1.對任意”階方陣AB總有()

A.AB=BAB.|AB|=|剛

C.(AB)r=ArBrD.(AB)2=A2B2

答案：B

2.在下列矩陣中，可逆的是()

「000、門10、

A.010B.220

Nob、oob

(110、<100、

C.011D.111

121u01,

答案：D

3.設(shè)A是3階方陣,且|A|=-2,,則忙［=()

1

B.——

2

1

C.-

2

答案：B

11、

4.設(shè)矩陣A=121的秩為2,則2=()

、232+1,

答案:B

提示：顯然第三行是第一行和第二行的和

口0P

5.設(shè)4=020,矩陣X滿足方程AX+E=A2+X,求矩陣X.

J0b

’20P

答案：X=030

J02,

解：AX+E=A2+X=>(A-E)X=A2-E

<10P’00P

A=020nA—E=010

UobU00,

顯然A—E可逆，所以：(A—E)T(A—E)X=X=(A—E)T(A2—E)

=(A—E)T(A—E)(A+E)=A+E

，20P

，X=030

J0%

6.求下列矩陣的秩

，01-1-12、

02-2-20

A=

0-：111

01-1

I-7

答案：3

-4><-l

7.設(shè)矩陣P=,D=,矩陣A由矩陣方程PTAP=O確定，試求A5.

U1J1。2）

'-511/3127/3、

答案:

127/3—31/3,

P'AP=。nA=「DP】n4=PD^1

-1-4、"1/3-1/3、/-10、

P=nPi=,D5=

11、4/3-l/3032

7?'J

z-1f-101/3-1/3、^-511/3127/3、

所以：A5=PD5P'

八032人4/3

11-l/3?127/3—31/3,

8.設(shè)矩陣A可逆，證明（A*）T=[A]A

證明：因為AA*=A*A=NE,矩陣A可逆，所以國70

nAA*=A*

又因為=所以：（4*尸=,[4

9若4是（）,則A必為方陣.

A.分塊矩陣B.可逆矩陣

C.轉(zhuǎn)置矩陣D.線性方程組的系數(shù)矩陣

答案：B

1。設(shè)”階方陣A,且同#0,則（4*尸=（）.

A°A*

AA."—-B.---

H⑶

A一】A

C.———D.—r

答案：A

11若（）,則AB

A.|A|=|B|B.秩（A）=秩（3）

c.A與5有相同的特征多項式

D.”階矩陣4與5有相同的特征值，且〃個特征值各不相同

答案：B

MT

12.設(shè)A=2,貝IJA4,=____.

‘123、

答案：246

、369,

13.設(shè)機、〃矩陣4,且秩（A）=r,。為A的一個廠+1階子式，貝.

答案：0

14已知產(chǎn)1轉(zhuǎn)=3且忸*0,則

\B\

答案：1

/、

20、'31

15.已知X=,求矩陣X。

-1b-1

(20、（20、311(20Y1(31>

解：矩陣可逆,所以由X=nX二

b-10-1-11o-1

「1/20V31>'3/21/2、

X二

U/21JIO-1J

、3/2-l/2?

16.若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A-'也是對稱矩陣.

證明：因為矩陣A為非奇異矩陣，所以AAT=ATA=E

(AA-I)r=(A-*A)r=E，,即：(A-1)rAr=A1'(AT1/=E

因為矩陣A為對稱矩陣，所以則有：(AT)rA=A(AT)T=E

所以：(川尸=川，即川也是對稱矩陣.。

17.設(shè)A是加x〃矩陣，6是sx〃矩陣，。是根xs矩陣，則下列運算有意義的是()

A.ABB.BC

C.ABTD.ACT

答案：C

18.設(shè)A,8均為“階可逆矩陣，則下列各式中不正確的是()

A.(A+B.(A+5)-1=A-1+fi-1

C.(45尸=53D.(A5)r=5rAr

答案：B

19.設(shè)A為〃階矩陣，秩(A)<“—1,貝哦(A*)=()

C.n—1D.n

答案：A

因為A*是由矩陣A的代數(shù)余子式組成，但是秩(A)<“-1,所以其代數(shù)余子式全部為0,

所以：A*=O

’10-10、

20矩陣A=0-234的秩為()

、0005,

答案：3

21.設(shè)A為2階方陣,且|川=；,則|2A*卜.

答案：2

(A—A\

22.設(shè)A是3階矩陣,秩4=2,則分塊矩陣的秩為.

0E一

答案：5

21、

23.設(shè)矩陣公=110，求矩陣5,使A+25=A3

23,

’02P

解：由A+23=AB得：(A—2E)5=A,A-2E=1-10

J21,

2122n<10030

(A—2E,A)=1-10110r0i02-1

21-123)N01-24

<30-2、

所以：B=2-1-2

「245,

24.設(shè)三階方陣A的行列式det(A)=3,則A的伴隨矩陣A*的行列式det(A*)=

答案：9

提示：det(A*)=[det(A)]3T

(a

25.設(shè)A=，且det(A)=ad-bc^0,則A-1=

Jd,

套案.

1=1■

，d-b、

、-ca)

ad-be

(1—2、(21、

26.設(shè)A=,B=C=(2,-l),貝—.

I。1JIUD/

，:1、

答案：

pi-1P

27.(5分)設(shè)人=022B=110且滿足X4=5,求X

OjL

-11b

’11-1、

解：A=022nA可逆

J-io)

，由XA=5,得X=1?A-'

<11-r‘100

022010

1-10001

=C

◎1-11-1/3-1/34/3

1102/31/31/3

<211,、-1/35/64/3,

/-1/3-1/34/3、

所以：X=BAT1=2/31/31/3

-1/35/64/3；

28.設(shè)矩陣C=A[(A-1)2+^BA-^A

,110)r123、

其中，A=011,B=456

JJ

I-89,

A*為A的伴隨矩陣.計算det(C)

121

解：C=A[(A-)+AW]A^C=E+|A|JB

,110)110

A=011n|A|=011=1

J1

J111

，2

C=E+B=466

、78107

顯然：det(C)=0

29.設(shè)A,5是兩個〃階方陣，若AB=0則必有()

A.A=0且8=0B.A=0或8=0

c.同=0且慟=0D.同=0或慟=0

答案：D

30.若A,5都是方陣，且同=2,忸|=—1,則,一倒()

A.-2B.2

11

C.——D.-

22

答案：C

(12、

31.矩陣A=的伴隨矩陣A*=()

13"

(42、一3、

A.B.

1-2

(4—2)6-42

C.

1-3J

答案：C

32.設(shè)A為3義4矩陣，若矩陣A的秩為2,則矩陣3A7的秩等于（）

A.1B.2

0.3D.4

答案：B

33.設(shè)A為4階矩陣，悶=3,則卜A|=.

答案：3

,200、

34.設(shè)A=001貝M卜.

、。1o,

答案:-32

35.設(shè)A=P23、(\21、

B=貝1JAB?=.

2L23,

'814、

答案:

、68,

'500Y1

36.031=_____.

I。21.

<1

00

5

答案：01-1

0-23

提示：用分塊對角矩陣做。

37.設(shè)A=0-0,求滿足關(guān)系式4一|剛=64+區(qū)4的3階矩陣B

4

00-

I7)

AT'BA=6A+BAn(A-1-E)BA=6A=>8=6(A-1-E)-1

工

00

3(300、c200、

A=00nW040=>ATl-E=030

4

(00006,

17,

00

7)

q

00

，2ooY12

1

⑷-?T=03000

3

06,

、01

00

6J

,300、

所以：B=6(A1-E)1=020

、0°b

p2a1、

38.設(shè)矩陣A=2-310的秩為2,求a1.

：4

1aby

仆2aP<12a1、'12a1、

解：A=2-310T0-71—2a-2T0-71—2a-2

、41ab)(07a-2by00-a-ib—2)

因為：矩陣A的秩為2,所以_〃_1=0,人_2=0=>〃=—l,b=2

39.已知”階方陣A滿足關(guān)系式發(fā)-3A—2E=0,證明A是可逆矩陣，并求出其逆矩陣.

A3￡

證明：A?—3A—2E=0nA(A-3E)=2EnA(-)=E

A-3E

所以A是可逆矩陣，且其其逆矩陣為：

2

40.設(shè)A是3階方陣，且⑶=—1,則12Al=()

A.-8B.—2

C.2D.8

答案：A

,200、

41.設(shè)矩陣A=0-1-1)

、012,

(1

00

2

A.0-2-1B.021

0110-1-1

1)

c、

210'-2-10、

C.-1-10D.110

、002,

答案：A

42.設(shè)A是"階方陣，|A|=0,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.秩（A）（”

B.4有兩行元素成比例

C.A的〃個列向量線性相關(guān)

D.A有一個行向量是其余〃個行向量的線性組合

答案：B

43.設(shè)A,B均為〃階矩陣，且秩（人）=秩（5）,貝IJ必有（)

A.A與8相似B.A與5等價

C.A與合同D.聞=慟

答案：B

3、

（210、

44.0-1

4,

40J

25、

答案:

1747

45.若A,3均為3階矩陣，且1A=2,3=—3E,貝=

答案：一54

哂

46.設(shè)矩陣A=a隊a2b2a力③，其中岫w0(，=1,2,3)則秩(A)=.

613b2a3b3/

答案：1

12、T00、

47.設(shè)4=223B=211,矩陣X滿足方程AX=37,求X.

I33,—122,

'-3-8-P

答案：4124

；0-1-2,

'100、<12-1、

解：B=211nlf=012,AX=BT^X=^XBT

「122)N12，

(A,BT)r(E,X)

48.設(shè)A是〃階方陣，同工0,證明=

證：AA=|A|E1=>|AA"|=||A|=|A|"=>|A||A'|=|A|"

因為同20,所以：

49.設(shè)A是3階方陣，且同=2,則卜A|=()

A.-6B.-2

C.2D.6

答案：B

(020、

50.設(shè)A=003,則A的伴隨矩陣A*=()

<40

<006、<0120、

A.1200B.008

80；<600,

(0-120、(00-6、

C.00-8D.-1200

(—60<°-80,

答案：A

3-2

1-P

51.

-i0,

24

%53、

答案：0—10

14-2—2,

fl-4}.

52.設(shè)4=,則AT=

〔。3j

，34、

答案：A-i=k2_12

3

’033、

53.設(shè)4=110且AB=A+25,求8。

L23,

,033、

答案：—123

J10,

解：AB=A+2B=>(A-2E)B=A

/-233、

A-2E=1-10,很容易得到：A—2E是可逆的。所以：B=(A-2E)-1A

U2"

233033W100033、

(A—2E,A)=1-10110r010-123

23；10

、T21-101110,

54.設(shè)方陣A滿足A?—A—2E=0證明A可逆，并求其逆陣。

證：A2-A-2E=0^A(A-E)=2E^A^^-=E

A-E

所以：A可逆，且其逆陣為-----

2

55.設(shè)〃階方陣A,民。滿足ABC=￡,則必有()

A.ACB=EB.CBA=E

C.BAC=ED.BCA—E

答案：D

56.設(shè)〃階方陣A中有1—〃個以上元素為零，則|川的值（)

A.大于零B.等于零

C.小于零D.不能確定

答案：B

56.設(shè)3階矩階A=(QiB,Y),B=(az,B,Y),且|A=2,慟=—1,則|A+@=()

A.4B.2

C.1D.-4

答案：A

57.設(shè)A是4階方陣，網(wǎng)=-2,貝『A*卜_____.

答案：-8

9OOP

0020,

58.設(shè)矩陣A=,則H.

0300

000,

(1、

000-

—00-()

答案：3

0-0()

2

J00(b

’423、

59.設(shè)A=110,且矩陣X滿足AX=A+2X,求X。

、-123,

解：AX=A+2X->(A-2E)X=A

’223)(223、

A-2E=1-10,容易證明A—2E=1-10可逆，所以

dl-i2J

2

X=(A-2石尸4

,223423W1003-8-6、

(A-2E,A)=1-10110r0102-9-6

21-123j^001-212-3?

，3-8-6、

所以：X=2-9-6

「212-3,

61.設(shè)A,3均為”階方陣，則必有()

A.\AB\=\B^B.|A+同=同+慟

C.(4+3)7=A+6D(45)7=4，*

答案：A

(200、

62.設(shè)A=01-1,則川=()

002

(1、

100

002

2

11

A.010B.0

22

1

011

200

2

1

00(1

200

2

1

0.01D.010

2

11

10

0021)

27

答案：C

63.若方陣A與方陣5等價,則()

A.R(A)=R(B)

B.|2￡-^=|2￡-5|

C同=忸|

D.存在可逆矩陣尸，使pTAP=3

答案：A

64.A=(1,0,1),B^E-ATA,C=E+2ATA,(E為3階單位矩陣)，則

BC=o

答案：E

1-331、

65.已知同=2,且A-：」-404,則A*=

4

h-i-3.

(-331、

答案：——404

215-1-3j

,802、

66.設(shè)A=020A*為A的伴隨矩陣，則1A*卜

、30"

答案：16

’1or

67.已知A=020則(A+3E)T(A2—9E)=

、00b

J201、

答案：0—10

100-2,

68.設(shè)A,3為”階方陣，滿足A+5=AB

,1-30、

若3=210,求矩陣A。

、002,

A+B=AB^A(B-E)=B

'0-30、

B—E=200n5—E可逆。所以：A=B(B—E)

L

(1、

1-0

2

(B-E\(E\

C得人=——10

J3

002

69.設(shè)A是4階矩陣，則卜A=()

A.-4|A|B.-|A|

c.|A|D.4|A|

答案：c

70.設(shè)A為〃階可逆矩陣，下列運算中正確的是()

A.(2A)T=2A，B.(3A)-1=3A-1

c.[(⑷7y「=[(川)-了D.(4尸=4

答案：A

<-37、

71.設(shè)A是2階方陣可逆，且AT則4=()

=I1-2j

(-27)’27、

A.

11-VJ3,

(2-7>’37、

C.

1-13JJ4

答案：B

72.設(shè)均為3階矩陣，若A可逆，秩(3)=2,那么秩(A3)=()

A.0B.1

C.2D.3

答案：C

73.設(shè)A為”階矩陣，若A與”階單位矩陣等價，那么方程組AX=5()

A.無解B.有唯一解

C.有無窮多解D.解的情況不能確定

答案：B

(a\

74.設(shè)矩陣A=,則W=

(2、

aab

答案:

b2

02、

75.設(shè)矩陣A二,則行列式同=

(34J

答案：4

」-1-p

76.矩陣0-1-1的秩等于________.

100—」

答案：3

（500、/、

<1001]

77.設(shè)矩陣A=0128=,求矩陣方程X4=5的解X.

〔2021

（037）17

’500、

解：A=012,很容易得到A是可逆的。所以：XA=BnX=BA

；037,

（500、fl00、

012010

(1

037C001所以：X=

㈤1411-3；

10012-31

<202b011-3,

78.設(shè)A,3為同階對稱矩陣，證明AB+R4也為對稱矩陣.

證：A3為同階對稱矩陣，所以：47=4,37=8

(AB+BA)T=BrAr+ArBr^BA+AB^AB+BA

所以：AB+54也是對稱矩陣。

q00、

79.設(shè)矩陣A=020則A1等于（)

、003,

00

3100

J_j_

A.00B.00

22

0011

00

3>

、00

02

3￡

01D.00

￡3

00001

27

答案：B

81.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（）

A.A=0B.時A=0

C.A20時3=CD.網(wǎng)wo時3=C

答案：D

(123、

82.設(shè)A=B=.則A+2B=

Ul-24

f337、

答案:

-1-37)

ri20、

「23-1}

84.設(shè)A340B=.求(1)ABT；(2)|4A|.

「240J

-12b

ri2OV2—2、6、

答案：（1）340341810

2-110

JOJ,37

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

120

|A|=340=-2

-121

所以KN=43|A|=64|A|=-128

’423、

85.設(shè)矩陣A=110,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+26.

"123)

，3-8-6、

答案:2-9—6

1-2129,

解：AB=A+2B§Hi(A-2E)B=A,而

(223丫1(1-4-3、

(A-2E)-11-10=1-5-3

2

-1J364,

p23、(3-8-6、

所以B=(A-2E)-1A=110=2-9-6

23；[-2

、T12

<1-2-102

-2426-6

86.設(shè)矩陣4=

2-1023

<333347

求:秩(A)；

解：對矩陣A施行初等行變換

-2-102、(1-2-102、-2-102、

0006-20328-30328-3

A-TT

0328-20006-20003-1

963—2)00-217)0000,

所以：秩為3.

87.設(shè)方陣A滿足工=0,試證明E—A可逆，且(E—A]]=(E+A+A2)證:

(E-A)(E+A+A2)=E-A3,A3=0

二.(E-A)(E+A+A?)=E

??.E—A可逆，且(E—4尸=(E+A+A?)

T21、

88.設(shè)行矩陣A=(q,02M3),5=(4也也)，且“5=-1-2-1，則=

b2ij

答案：0

，210、

89.設(shè)A=110,A*為A的伴隨矩陣，貝"A[=__.

；002j

答案：4

提示：|A*|=|A|3-1-|A|2

2io

而|A|=110=2,所以：[A*卜|ARI=|A「=4

002

,124、

90.若A=221為使矩陣A的秩有最小秩，則;I應(yīng)為.

J1°，

9

答案：X==

4

（124、(110、

解答：A=214

10J102-2"

2-219

要使得矩陣A的秩有最小秩，則=-^2=-

14

<-1

91.已知矩陣X滿足=其中A=0

、0

C=12,求矩陣X.(6分)

「1—2,

解：容易證明矩陣A,3都可逆,所以：AXB=C=>X=A'CB1

J100、pi00、

(-2-3、-5-3、

A0530-13B=

(357327

,02b、02-57

/-100、Z23'10

-5-3、

X=A'CB10-1312-3410

327

02-5八-1-2777

92.設(shè)A,3均為”階方陣，且42=452=8,證明（A+3）2=A+3的充分必要條件是

AB=BA=O

證：(A+B)2=(A+B)(A+B)=A^AB+BA+B2

因為：A2=A,B2所以：(4+3)2=4+43+84+3

若(A+3)2=A+AB+3A+3=A+3nAB+癡=0

^AB=-BA^AAB=-ABA^AB=BA^AB=BA=O

若AB=K4=O,^](A+B)2^A+AB+BA+B^A+B

、fl4)

ri2、(123、

93.設(shè)矩陣AB=14,,,C=25,則下列矩陣運算有意義的是()

34,56).(36)

A.ACBB.ABCC.BACD.CBA

答案：B

94.設(shè)”階方陣A滿足T-E=0,其中E是”階單位矩陣，則必有【

A.A=EB.A=—EC.A=A-1D.det(A)=1

答案：C

95.設(shè)A為3階方陣，且行列式det(A)=g，則det(—2A)=[

.4C

答案：A

]3、(20、

96.設(shè)矩陣A=.B=.A，為A的轉(zhuǎn)置，貝=

〔201J〔。1J

'22、

答案：—20

16J

(12、

97.設(shè)矩陣A=則行列式det(AAr)的值為________.

、35.

答案：1

99.設(shè)B是〃("》2)階方陣，且8的元素全都是1,E是〃階單位位矩陣。證明:

(E-B)1=E———B

n-1

1rj1

證明：(E-B)(E------B)=E------B+——B2

n—1n—1n—1

因為5的元素全都是1,所以：82的元素全部為“，即：B2=nB

所以：(E—B)(E—-—B)=E—--B+-^—B2=E,即：(E—B)-=E———B

n—1n—1n—1n—1

100.設(shè)A是〃階方陣，X是〃xl矩陣，則下列矩陣運算中正確的是()

A.B.X4XC.AX4D.X4Xr

答案：A

101.為同階矩陣，E為單位陣，若A3C=E,則下列各式中總是成立的有

()

A.BAC=EB.ACB=EC.CBA=ED.CAB=E

答案：D

102.已知A有一個廠階子式不等于零，貝I］秩(A)=()

A.rB.r+1C.<rD.>r

答案:D

103.設(shè)A是〃階陣，且=則由()可得出3=C.

A.網(wǎng)力0B.C.秩(A)<〃D.A為任意”階矩陣

答案：A

1(12、

104X,則乂=

24,

1/30、

答案:

1/32,

(1-112、

=A=2332,則秩(A)

,1121；

答案：3

(123-1-2-4

106.24-1-2-4

46124

7

答案：0

107.若T=A,且A不是單位陣，貝IJ|H=

答案：0

108.|聞=4,貝

答案：L

4

(11)

109.

口2,

1、

2,

110.A&C均為階可逆陣，則(ABC)T=

答案：C-'B-'A"1

111.設(shè)4是5階方陣，同=—1,貝『2A|=

答案：32

101

112A=210求A-1

-32-5

7

(11、

/1001

101100、22

答案：（A,E）=210010010-1-11

-32-500b1j_

001-1

22

f20、c-11、

113.A=B=,^52-A2(5^A)-1

2

0b57

/53、

答案:

422

y

解：B~-A?A"=B?—A^AT'B^B--AB=B(B-A)

(-\1Y-31、53

125人24J1422,J

114.”階方陣A滿足A?—2A—4E=0,其中A給定，證明A可逆，并求其逆矩陣。

A—2F

證：A2-2A-4E=0^>A(A-2E)=4E=>A--—=E

A-2F

所以A可逆，且*=b

115.設(shè)矩陣A=(l,2,3),B=J，則AB為（)

23、

A.000B.J

246

7

C.(106)

答案：D

116.設(shè)均為〃階矩陣，且A可逆，則下列結(jié)論正確的是（)

A.若ABwO,則6可逆B.若AB=O,則8=0

C.若則6不可逆D.若AB=B4,則B=E

答案：B

117.設(shè)3階方陣A的元素全為1,則秩（A）為（)

答案：B

118.設(shè)A為3階方陣，且行列式|A|=1，則|一24|=之值為（)

答案：A

119.設(shè)A為”（論2）階方陣，且A的行列式同=a#0,則|A*|等于（)

A.a-1B.a

C.an~lD.an

答案：C

(111、

120.設(shè)矩陣A022,則-4=

、003,

111

答案:155

114

57

121,設(shè)A,5均為3階方陣，且Ml=3,忸|=—2,貝=

答案：一6

122.設(shè)3階方陣A的秩為2,矩陣

fO10、100、

100,Q=010

001J10L

若矩陣5=PAQ,則秩（8）

答案：2

'a00、

123.設(shè)公=0b0,則A"

,00c)

'a"00、

答案:0b"0

00cn

7

ri32k\

124.已知矩陣A1k1，秩(A)=2,求上的值.

1753J

答案:1

ri32k\32k、32k、

-11104k+2k+104k+2k+1，所以k=1

(175V1°433—k)001—k2-2k)

ri2、4、

125.試求矩陣方程0125中的未知矩陣X。

u11-3J

<1-32-14、’10040、

解：-30125r010112

、11-11-3j、001145J

(40、

所以：X112

14V

a2、(\0>

126.設(shè)P=,B=且AP=?B,求A"

4J(02J

12

解：|P|==2

14

..P可逆。又AP=PB=A=PBPT

從而得到：A"=PB"P-I

'2n

(i2、(10、10、

p=,B=1,Bn=

4,02,02n

、J22>

(

21、

2Y10、'2-2"2〃-1、

所以二A"二11

J4九02"2-2n+]2n+1-l

<)

V2L

127.已知A"=0,證明：E—A可逆，且(E—A)T=E+A+A?-1

證：因為(E—A)(E+A+.A'K)=E—A"',又因為A"'=0,所以:

(E-A)(E+A+A'T)=E,顯然E—A可逆，且(E—A)T=E+A+A'”，

128.設(shè)A是力階非零矩陣，A*是其伴隨矩陣，且滿足％=4.,證明A可逆。

證：有%=4-得：A*=Ar

所以：A*A=A4*=|A|E^ArA=AAr=|A|E

假設(shè)A不可逆，貝川匈=0,所以：ArA=AAr=O

n

1r

AA=AA=0=>aikaik=0=>ajk=0(z=1,2,...〃)

k=l

所以A=0,這與題目A是〃階非零矩陣矛盾，所以A可逆。

129.兩矩陣即可以相加又可以相乘的條件是

答案：兩矩陣為同階方陣。

1-610、

130.已知A=25k-1,且其秩為2,則左=____

[12-