式的計算，下面討論行列式的性質(zhì)。先看轉置的行列式。稱行列式DT為D的轉置行列式。1.3行列式的性質(zhì)行列式D中第i行第j列位置上的性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等,即證明

對于D中的每一項：也是DT中的一項（不算負號)其符號為：所以，D=DT?！盒辛惺街械男信c列具有相同的地位。行列式的行具有的性質(zhì),它的列也同樣具有.積

性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等,即證明對于D中性質(zhì)2交換行列式的兩行(列),行列式變號.證明設n階行列式i行j行積既是D中的項，也【完】是

D1中的項（不算符號）性質(zhì)2交換行列式的兩行(列),行列式變號.證明設n而該項在D中符號為：所以，D=－D1

在D1中符號為：【完】而該項在D中符號為：所以，D=－D1在D1中符號為：※（1）交換i，j兩行（列）記為（2）主要用途在于化簡：如推論1若行列式中有兩行（列）的對應元素相同，則此行列式【完】【？】為零?！?）交換i，j兩行（列）記為（2）主要用途在于化簡：

性質(zhì)3用數(shù)k乘行列式D的某一行（列），等于用數(shù)k乘此行列式。即：證明※（1）第i行(列)乘以k，記為（2）從左到右：行列式中一行（列）的公因式可提到行列式外；

從右到左：用數(shù)k乘行列式的一行(列),等于用k乘此行列式。性質(zhì)3用數(shù)k乘行列式D的某一行（列），等于推論2行列式的某一行(列)中所有元素全為零，則行列式問：若n階行列式D中零元素的個數(shù)多余個，則D＝？【0】推論3行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.

例如，

【因為第一列與第二列對應元素成比例】為零。推論2行列式的某一行(列)中所有元素全為零，則行列式問：解例1設

解例1設證明設

則有例2證明:奇數(shù)階反對稱行列式的值為零。由所以，當n為奇數(shù)時，證明設則有例2證明:奇數(shù)階反對稱行列式的值為零

性質(zhì)4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則該行列式等于兩個行列式之和，即i行性質(zhì)4若行列式的某一行（列）的元素都是證明※①上述結果可推廣到有限個和的情形。如：②只限于行列式的一行(列)的元素都是兩數(shù)之和。一般來說下式是不成立的：左==右證明※①上述結果可推廣到有限個和的情形。如：②只限于【應等于？】【四個行列式之和】【完】【應等于？】【四個行列式之和】【完】

性質(zhì)5將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加于另一行（列）對應位置的元素上，行列式不變。即：證明由性質(zhì)四，右=性質(zhì)5將行列式某一行（列）右=【完】=左右=【完】=左※①以數(shù)k乘j行加到i行上，記為

以數(shù)k乘j列加到i列上，記為②若行列式D中某一行元素是另外若干行對應元素之和，則D＝？【0】如【0】③性質(zhì)5將行列式化為三角行列式最有用。

如1※①以數(shù)k乘j行加到i行上，記為以數(shù)k乘j列加到i列④將行列式的其余各行同時加到某一行，行列式的值不變。例如計算解【注意到行列式中各行（列）4個數(shù)之和都為6】④將行列式的其余各行同時加到某一行，行列式例如計算解【注再如問：（1）40【完】－1－2－2再如問：（1）40【完】－1－2－2小結：1.轉置行列式，反對稱行列式

下節(jié)課內(nèi)容：行列式的性質(zhì)

作業(yè)：習題1.3【完】2.行列式的性質(zhì)1－53.行列式為零的結論。小結：1.轉置行列式，反對稱行列式下節(jié)課內(nèi)容：【完】2.──行列式的計算

1.復習

2.內(nèi)容第四節(jié)──行列式的計算1.復習2.內(nèi)容第四一、n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等.即.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論2行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則這個行列式等于兩個行列式之和.性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．二、行列式的值為零的性質(zhì)（1）──（6）一、n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉置行列式相等.即二、行列式的計算1.簡單、特殊的行列式可以按定義計算。

2.一般行列式的計算，常用行列式的性質(zhì)，把它化簡或化簡后再化為三角行列式來計算。3.行列式的計算方法多，技巧性大，要注意撐握基本方法與基本題型。4.數(shù)字行列式一般要化為上（下）三角行列式，基本原則是：①由性質(zhì)使左上角第一個數(shù)為“1”，且后續(xù)計算量?。虎谝来问沟谝涣械谝粋€數(shù)、第二列第二個數(shù)、…以下元數(shù)全為“0”，5.文字行列式，n階行列式一般要分析清楚其結構，按類型來求解。下面分別介紹常見行列式的類型與計算方法?！就辍慷?、行列式的計算1.簡單、特殊的行列式可以按定義計算。1.數(shù)字行列式一般要化為三角行列式例1計算行列式解1.數(shù)字行列式一般要化為三角行列式例1計算行列式解練習【完】練習【完】2.某一行（列）加到其它各行（列）例2解方程解第一行的－1倍加到其它各行，得－12.某一行（列）加到其它各行（列）例2解方程解解得方程的n－1個根為：注：此題也可由觀察得到──觀察法（析因子法）當x分別取a1，a2，…，an-1時：第2，3，…，n列與第一列成比例，行列式為零，方程有根：又方程為x的n－1次多項式，最多有個n－1根，所以根為：解得方程的n－1個根為：注：此題也可由觀察得到──觀察法（如計算行列式：解因為x=±1時，第一、二兩行相等

x=±2時，第三，四兩行相等于是，四次多項式D＝k(x2－1)(x2－4)D=0又因為D中

x4

的系數(shù)為5與所以，D＝1(x2－1)(x2－4)【完】（－1）N（3214）4之和,如計算行列式：解因為x=±1時，第一、二兩行相等x3.各行（列）都加到同一行（列）如果行列式各行（列）元素之和都是常數(shù)，則常用的方法是：①將各行(列)均加到第一行（列）；②第一行（列）提出公因式；③將行列式化為三角行列式計算。

【如下例】3.各行（列）都加到同一行（列）如果行列

例3計算

解（1）

其它各行都加到第一行，提出公因式第一行的（－b）倍加到其它各行，得同加到1列－b例3計算解（1）其它各行都加到第一行，提出公因展開計算同加到1行－y－x-y[完]展開計算同加到1行－y－x-y[完]

如何計算：

如何計算：4.逐行（列）相加減由上而下，由下而上；由左向右，由右向左逐行（列）相加減計算行列式也是常用的方法。

例4計算4.逐行（列）相加減由上而下，由下而上；由左向右，由右向左解(1)將第1列加至第2列，然后第2列加至第3列，……，再將第n列加到第n＋1列，得：(2)解(1)將第1列加至第2列，然后第2列加至第3列，……，由上向下:各行的（－1）倍加到下一行由上向下:例5計算

解從第4行開始，后一行減去前一行。

－1－1例5計算解從第4行開始，后一行減去前一行。－1－1練習（1）解－a－a－b三階范德蒙行列式練習（1）解－a－a－b三階范德蒙行列式（2）計算三對角行列式（三斜線行列式）解三對角行列式一般用下節(jié)的展開、遞推來計算，此類數(shù)字行列式化為三角行列式，較簡單。－－（2）計算三對角行列式（三斜線行列式）解三對角行列式一般用下5.箭形（爪）行列式行列式中非零元的形狀或化簡后的形狀為箭形。其解法如下例：5.箭形（爪）行列式行列式中非零元的形狀或化簡后的形狀為例6計算

解－1箭形提a1提a2提a3提an例6計算解－1箭形提a1提a2提a3提an提a1提a2提a3提an提a1提a2提a3提an同加到第一列i列不提ai同加到第一列i列不提ai練習：答案－1練習：答案－1按箭形行列式計算方法，得【完】6.靈活按箭形行列式計算方法，得【完】6.靈活6.靈活例7計算

解:－1－1提－a提－b6.靈活例7計算解:－1－1提－a提－b例8計算n階行列式解－1兩列成比例例8計算n階行列式解－1兩列成比