3－4序偶與笛卡爾積

一、序偶

定義:由兩個(gè)元素x,y按照一定的次序組成的二元組稱為有序偶對(序偶),記作<x,y>,其中x為第一個(gè)元素，y為第二個(gè)元素。常常表達(dá)兩個(gè)客體之間的關(guān)系。3－4序偶與笛卡爾積 一、序偶序偶與笛卡爾積例：平面上點(diǎn)的坐標(biāo)<x,y>；中國地處亞洲<中國，亞洲>等都是序偶。序偶與集合的區(qū)別

定義兩個(gè)序偶相等

<x,y>＝<u,v>當(dāng)且僅當(dāng)x=u且y=v序偶與笛卡爾積例：平面上點(diǎn)的坐標(biāo)<x,y>；中國地處亞洲<中序偶與笛卡爾積序偶的概念可以推廣到三元組三元組是一個(gè)序偶，其第一元素本身也是序偶，可形式化表示為<<x,y>,z><x,y,z>?<y,x,z>

<x,<y,z>>同理四元組被定義為一個(gè)序偶，其第一元素為三元組。定義由N個(gè)元素a1,a2,a3,…,an按照一定的次序組成的N元組稱為N重有序組，記作<a1,a2,a3,…,an>即：<a1,a2,a3,…,an>＝<<a1,a2,a3,…,an-1>,an>。序偶與笛卡爾積序偶的概念可以推廣到三元組序偶與笛卡爾積例：a年b月c日d時(shí)e分f秒可用下述六重有序組來描述：<a,b,c,d,e,f>。

性質(zhì):

<a1,a2,a3,...,an>＝<b1,b2,b3,…，bn>當(dāng)且僅當(dāng)ai＝bi。(i＝1,2,3,...n)。序偶與笛卡爾積例：a年b月c日d時(shí)e分f秒可用下述六重有序組序偶與笛卡爾積二、笛卡爾積定義設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若序偶的第一個(gè)成員是A的元素，第二個(gè)成員是B的元素，所有這樣序偶的集合，稱為A和B的笛卡爾積或直積。記作A×B：A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}。序偶與笛卡爾積二、笛卡爾積序偶與笛卡爾積例題若A={a,b},B={1,2,3}，求AxB，BxA，AxA，BxB因此，一般情況下，對任何兩個(gè)集合A、B，

當(dāng)A≠B時(shí)，有：A×B≠B×A，當(dāng)A＝B時(shí)，有：A×B＝B×A＝A2。約定：如果A=Φ，或者B=Φ，則AxB=Φ序偶與笛卡爾積例題笛卡爾積三條基本性質(zhì)： 1. A

=

且

A=

2. 不滿足交換律，即A

B不一定等于B

A。 3. 不滿足結(jié)合律，即(A

B)

C不等于A

(B

C)。序偶與笛卡爾積序偶與笛卡爾積笛卡爾積有如下性質(zhì)(續(xù))： 4.笛卡爾積運(yùn)算對并和交運(yùn)算滿足分配律，即： A

(B

C)=(A

B)

(A

C)A

(B

C)=(A

B)

(A

C) (A

B)

C=(A

C)

(B

C) (A

B)

C=(A

C)

(B

C)5.若C非空，則 A

B

ACBC

CA

CB序偶與笛卡爾積笛卡爾積有如下性質(zhì)(續(xù))：序偶與笛卡爾積定理：設(shè)A,B,C,D為4個(gè)非空集合，則ABCD的充要條件是A

C，B

D序偶與笛卡爾積定理：設(shè)A,B,C,D為4個(gè)非空集合，則ABCD定義設(shè)A1，A2，…，An是N個(gè)集合，稱下述集合：A1×A2×…×An＝{<a1,a2,…,an>|(ai∈Ai)∧i∈{1,2,…,n}}為由A1，A2，A3，...，An構(gòu)成的笛卡爾積。當(dāng)A1＝A2＝…＝An時(shí)，A1×A2×…×An＝An。序偶與笛卡爾積定義設(shè)A1，A2，…，An是N個(gè)集合，稱下述集合：A1×A世界上存在著各種各樣的關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，關(guān)系可以表達(dá)集合中元素間的聯(lián)系。

如：”x>y”,”點(diǎn)a在b和c之間”。序偶可以表達(dá)兩個(gè)客體或多個(gè)客體之間的聯(lián)系，因此用序偶表達(dá)關(guān)系。3-5關(guān)系及其表示世界上存在著各種各樣的關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，關(guān)系可以表達(dá)集例如，電影票與座位之間有對號關(guān)系，設(shè)X表示電影票的集合，Y表示座位的集合，R表示“對號”關(guān)系，則對于任意的x∈X，y∈Y，必有x與y有對號關(guān)系和沒有對號關(guān)系兩種情況中的一種。上述問題可表達(dá)為xRy或xRy，也可記為<x,y>∈R

或<x,y>

R。由此可見對號關(guān)系R是一個(gè)序偶的集合。例如，電影票與座位之間有對號關(guān)系，設(shè)X表示

一、關(guān)系 定義任一序偶的集合確定了一個(gè)二元關(guān)系R，R中任一序偶<x,y>可記為<x,y>∈R或xRy。 不在R中任一序偶<x,y>可記為<x,y>

R，或xRy。例如：在實(shí)數(shù)中關(guān)系>可記為3-5、關(guān)系及其表示

定義 設(shè)R為二元關(guān)系，由<x,y>∈R的所有x組成的集合稱為R的前域，即

domR={x|

y(xRy)}

使<x,y>∈R的所有y組成的集合稱為R的值域，即

ranR={y|

x(xRy)}

R的前域和值域一起稱為R的域，記作FLD

R，即 FLD

R=domR∪ranR 一、關(guān)系 定義任一序偶的集合確定了一個(gè)二元關(guān)系R，R中任例：設(shè)A={1,2,3,5},B={1,2,4},H={<1,2>,<1,4>,<2,4>,<3,4>}，求domH,ranH,FLDH關(guān)系及其表示解：例：設(shè)A={1,2,3,5},B={1,2,4},H={<1關(guān)系及其表示定義設(shè)A，B為兩個(gè)集合，直積AxB的任何一個(gè)子集R稱為從A到B的關(guān)系，簡稱關(guān)系(Relation)。特殊的，當(dāng)A=B時(shí)，關(guān)系R是AxA的子集，這時(shí)稱R為A上的二元關(guān)系。關(guān)系及其表示定義設(shè)A，B為兩個(gè)集合，直積AxB的任何一個(gè)子關(guān)系及其表示關(guān)系及其表示關(guān)系及其表示例題設(shè)X={1,2,3,4}，求X上的關(guān)系<及dom<和ran<關(guān)系及其表示例題設(shè)X={1,2,3,4}，求X上的關(guān)系<關(guān)系及其表示

關(guān)系的數(shù)目：由于任何A×B的子集都是一個(gè)二元關(guān)系，按照子集的定義，知A×B共有個(gè)不同的子集。因此，從A到B不同的關(guān)系共有個(gè)。

全域關(guān)系：A×B的平凡子集A×B稱為A到B的全域關(guān)系

空關(guān)系：A×B的平凡子集

稱為A到B的空關(guān)系

恒等關(guān)系：設(shè)IA是A的二元關(guān)系且滿足IA={<x,x>|x

A},則稱IA是A上的恒等關(guān)系關(guān)系及其表示 關(guān)系的數(shù)目：由于任何A×B的子集都是一個(gè)二元二、關(guān)系運(yùn)算因?yàn)殛P(guān)系是序偶的集合，同一域上的關(guān)系，可以進(jìn)行集合的所有運(yùn)算。設(shè)R，S都是集合A到B的兩個(gè)關(guān)系，則：R∪S＝{<x,y>|(xRy)∨(xSy)}R∩S＝{<x,y>|(xRy)∧(xSy)}R-S＝{<x,y>|(xRy)∧(xSy)}

~R={<x,y>|(xy)}

~R＝A×B-R

~R∪R＝A×B

~R∩R＝Φ。關(guān)系及其表示二、關(guān)系運(yùn)算關(guān)系及其表示關(guān)系及其表示例：設(shè)A＝{a,b,c},B＝{1,2}， R＝{<a,1>,<b,2>,<c,1>}， S＝{<a,1>,<b,1>,<c,1>}，則： R∪S＝； R∩S＝； R-S＝；

~R＝關(guān)系及其表示例：設(shè)A＝{a,b,c},B＝{1,2}，關(guān)系及其表示三、關(guān)系的表示法1.集合表示法2.關(guān)系矩陣3.關(guān)系圖法關(guān)系及其表示三、關(guān)系的表示法關(guān)系及其表示1.序偶集合表示法例1)、設(shè)A＝{2},B＝{3},關(guān)系R＝{<2,3>} 2)、如定義集合N上的“小于等于”關(guān)系：R＝{<x,y>|(x,y

N)∧(x≤y)}。關(guān)系及其表示1.序偶集合表示法2.關(guān)系矩陣

設(shè)A＝<a1,a2,a3,...,an>，B＝<b1,b2,b3,...,bm>，R是從A到B的一個(gè)二元關(guān)系，則對應(yīng)于關(guān)系R之關(guān)系矩陣MR＝（rij)n×m。其中：稱MR為R的鄰接矩陣。關(guān)系及其表示2.關(guān)系矩陣 關(guān)系及其表示例：設(shè)A＝{2，3，4｝，B＝{1，2，4｝.考慮從A到B的“大于等于”關(guān)系R和“小于等于”關(guān)系S：R＝{<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>,<4,1>,<4,2>,<4,4>}，S＝{<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>｝。寫出R，S的關(guān)系矩陣。解：關(guān)系及其表示例：設(shè)A＝{2，3，4｝，B＝{1，2，4｝.關(guān)系及其表示三、關(guān)系圖法 如R是定義在X＝{x1,x2,x3,...,xn}到Y(jié)＝{y1,...,ym}上的關(guān)系，則對應(yīng)于關(guān)系R有如下規(guī)定：①.在平面上作出n個(gè)節(jié)點(diǎn)分別記作x1,...,xn，再做m個(gè)節(jié)點(diǎn)記作y1,...,ym②.如<xi,yj>

R,則從xi到y(tǒng)j可用一有向邊相連。其箭頭指向yj，如<xi,yj>

R,則xi到y(tǒng)j沒有弧連接。這種方法連接起來的圖稱為R的關(guān)系圖。關(guān)系及其表示三、關(guān)系圖法關(guān)系及其表示例：

設(shè)A＝{a1,a2,a3,…,a6｝是六個(gè)人，B＝{1，2，3｝是三套房間，考慮A到B之間的一種住宿關(guān)系R，如ai住房間j,則有<ai,j>

R,現(xiàn)假設(shè)：R＝{<a1,1>,<a2,3>,<a3,1>, <a4,2>,<a5,3>,<a6,2>}則此關(guān)系R的關(guān)系圖如下：關(guān)系及其表示例：設(shè)A＝{a1,a2,a3,…,a6｝是六個(gè)人，B＝