點(diǎn)群和空間群^^1點(diǎn)群和空間群^^1晶體對(duì)稱性^^2晶體對(duì)稱性^^2^^3^^3^^4^^4^^5^^5§1晶體的特殊對(duì)稱性——對(duì)稱操作四種基本的操作——轉(zhuǎn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)）、反演、鏡象（反映）、象轉(zhuǎn)軸（旋轉(zhuǎn)反映）。1.轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作設(shè)晶體外形為一立方體，沿圖中所示轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)900，外形與原來重合。這樣的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作。該軸稱為轉(zhuǎn)動(dòng)軸。如果轉(zhuǎn)動(dòng)1800等晶體都保持外形重合。一、轉(zhuǎn)動(dòng)^^6§1晶體的特殊對(duì)稱性——對(duì)稱操作四種基本的操作——轉(zhuǎn)動(dòng)（2.轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作的種類由于受晶格周期性的限制，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度并不是任意的。而是遵循一定的規(guī)律。AB是晶列上最近鄰兩格點(diǎn)的距離。

B1

ABA1^^72.轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱操作的種類AB是晶列上最近鄰兩格點(diǎn)的距離。^^8^^83.n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸(rotationaboutanaxis)(1)定義

晶體繞某一固定軸u旋轉(zhuǎn)角度2

/n以后，能自身重合，則稱u為n度(或n次)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。n只能取1，2，3，4，6。

晶體不能有5度或6度以上的轉(zhuǎn)軸。(2)對(duì)稱軸表示方式①熊夫利(Schoenfliesnotation)符號(hào)表示

C1、C2、C3、C4、C6。②國際符號(hào)(Internationalnotation)表示

1、2、3、4、6。^^93.n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸(rotationaboutanax4.對(duì)稱軸度數(shù)符號(hào)表示度數(shù)n2346符號(hào)^^104.對(duì)稱軸度數(shù)符號(hào)表示度數(shù)n2346符號(hào)^^105.

長方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面內(nèi)周期性重復(fù)排列。正五邊形及其它正n邊形則不能作周期性重復(fù)排列。^^115.長方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面內(nèi)周期性重晶體中不可能出現(xiàn)5次軸或高于6次的對(duì)稱軸。這是由于它們不符合空間格子構(gòu)造規(guī)律。只有1、2、3、4、6次五種對(duì)稱軸才能按空間格子中結(jié)點(diǎn)分布要求構(gòu)成面網(wǎng)網(wǎng)孔，不留間隙地排滿整個(gè)平面。

^^晶體中不可能出現(xiàn)5次軸或高于6次的對(duì)稱軸。這是由于它們不符合二、中心反演(中心反映)1.中心反演如圖所示，有對(duì)稱心i，晶體中任一點(diǎn)A過中心i

連線Ai并延長到A'，使Ai=A'

i,A與A'是等同點(diǎn)，

i點(diǎn)稱為對(duì)稱心。2.表示方式(1)熊夫利符號(hào)表示——i;(2)國際符號(hào)表示——例：立方體的中心就是對(duì)稱中心。如果將對(duì)稱心放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，則有(x,y,z)點(diǎn)與(-x,-y,-z)點(diǎn)等同。^^13二、中心反演(中心反映)1.中心反演2.表示方式(2)國際符三、鏡象(鏡面反映、對(duì)稱面)1.鏡象

如圖所示，A和A’等同，如同鏡子一樣。O-xy相當(dāng)于鏡面。2.表示方式(1)熊夫利符號(hào)表示——

;(2)國際符號(hào)表示——m。^^14三、鏡象(鏡面反映、對(duì)稱面)1.鏡象O-xy相當(dāng)于鏡面。2四、n度旋轉(zhuǎn)—反演軸(象轉(zhuǎn)軸)1.象轉(zhuǎn)軸(1)定義

先繞u軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

/n，再經(jīng)過中心反演，晶體自動(dòng)重合，則稱u軸為n度旋轉(zhuǎn)—反演軸，又稱為n度象轉(zhuǎn)軸。只有1，2，3，4，6。(2)符號(hào)表示2.象轉(zhuǎn)軸解析^^15四、n度旋轉(zhuǎn)—反演軸(象轉(zhuǎn)軸)1.象轉(zhuǎn)軸2.象轉(zhuǎn)軸解析^^1(1)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是對(duì)稱心i。A點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸(z軸)旋轉(zhuǎn)3600，在經(jīng)過中心反演到A'點(diǎn)，晶體完全重合。實(shí)際上即為中心反演^^16(1)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是對(duì)稱心i。A點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸(2)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是對(duì)鏡象m。和O-xy對(duì)稱面的操作相當(dāng)。^^17(2)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是對(duì)鏡象m。和O-xy對(duì)稱^^18^^18(3)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是3度轉(zhuǎn)軸＋對(duì)稱心(i)^^19(3)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是3度轉(zhuǎn)軸＋對(duì)稱心(i)^^^20^^20(3)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是3度轉(zhuǎn)軸＋對(duì)稱面(m)^^21(3)象轉(zhuǎn)軸——實(shí)際上就是3度轉(zhuǎn)軸＋對(duì)稱面(m)^^22^^22(3)象轉(zhuǎn)軸^^23(3)象轉(zhuǎn)軸^^23^^24^^24結(jié)論：晶體的宏觀對(duì)稱性中有以下八種基本的對(duì)稱操作：1，2，3，4，6，,m,

。這些基本的操作組合起來，就可以得到32種不包括平移的宏觀操作類型。^^25結(jié)論：^^25五、晶體的微觀對(duì)稱操作

1.n度螺旋軸晶體繞u軸每轉(zhuǎn)2

/n角度后，再沿該軸的方向平移T/n的l

倍，則晶體中的原子和相同的原子重合(其中l(wèi)為小于n的整數(shù)；T為沿u軸方向上的周期矢量)。晶體只能有1，2，3，4，6度螺旋軸。如圖所示，為4度螺旋軸。晶體繞軸轉(zhuǎn)900后，再沿該軸平移a/4，能自身重合。^^26五、晶體的微觀對(duì)稱操作1.n度螺旋軸^^262.滑移反映面經(jīng)過該面的鏡象操作以后,再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n的距離(T是該方向上的周期矢量，n為2或4)，晶體中的原子和相同的原子重合。^^272.滑移反映面^^27(1)三個(gè)相互垂直的四度軸例題1：立方系的對(duì)稱性簡析。^^28(1)三個(gè)相互垂直的四度軸例題1：立方系的對(duì)稱性簡析。^^(2)四個(gè)三度軸(空間對(duì)角線)^^29(2)四個(gè)三度軸(空間對(duì)角線)^^29(3)六個(gè)2度軸^^30(3)六個(gè)2度軸^^30(5)六個(gè)和2度軸垂直的對(duì)稱面(4)三個(gè)和四度軸垂直的對(duì)稱面^^31(5)六個(gè)和2度軸垂直的對(duì)稱面(4)三個(gè)和四度軸垂直的對(duì)稱面例題2：金剛石的對(duì)稱性簡析—正四面體的對(duì)稱操作四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂角上^^32例題2：金剛石的對(duì)稱性簡析—正四面體的對(duì)稱操作四個(gè)原子位于1.繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)

^^331.繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)^^332.繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)^^342.繞4個(gè)立方體對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)^^343.繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演^^353.繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演^^354.繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)

加上中心反演^^364.繞6條面對(duì)角線軸轉(zhuǎn)動(dòng)加上中心反演^^36例題3正六面柱的對(duì)稱性分析

1.繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)——5個(gè)3.繞相對(duì)面中心連線轉(zhuǎn)動(dòng)π

——3個(gè)4.正交變換——1個(gè)5.以上12個(gè)對(duì)稱操作加中心反演仍是對(duì)稱操作——正六面柱的對(duì)稱操作有24個(gè)2.繞對(duì)棱中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)π

——3個(gè)^^37例題3正六面柱的對(duì)稱性分析1.繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)——5^^38^^38不考慮晶體的平移對(duì)稱性,晶體的宏觀對(duì)稱性^^39不考慮晶體的平移對(duì)稱性,晶體的宏觀對(duì)稱性^^39晶體中不包括平移在內(nèi)，只能有8種獨(dú)立的基本對(duì)稱元素,即C1,C2,C3,C4,C6,m,i和4。一個(gè)晶體可以有不只一個(gè)對(duì)稱元素,但各個(gè)對(duì)稱元素組合起來時(shí),必須滿足一定的關(guān)系.不考慮晶體的平移對(duì)稱性,晶體的宏觀對(duì)稱性只可能有32種不同的組合方式——即32種對(duì)稱類型。32種點(diǎn)群^^40晶體中不包括平移在內(nèi)，只能有8種獨(dú)立的基本對(duì)稱元素,即C17大晶系與32點(diǎn)群的對(duì)應(yīng)關(guān)系。^^417大晶系與32點(diǎn)群的對(duì)應(yīng)關(guān)系。^^41將32種對(duì)稱性可劃分為7種晶系2）7大晶系和32晶體學(xué)點(diǎn)群關(guān)系^^將32種對(duì)稱性可劃分為7種晶系2）7大晶系和32晶體學(xué)點(diǎn)群三、32種晶體學(xué)點(diǎn)群^^三、32種晶體學(xué)點(diǎn)群^^三、32種晶體學(xué)點(diǎn)群^^三、32種晶體學(xué)點(diǎn)群^^^^45^^45^^46^^46^^47^^47^^^^^^49^^49230種晶體學(xué)空間群除了宏觀對(duì)稱要素之外，還有平移、平移與旋轉(zhuǎn)結(jié)合形成的螺旋對(duì)稱軸、平移和反映結(jié)合形成的滑移面等微觀對(duì)稱要素。宏觀對(duì)稱要素和微觀對(duì)稱要素在三維空間的組合，稱為空間群。經(jīng)過嚴(yán)格證明可以得出，晶體中可能存在230種空間群，任何一種晶體的微觀結(jié)構(gòu)屬于且只屬于230種空間群之一。^^230種晶體學(xué)空間群除了宏觀對(duì)稱要素之外，還有平移、平移與旋對(duì)稱型（點(diǎn)群）與空間群的差別晶體對(duì)稱型與空間群之差異，即是否有平移操作。點(diǎn)群無平移的原因:A、晶體幾何外形是有限的，平移操作是不能成立B、對(duì)稱型中所有對(duì)稱要素都必須是共點(diǎn)。C、晶體外部對(duì)稱上不存在的滑移面和螺旋軸等微觀上特有的對(duì)稱要素。點(diǎn)群與空間群的關(guān)系晶體外形的對(duì)稱性僅有32個(gè)點(diǎn)群，而晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性卻有320種空間群。晶體外形的對(duì)稱性是晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的反映。屬于同一點(diǎn)群的晶體不一定屬于同一空間群。換言之，空間群不同的幾種晶體，可屬于同一點(diǎn)群，這是由于晶體微觀結(jié)構(gòu)對(duì)稱性反映到晶體外形上時(shí)，晶體結(jié)構(gòu)上所包含的平移群，都被其均勻性所掩蓋的緣故。^^對(duì)稱型（點(diǎn)群）與空間群的差別點(diǎn)群與空間群的關(guān)系晶體外形的對(duì)稱^^52^^52^^53^^53^^54^^547大晶系立方晶系四方晶系正交晶系菱方晶系單斜晶系三斜晶系六方晶系立方晶系四方晶系菱方晶系六方晶系正交晶系單斜晶系三斜晶系注意：準(zhǔn)確的說劃分晶系的依據(jù)是特征對(duì)稱性而不是晶胞參數(shù)。按照晶胞6個(gè)點(diǎn)陣常數(shù)（a,b,c,,,）之間的關(guān)系特點(diǎn)，將晶體劃分為7種晶系。^^7大晶系立方晶系四方晶系正交晶系菱方晶系單斜晶系三斜晶系六方^^56^^5614種布拉菲點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)在單胞中的4種分布方式：

簡單點(diǎn)陣（P）:結(jié)點(diǎn)均在角頂上

底心點(diǎn)陣(C):除角頂外每一對(duì)面上各有一個(gè)結(jié)點(diǎn)

體心點(diǎn)陣(I):除角頂外中央有一個(gè)結(jié)點(diǎn)

面心點(diǎn)陣(F):除角頂外每個(gè)面上均還有一個(gè)結(jié)點(diǎn)

根據(jù)點(diǎn)陣參數(shù)的特點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的分布，所有晶體空間點(diǎn)陣的種類有14種。單胞中結(jié)點(diǎn)數(shù)目：

簡單(原始)點(diǎn)陣:

1

面心點(diǎn)陣：4

底心點(diǎn)陣：2

體心點(diǎn)陣：2簡單點(diǎn)陣:1［［000］］體心點(diǎn)陣:2[000][1/21/21/2]

底心點(diǎn)陣:2[000][1/21/20]面心點(diǎn)陣:4[000][1/21/20][1/201/2][01/21/2]按照結(jié)點(diǎn)在7大種晶系上的不同分布方式，可形成14種布拉菲點(diǎn)陣。^^14種布拉菲點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)在單胞中的4種分布方式：

簡單點(diǎn)陣（P）立方晶系四方晶系正交晶系菱方晶系單斜晶系三斜晶系六方晶系1簡單立方8簡單正交2面心立方9底心正交3體心立方10