專題08函數的極值

1.函數的極小值：

函數y=Λχ)在點X=XO的函數值犬XO)比它在點X=XO附近其他點的函數值都小，/(χo)=O;而且在點X=

Xo附近的左側/(x)<0,右側/(x)>0.則Xo叫做函數y=√(x)的極小值點，y(χo)叫做函數y=7(x)的極小值.如圖

函數y=7(x)在點X=XO的函數值yUo)比它在點X=XO附近其他點的函數值都大，/(χo)=0；而且在點X=

Xo附近的左側/(x)>0,右側/(x)<0.則Xo叫做函數y=∕(x)的極大值點，人四)叫做函數y=∕(x)的極大值.如圖

2.

3.極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

對極值的深層理解：,*

(1)極值點不是點：/?(\\

(2)極值是函數的局部性質；--一一一

“.H.()?I?XtXaJ

(2)按定義，極值點為是區(qū)間［。，b^?內部的點(如圖)，不會是端點α,b?,

(3)若./U)在3,加內有極值，那么KX)在(α,匕)內絕不是單調函數，即在區(qū)間上單調的函數沒有極值.

(4)根據函數的極值可知函數的極大值J(X0)比在點XO附近的點的函數值都大，在函數的圖象上表現為極

大值對應的點是局部的"高峰''；函數的極小值/°)比在點Xo附近的點的函數值都小，在函數的圖象上表現

為極小值對應的點是局部的“低谷”.一個函數在其定義域內可以有許多極小值和極大值，在某一點處的極小

值也可能大于另一個點處的極大值，極大值與極小值沒有必然的聯(lián)系，即極小值不一定比極大值小，極大

值不一定比極小值大；

(5)使/(x)=0的點稱為函數4C)的駐點，可導函數的極值點一定是它的駐點.駐點可能是極值點，也可

能不是極值點.例如大X)=X3的導數/(x)=3『在點X=O處有/(0)=0,即X=O是危)=x3的駐點，但從危)

在(-8,+oo)上為增函數可知，X=O不是應r)的極值點.因此若/(xo)=O,則Xo不一定是極值點，即/(沏)

=0是/(x)在X=XO處取到極值的必要不充分條件，函數y=∕(x)的變號零點，才是函數的極值點；

(6)函數?x)在［α,?］上有極值，極值也不一定不唯一.它的極值點的分布是有規(guī)律的，如上圖，相鄰

兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點.一般地，當函數兀0

在［〃，b^］上連續(xù)且有有限個極值點時，函數y(x)在［α,b^?內的極大值點、極小值點是交替出現的.

考點一根據函數圖象判斷極值

【方法總結】

由圖象判斷函數y=Ax)的極值

(l)y=∏x)的圖象與X軸的交點的橫坐標為xo，可得函數y=4x)的可能極值點回；

(2)如果在超附近的左側/(x)>0,右側/(x)<0,那么兀VO)是極大值；如果在Xo附近的左側/(x)W0,右

側了(X)K)，那么J(Xo)是極小值.

【例題選講】

[例1]⑴函數危)的定義域為R，導函數XX)的圖象如圖所示，則函數兀v)()

A.無極大值點、有四個極小值點B.有三個極大值點、一個極小值點

C.有兩個極大值點、兩個極小值點D.有四個極大值點、無極小值點

答案C解析設/(x)的圖象與X軸的4個交點從左至右依次為XI,X2,X3,X4.當x<x∣時，/(x)>0,

?r)為增函數，當x∣<x<M時，/(x)<0,段)為減函數，則X=Xl為極大值點，同理，X=X3為極大值點，X

—X2,X=X4為極小值點，故選C.

(2)設函數兀V)在R上可導，其導函數為/(x),且函數y=(l—XVJ(X)的圖象如圖所示，則下列結論中一定

成立的是()

A.函數./U)有極大值人2)和極小值JU)B.函數Kr)有極大值J(一2)和極小值11)

C.函數y(x)有極大值負2)和極小值八一2)D.函數抵外有極大值八一2)和極小值人2)

答案D解析由題圖可知，當x<一2時，/(x)>0;當一2<x<l時，/(x)<0;當l<x<2時，/(x)<0;當

尤>2時，/(x)>0.由此可以得到函數式x)在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值.故選D.

(3)函數√U)=χ3+加+cχ+d的大致圖象如圖所示，X1,愈是函數y=Λχ)的兩個極值點，則才+6等于

)

A.I

答案C解析因為函數兀0的圖象過原點，所以d=0.又|一1)=0且犬2)=0,即-1+b—c=0且

f322

8+4?+2c=0,解得匕=-1,c--ly所以函數兀￥)=x-χ-Zr,所以/(x)=3x-2x—2.由題意知為，Xi

22

是函數./U)的極值點，所以Xl,X2是/(X)=O的兩個根，所以X∣+x2=],X1X2--J,所以才+S=(x∣+x2)2

-2XIX2=V=華，故選C

(4)已知函數)，=*4的圖象如圖所示(其中/(x)是定義域為R的函數T(X)的導函數)，則以下說法錯誤的是

()

A?/(l)=∕(-D=0B.當X=-I時，函數兀V)取得極大值

C.方程;￠(X)=O與兀0=0均有三個實數根D.當X=I時，函數火X)取得極小值

答案C解析由圖象可知/(l)=∕(-l)=0,A說法正確.當X<-1時，華<0,此時八X)>O;當一

l<x<0時，,華>0,此時了(x)<0,故當x=-l時，函數段)取得極大值，B說法正確.當Oa<1時，?華?θ,

此時/(x)<0;當Ql時，號bθ,此時/(x)>0,故當x=l時，函數XX)取得極小值，D說法正確.故選C.

(5)(多選)函數y=√(x)導函數的圖象如圖所示，則下列選項正確的有()

A.(-1,3)為函數y=∕(x)的遞增區(qū)間B.(3,5)為函數y=∕(x)的遞減區(qū)間

C.函數y=∕(x)在X=O處取得極大值D.函數丫=於)在x=5處取得極小值

答案ABD解析由函數y=Ax)導函數的圖象可知，1》)的單調遞減區(qū)間是(一8,-1),(3,5),單

調遞增區(qū)間為(一1,3),(5,+∞),所以《X)在x=-l,5取得極小值，在x=3取得極大值，C錯誤.故選

A、B、D.

(6)(2018?全國^)函數丫=一/+1+2的圖象大致為()

答案D解析當X=O時，y=2,排除A,B.由y=-4X3+2X=0,得X=O或X=結合三次

函數的圖象特征，知原函數在(-1,1)上有三個極值點，所以排除C,故選D.

【對點訓練】

1.如圖是/U)的導函數/(χ)的圖象，則y(x)的極小值點的個數為()

1.答案A解析由題意知在X=-I處/(-1)=0,且其左右兩側導數符號為左負右正.

2.設函數/U)在R上可導，其導函數為/(x),且函數g(x)=^(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立

的是()

A../(X)有兩個極值點B..穴0)為函數的極大值

C.火X)有兩個極小值D.八—1)為兀V)的極小值

2.答案BC解析由題圖知，當x∈(-8,-2)時，g(x)>O,.?.∕(x)<0,當x∈(-2,0)時，g(x)<O,.?f(x)

>0,當x∈(0,1)時,g(x)<O,.?∏x)<0,當x∈(l,+8)時，g(x)>O,.?.∕ɑ)>0..?√(x)在(一8,-2),(0,

1)上單調遞減，在(一2,0),(1,+oo)上單調遞增.故AD錯誤，BC正確.

3.已知函數負X)=X3+Av2+cx的圖象如圖所示，則后+《等于()

3.答案C解析由題中圖象可知40的圖象經過點(1,0)與(2,0),X1,12是函數段)的極值點，所以1

+h+c=0,8+4?+2c=0,解得〃=—3,C—2,所以“r)=x3—3x2+2x,所以/(X)=3Λ2—6x+2,x?,

2O8

田是方程3x2-6x+2=0的兩根，所以XI+X2=2,xvxz=1yΛX∣+A?=(XI+X2)2-2XI%2-4—2x^=2，

4.已知三次函數"r)=Οχ3+?χ2+cχ+d的圖象如圖所示，貝號器=.

z?

4.答案1解析f(x)=3ax1+2bx+c,由圖象知，方程/(x)=0的兩根為-1和2,則有

J—五=一1+2，j3α+2b=0,.4CC

5.(多選)函數y=Λx)的導函數八X)的圖象如圖所示，則以下命題錯誤的是()

A.-3是函數y=∕(x)的極值點B.-1是函數y=∕(x)的最小值點

C.y=∕(x)在區(qū)間(一3,1)上單調遞增D.y=Ax)在X=O處切線的斜率小于零

5.答案BD解析根據導函數的圖象可知當x∈(-8,-3)?,/(Λ)<0,當x∈(-3,+s)時，八χ)≥0,

；.函數y=a)在(一8,一3)上單調遞減，在(-3,+8)上單調遞增，則一3是函數y=?r)的極值點，?.?

函數y=?Λx)在(-3,+8)上單調遞增，；.一1不是函數y=7(x)的最小值點，-；函數y=7(x)在X=O處的導

數大于0,???y=∕(x)在X=O處切線的斜率大于零.故錯誤的命題為BD.

考點二求已知函數的極值

【方法總結】

求函數的極值或極值點的步驟

(1)確定函數的定義域；

(2)求導數/(x);

(3)解方程/(x)=0,求出函數定義域內的所有根；

④檢查了(x)在方程/(x)=0的根的左右兩側的符號.如果左正右負，那么式x)在這個根處取得極大值;

如果左負右正，那么犬X)在這個根處取得極小值.

【例題選講】

I例1](1)函數式X)=X?r的極大值為,極小值為.

答案4e-2O解析式》)的定義域為(一8,÷∞),f(x')--exx(χ-2').當xG(—oo,0)或x6(2,+∞)

時，/(x)V0;當x∈(0,2)時，/(x)>0.所以在(-00,0),(2,+8)上單調遞減，在(0,2)上單調遞增.故

當X=O時，式x)取得極小值，極小值為犬O)=0；當x=2時，7U)取得極大值，極大值為式2)=4e".

2

(2)設函數4τ)=q+lnΛ?,則()

A.X=T為y(x)的極大值點B.X=T為/(x)的極小值點

C?x=2為兀V)的極大值點D?x=2為人尤)的極小值點

21X—2

答案D解析/α)=-∕+[=γ(x>0),當0<x<2時，/(x)<0,當x>2時，/(x)>0,所以X=

2為KX)的極小值點.

Y

(3)已知函數J(x)=2ef(e)lnχ-則?x)的極大值點為()

A.?B.1C.eD.2e

2efte)11r21

答案D解析f(x)=~j~~--y故/(e)=[故段)=21除一】令/(x)=;-7>0,解得0<r<2e,令/(x)<0,

?CCCΛC

解得x>2e,故/U)在(O,2e)上遞增，在(2e,+s)上遞減，.?.x=2e時，犬外取得極大值21n2,則大處的極大

值點為2e.

(4)已知e為自然對數的底數，設函數y(x)=(ex-l)?(χ-1)"(Z=1,2),則()

A.當Z=I時，兀0在x=l處取到極小值B.當k=l時，7U)在x=l處取到極大值

C.當A:=2時，於)在x=l處取到極小值D.當A:=2時，火x)在尤=1處取到極大值

答案C解析因為了(X)=(X-I)Lea-1+A)—后，當A=I時，/(l)>0,故1不是函數./(X)的極值

點.當k=2時，當項<Λ<l(xo為兀V)的極大值點)時，∕ɑ)<0,函數犬x)單調遞減；當Ql時，F(x)>O,函數y(x)

單調遞增.故y(x)在X=I處取到極小值.故選c.

(5)若x=-2是函數XX)=(Λ2+or-l)e*r的極值點，則人》)的極小值為()

A.-1B.-2e^3C.5e-3D.1

答案A解析∕α)=(2v+.)eLi+α2+oχ-l)eLi=[Λ2+3+2)x+a-l]eLi.?.?χ=-2是兀V)的極值

2xl1x

點，.*./(—2)=0,即(4—2a—4+a—1)「3=0,得〃=—1.?'.I∕(X)=(JC-χ-l)e^,f(x)=(x+χ-2)e~'.由

/(x)>0,得x<—2或x>l;由/(x)<0,得一2Vχ<l..?√(x)在(-00,—2)上單調遞增，在(一2,1)上單調

遞減，在(1,+oo)上單調遞增，.?J(x)的極小值點為1,.?J(x)的極小值為HI)=-L

(6)設，(x)為函數/)的導函數，已知ΛV(x)+M(x)=lnx,χi)=∣,則下列結論不正確的是()

A.狀x)在(0,+oo)上單調遞增B.求x)在(0,+8)上單調遞減

C.9x)在(0,+8)上有極大值TD.猶x)在(0,+8)上有極小值T

Inγ1nγ

答案ABC解析由Xy(X)+求X)=InX得x>0,則獷Z(X)■,即［浜無)了=『，設g(x)=求x),

Inγ

即g'(x)=-T，由g'(x)>O得X>l,由/(x)<0得0<x<l,即M(X)在(1,+oo)上單調遞增，在(0,1)上單調

遞減，即當X=I時，函數g(x)=M(x)取得極小值g(l)=∕(l)=T?故選ABC.

［例2］給出定義：設/(X)是函數y=∕(x)的導函數，/(X)是函數了⑴的導函數，

若方程/'(x)=0有實數解必，則稱點(Xo，7(xo))為函數y=∕(x)的拐點.已知√(x)=αr+小SirLr-cosx.

(1)求證：函數y=∕(x)的拐點M(X0，7(xo))在直線y=0x上；

(2)x∈(0,2兀)時，討論y(x)的極值點的個數.

解析(l)??T(χ)="χ+√5SinJV-Cosx,.".∕(x)=a÷√3cosx+si?n,

H(X)=一小SinX+cosx,V∕z(%o)=O,/.一小si∏Λo+cosxo=0.

而Λ?o)=αro÷√3siriYo-^cosx()=axo./.點M(X°,#/()))在直線y=cιx上.

(2)令/(x)=0,得a=-2sin(x+W),

作出函數y=-2sin(x+g,x∈(0,2兀)與函數y="的草圖如下所示：

由圖可知，當α≥2或“三一2時，Kr)無極值點；當〃=—小時，Ar)有一個極值點；

當一2<α<一小或一S<α<2時，/(x)有兩個極值點.

［例3］(2021?天津高考節(jié)選)已知4>0,函數KX)="一r?e'.

(1)求函數y=∕U)在點(0,式O))處的切點的方程；

(2)證明y(x)存在唯一極值點.

解析(1)因為犬0)=0,/(x)=α-(x+l)ev,所以八0)=。一1,

所以函數在(0,40))處的切線方程為(“一1>X—y=0.

(2)若證明y(x)僅有一個極值點，即證了(X)=α-(x+l)e?v=0,只有一個解，

即證4=(x+1)e`只有一個解，

令g(x)=(x+l)ev,只需證g(x)=(x+l)ev的圖象與直線y="(4>O)僅有一?個交點，g，(X)=(X+2)e”,

當％=—2時，g'(x)=O,

當x<-2時，g'(x)<O,g(x)單調遞減，當x>-2時，g'(x)>O,g(x)單調遞增，

當工=—2時，^(―2)=—e2<0.當χτ+s時，^(x)→+∞,當XT—8時，^(x)→0,

畫出函數g(x)=(x+1)e”的圖象大致如下，

因為a>0,所以gα)=(x+l)e”的圖象與直線y="(α>O)僅有一個交點.即./(九)存在唯一極值點.

【對點訓練】

1.函數7(x)=2χ-Mnx的極值是()

?-eB-1c?eD-e2

1.答案C解析因為/(x)=2-(InX+l)=l-lnx,當/(x)>0時，解得0<x<e;當/(x)V0時，解得

x>e,所以x=e時，√(x)取到極大值，./(X)極大(t=Λe)=e.故選C.

2.函數人X)=(X2-1>+2的極值點是()

A.X=IB.x=—lC.x=l或一1或0D.X=O

2.答案C解析/(x)=2(x2-l)?2x=4x(x+I)(χ-1),令/(x)=0,解得X=O或X=—1或X=L

3.函數√(x)=52+lnχ-Ir的極值點的個數是()

A.OB.1C.2D.無數

1—2x+](x—]F

3.答案A解析函數定義域為(0,+8),且/(x)=x+±-2=-=k?~?0,即y(x)在定義

域上單調遞增，無極值點.

4.函數式X)=(X2-χ-l)e*(其e=2.718…是自然對數的底數)的極值點是；極大值為.

4.答案1或一2三解析由已知得了(X)=(X2-χ-l+2x—l)e*=(Λ2+χ-2)e*=(x+2)(χ-l)e*,因為e*

>0,令/(x)=0,可得X=—2或x=l,當x<—2時，/(x)>0,即函數式x)在(一00,-2)上單調遞增；

當一2Vx<l時，/(x)<0,即函數凡r)在區(qū)間(一2,I)上單調遞減；當x>1時，/(x)>0,即函數次x)在區(qū)

間(1,+8)上單調遞增.故/(x)的極值點為-2或1,且極大值為火-2)=也.

5.已知函數段)=0x3—bx+2的極大值和極小值分別為M,加，則M+∕n=()

A.OB.1C.2D.4

5.答案D解析f(x)=3ax1-b=0,由題意，知該方程有兩個根，設該方程的兩個根分別為兩，檢，

故./(x)在x?,X2處取到極值，M+∕n=αR—bxι+2+αd-^?T2+2=-Z?(xi+x2)+a(xi+x2)[(xi+x2)2—3XIX2]

+4,又X1+x2=θ,XlX2=一磊，所以“+機=4,故選D.

6.若X=-2是函數yU)=33-θx2-2x+l的一個極值點，則函數/(x)的極小值為()

A.—?B.-NC.?D.?

?OOJ

6.答案B解析由題意，得/(x)=f-2αv—2.又》=-2是函數人x)的一個極值點，所以/(-2)=2

+4.=0,解得“=一￡.所以/(X)=?∣Λ3++-2X+1,所以F(X)=Λ2+X-2=(X+2)(XT).當XV—2或X

>1時，/(x)>0;當一2<尤<1時，/(x)<0.所以函數y=∕(x)的單調遞增區(qū)間為(一S,-2),(I,+∞),

單調遞減區(qū)間為(一2,1).當X=I時，函數y=7(x)取得極小值，為*)=；+g—2+1=一/.故選B.

7.已知函數y(x)=21nx+or2—3x在x=2處取得極小值，則外)的極大值為()

A.2B.-?C.3+In2D.-2+21n2

2

7.答案B解析由題意得，/(x)=1+2Or—3,在x=2處取得極小值，二/(2)=4“-2=0,解得

I12(X—I)(JC—2)

a=y.?J(x)=21nx+/一3x,/(x)=f+χ-3=----------------,.?∕(x)在(0,1),(2,+s)上單調遞增，在

(1,2)上單調遞減，.Mx)的極大值為TU)=B—3=—|.

8.已知函數4r)=xlnx,貝∣J()

A.危)的單調遞增區(qū)間為(e,+∞)B./)在(0,匕是減函數

C.當x∈(0,1］時，兀0有最小值一FD.y(x)在定義域內無極值

8.答案BC解析因為/(x)=lnx+l(x>O),令/(x)=0,所以x=：,當Xe(0,時，/(x)<0,當X

e(?+∞)時，/(χ)>0,所以共χ)在(θ,3上單調遞減，在(：，+θθ)上單調遞增，X=F是極小值點，所

以A錯誤，B正確；當X∈(0,1］時，根據單調性可知，yU)min=OT,故C正確；顯然於)有極小

值；ɑ),故D錯誤.故選BC.

f+X-1

9.(多選)已知函數危)=一^7—，則下列結論正確的是()

A.函數yu)存在兩個不同的零點

B.函數人犬)既存在極大值又存在極小值

C.當一e<?≤0時，方程TU)=人有且只有兩個實根

D.若X∈∣7,+8)時，Kx)max=/,則/的最小值為2

-l±λ∕5,,_.X2-X-2

9.答案ABC解析由∕U)=0,得/+χ—1=0,；?無=?)故A正確?f(x)=—=

i(X+1)(X—2)..,

----g----當x∈(-8,-1)U(2,+8)時，/(x)<0,當x∈(—1,2)時，/(x)>O,.?√(x)在(一8,-

1),(2,+oo)上單調遞減，在(-1,2)上單調遞增，.VA-I)是函數的極小值，,?2)是函數的極大值，故B

正確.又4-1)=-e,7(2)=^,且當XT-OO時，40—+oo,x-+oo時，y(x)-0,.?Ax)的圖象如圖所示，

由圖知C正確，D不正確.

10.若函數y(x)=(l-x)α2+ox+b)的圖象關于點(一2,0)對稱，Xi,X2分別是段)的極大值點與極小值點,

則X2—X1=.

10.答案一2√5解析因為函數y(x)=(l—x)(f+αx+6)的圖象關于點(-2,0)對稱，且人1)=0,所以

Λ-5)=0,Λ-2)=0,所以x=—2,》=-5是方程/+αv+6=0的兩個根.由根與系數的關系可得，

a=7,匕=10,所以40=(1—X)(Λ2+7X+10),所以y(X)=—(f+7X+10)+(1-X)(2X+7)=-3(X2+4X

+1).又因為X1,X2分別是y(x)的極大值點與極小值點，所以X1,X2是X2+4X+1=0的兩個根，且X1>X2.解

方程可得，Xl=-2+小，X2=—2—小，所以田一xi=-2??∕5.

11.已知函數,/(x)=e*(χ-1)—ge"『，a<0.

(1)求曲線y=∕U)在點(0,負0))處的切線方程;

(2)求函數大幻的極小值.

II.解析(1)因為式x)=σv(χ-1)—∕e"/,所以了(X)=Xe*-χe".所以火0)=-1,/(0)=0.

所以曲線y=∕(x)在點、(0,10))處的切線方程為)，=-1.

(2)f(x)-xe'-χea-x(c,c—ea),令/(x)=0,得X=O或X="(α<0).

y(x)與『(X)在R上的變化情況如表：

X(—8,a)a5，0)0(0,+∞)

f(x)+0—0+

於)

由表可知，當X=O時，式x)有極小值式0)=—1.

?v+2

12.已知函數<x)e=—^二.

(1)求函數./(X)的圖象在(1,./U))處的切線方程;

(2)證明：函數應r)僅有唯一的極小值點.

12.解析(1)因為了(X)=y/—,所以切線斜率Z=∕(l)=-2.

又因為41)=e+2,所以切線方程為y-(e+2)=—2(χ-l),即2x+y-e—4=0.

(2)證明：令〃(X)=e*(x—1)—2,則∕f(x)=e*?x,所以x∈(-00,0)時，h'(x)<0,

,

x∈(0,+00)時，∕J(Λ)>0.當X∈(-8,0)時，易知∕ι(χ)<O,

所以/(x)<o,汽用在(一8,0)上沒有極值點.

當x∈(0,+8)時,因為〃(1)=一2<0,Λ(2)=e2-2>0,

所以/(l)<0,/(2)>0,Kr)在(1,2)上有極小值點.

又因為〃(x)在(0,+8)上單調遞增，所以函數式X)僅有唯一的極小值點.

考點三已知函數的極值(點)求參數的值(范圍)

【方法總結】

由函數極值求參數的值或范圍

討論極值點有無(個數)問題，轉化為討論八X)=O根的有無(個數).然后由己知條件列出方程或不等式

求出參數的值或范圍，特別注意：極值點處的導數為0,而導數為0的點不一定是極值點，要檢驗導數為0

的點兩側導數是否異號.

【例題選講】

[例1](I)若函數?∕(X)=X(X-皿)2在X=I處取得極小值，則m=.

答案1解析由/(1)=0可得機=1或相=3.當機=3時，/(x)=3(x—l)(x—3),當l<x<3時，/(x)

<0；當x<l或x>3時，/(x)>0,此時,/(X)在X=I處取得極大值，不合題意，當朋=1時，/(X)=(X-1)(3X

-I).當呆x<l時，/(Λ)<0:當X<∣或X>1時，/(x)>0,此時y(x)在X=I處取得極小值，符合題意，所以機

=1.

(2)已知危)=/+3??+版+/在χ=-ι處有極值0,則α+∕7=.

l?(—1)=0,(〃=1,(〃=2,

答案11解析f(x)=3x2+6cιx+b,由題意得L1、C解得彳，r或tC當α=l,b=3

IA-1)=0,[b=3[b=9,

時，∕α)=3f+6x+3=3(x+l於0,???於)在R上單調遞增，???於)無極值，所以α=l,匕=3不符合題意，

當α=2,。=9時，經檢驗滿足題意.Λr∕÷?=11.

(3)若函數於)的導數了(X)=G-I)(X—?*(QI"∈Z),已知X=Z是函數/)的極大值點，則k=.

答案1解析因為函數的導數為/(x)=G-I)(X—4)*，mkGZ,所以若k是偶數,則X=A不是

極值點，則”是奇數，若k<∣,由/(x)>0,解得或XC%；由/(x)<0,解得k<x<∣,即當X=Z時，函數“r)

取得極大值.因為上ez,所以上=1.若由/(x)>0,解得QA或x<∣;由/(x)<0,解得|44,即當X

=&時，函數/外取得極小值，不滿足條件.

(4)設函數/U)=InX辦2—bx,若x=l是/(x)的極大值點，則α的取值范圍為.

答案a>—1解析Kr)的定義域為(0,+∞),f(x)=^-ax-b,由/(1)=0,得6=1一”，所以/(x)=T

—4x-十1十Or-X-(Or十I)(X-?)?,..?,,,.,,..

-ax+a-l=----------------------=-------r------①若a>0,當OaCl時,/(x)>0,√(x)單調遞rτ增1；ii當x>?時，

了(x)<0,y(x)單調遞減，所以x=l是y(x)的極大值點.②若α<0,由F(X)=0,得X=I或X=-］.因為X=I

是yω的極大值點，所以一卜1,解得一ι<q<o.綜合①②得。的取值范圍是心-1.

(5)若函數TU)=竿一(l+2α)x+21ιu?(α>0)在區(qū)間6，1)內有極大值，則”的取值范圍是()

A.(?,+∞')B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)

答案C解析&x)="—(l+2.)+［=竺三WQ土(α>O,x>O),若火X)在區(qū)間弓，1)內有極大值，

H1

rZjx不一］(2α+l)+2

即/(X)=O在Q,1)內有解，且/(X)在區(qū)間d，1)內先大于0,后小于0,貝小八即1i'l'

1/wo,2

、a—(2.+1)+2<0,

解得l<α<2,故選C.

(6)若函數4x)=x2—x+αhw在［1,+s)上有極值點，則實數4的取值范圍為；

答案(-8,-1］解析函數兀C)的定義域為(O,+8),/(χ)=21+f=iY，由題意知2?

-χ+α=O在R上有兩個不同的實數解，且在［1,+8)上有解，所以/=1-84>0,且2xl2-ι+0≤o,所以

a∈(―co,-1］.

(7)已知函數/U)=X(InΛ-or)有兩個極值點，則實數Q的取值范圍是.

答案(。，I)解析fix)=x()nχ-cιx),定義域為(O,+∞),/(x)=l+Inx-20x.由題意知，當x>0時，

1+lor—2Or=O有兩個不相等的實數根，即2〃=上詈?有兩個不相等的實數根,令Pa)=上野W(A>()),.?.”(χ)

—InX

???-.當O<x<l時，d(x)>O;當x>l時，φ?x)<O,；.p(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+s)上單調遞減，

且￠(1)=1,當x?→0時，φ(χ)→-∞,當XT+8時，φ(χ)→O,則0<2α<l,即0<α<^.

(8)(202卜全國乙)設在0,若x="為函數於)="(x—“)2。一切的極大值點，貝∣J()

A.a<bB.a>bC.atx<rD.ab>a2

答案D解析法一(特殊值法)當α=l,b=2時，函數yU)=(x—1)2。-2),畫出該函數的圖象如

圖1所示，可知x=l為函數於)的極大值點，滿足題意.從而，根據〃=1,6=2可判斷選項B,C錯誤；

當a=-1,6=—2時，函數y(x)=—(X+1)2(X+2),畫出該函數的圖象如圖2所示，可知X=-I為函數應￥)

的極大值點，滿足題意.從而，根據〃=-1,〃=一2可判斷選項A錯誤.

法二(數形結合法)當“>0時，根據題意作出函數y(x)的大致圖象，如圖3所示，觀察可知

當“<0時，根據題意作出函數式x)的大致圖象，如圖4所示，觀察可知”>6.

綜上，可知必有">/成立.故選D.

2

[例2]已知曲線段)=肥”一字比3一α?,α∈R.

(1)當α=0時,求曲線y=y(x)在點(Lx1))處的切線方程；

(2)若函數y=∕(x)有三個極值點，求實數〃的取值范圍.

解析⑴當〃=0時，J(x)=xex^>f(x)=ev+xeA=>f(1)=2e,

又y∏)=e,故曲線y=∕(x)在x=l處的切線方程為y—e=2e(χ-l),化簡得y=2eχ-e.

(2)因為/(x)=et(x+1)-2cιx(x+l)=(x+l)(ev-2cιx),

所以令/(x)=O=(X+l)(e'-20c)=0=x+l=0或ex~2ax=0,

由于函數y=7(x)有三個極值點，所以方程ex-2ax=0必有兩個不同的實根，

x,

設g(x)=e-2axf貝Ug(x)=e?'-2a,

易知好0時，/(x)>0,g(x)在R上單調遞增，不合題意，故〃>0,所以g(x)的兩個零點必為正數.

令g<x)=0ne'_2α=0=x=ln(24),

,

所以在x∈(—8,ln(2α))時,g(x)<09g(x)單調遞減；在κ∈(ln(2α),+oo)?,√(x)>0,g(x)單調遞增.

依題意，要使得函數g(x)=e"-20x有兩個不同的零點五1,x2(x?<x2)^則g(x)min=g(ln(24))<0,

于是”3)—2Hn(2Q)<0=2α-2Hn(24)<0=l—ln(24)vθn4>].

e

所以當。得時，在x∈(-8,—1)時，/(x)<0,./U)單調遞減，在X∈(-1,X])時，/(x)>O,yω單調遞增，

在?∈(Xι,M)時,/(x)<o,yu)單調遞減，在XWa2,+8)時，Fa)>o,yu)單調遞增.

故實數”的取值范圍是+∞).

【對點訓練】

I.若函數y(x)=(x+α)e*的極值點為1,則a=()

A.-2B.-1C.OD.1

I.答案A解析/(x)=ev+(Λ+α)e'=(x+a+l)ev.由題意知/(l)=e(2+4)=0,.'.a——2.故選A.

2.已知函數,ZU)=X(X—Cp在x=2處有極小值，則實數C的值為()

A.6B.2C.2或6D.O

2.答案B解析由/(2)=0可得c=2或6.當c=2時，結合圖象(圖略)可知函數先增后減再增，在X

=2處取得極小值；當c=6時，結合圖象(圖略)可知，函數在x=2處取得極大值.故選B.

3.已知函數/(x)=OX3+fer2+cx-17(α,h,c∈R)的導函數為/(x),了(X)Wo的解集為{x|一2Wx≤3},若/(x)的

極小值等于一98,則α的值是()

81]

A.-22B.?C.2D.5

3.答案C解析由題意，/(X)=3οv2+2fer+c,因為/(x)WO的解集為*|一2"3},所以〃>0,且一2+

3=一卷一2x3=*則3a=-26C=-184,?r)的極小值為火3)=27α+%+3c—17=—98,解得α

=2,b=—3,c=-36,故選C.

4.若函數7U)=Λ3-2CX2+x有極值點，則實數C的取值范圍為.

4.答案(一8,一坐)U惇，+∞j解析若函數y(x)=x3-2cr2+X有極值點，則/(x)=3x2-4CX+1

=O有兩個不等實根，故J=(-4C)2-12>0,解得c>坐或c<—乎.所以實數C的取值范圍為

(-8,-坐)U停,+J

5.設α∈R,若函數y=e'+or,x∈R有大于零的極值點，則實數”的取值范圍是.

5.答案(一8,—1)解析由y=e*+α=O得X=In(―α)(α<0),顯然X=Ill(一〃)為函數的極小值點，

又In(―4)>0,Λ-a>?,即?！匆?.

6.若函數7U)=(2-4)[(χ-2)e"—%χ2+/在6，1)上有極大值，則實數。的取值范圍為()

A.(√e,e)B.(y[e,2)C.(2,e)D.(e,÷∞)

6.答案B解析令/(X)=(2—a)(x-l)(eA-a)=0,得X=Inaee，1)，解得。七(/，e),由題意知，

當x∈Q,InJ時，/(χ)>0,當x∈(lnq,1)時，/(x)<0,所以2—4>0,得α<2.綜上，α∈(√e,2).故選

B.

7.已知函數Kr)=竟一4x在(1,+oo)上有極值，則實數4的取值范圍為()

A.(一8,?B.(一8，C.(0,；D.0,I

InY-1InY—1i

7.答案B解析八X)=而彳?一a，設g(x)=而彳=右一,，因為函數./U)在(1，+⑼上有極值，

所以/(x)=g(x)-。有