八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專(zhuān)題三角形中位線定理的運(yùn)用題型一利用三角形中位線定理求線段長(zhǎng)題型一利用三角形中位線定理求線段長(zhǎng)【例題1】(2023秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是AD，AE的中點(diǎn)，且FG＝2cm，則BC的長(zhǎng)度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式1-1】(2023秋?海淀區(qū)期中）如圖，BD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，連接EF．若AD＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．32 B．2 C．52【變式1-2】(2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EFA．2 B．62 C．63 【變式1-3】(2023春?巨野縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AE平分∠CAD，AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-4】(2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的可能為（）A．2 B．2.3 C．4 D．7【變式1-5】如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．若AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)為．【變式1-6】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別在BA和CA的延長(zhǎng)線上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，則GD的長(zhǎng)為．【變式1-7】(2023春?本溪期末）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，順次連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，若AB＝CD＝2，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)是．【變式1-8】(2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF＝3，求DE的長(zhǎng)．【變式1-9】如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，連接EF，求線段EF的長(zhǎng)．題型二利用三角形中位線定理求角度題型二利用三角形中位線定理求角度【例題2】(2023秋?安岳縣期末）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若∠CFE＝55°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．55° D．50°【變式2-1】(2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，若∠A＝60°，∠B＝75°，則∠ANM＝．【變式2-2】(2023?永安市模擬）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ABC的平分線交DE于點(diǎn)F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，則∠AED＝．【變式2-3】(2023春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．【變式2-4】(2023?九江二模）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，AC的中點(diǎn)，AB＝CD，∠EGF＝144°，則∠GEF的度數(shù)為．【變式2-5】(2023秋?新泰市期末）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，DC，AC的中點(diǎn)．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，則∠EFG的度數(shù)為．【變式2-6】(2023春?鼓樓區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分別在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度數(shù)．題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系【例題3】(2023秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．求證：BD＝2EF．【變式3-1】(2023春?秦都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、DE，∠ADE＝∠AED，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．求證：FG＝FH．【變式3-2】(2023秋?互助縣期中）如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，求證：EH＝FG．【變式3-3】已知：如圖，E為?ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB＝2OF．【變式3-4】(2023春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點(diǎn)O，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【變式3-5】(2023春?富平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、F分別交BD、AC于點(diǎn)G、H，取BC邊的中點(diǎn)M，連接EM、FM．求證：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【變式3-6】(2023春?瑤海區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)（1）若DE＝2，則BC＝；若∠ACB＝70°，則∠AED＝°；（2）連接CD和BE交于點(diǎn)O，求證：CO＝2DO．【變式3-7】(2023春?虎丘區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AM是∠CAB的角平分線，取BC中點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線段CE垂足為E．（1）求證：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的長(zhǎng)度．題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系【例題4】(2023春?莆田期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線分別AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H、G，求證：∠AHF＝∠BGF．【變式4-1】(2023春?西峰區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，N、M分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：∠PMN＝∠PNM．【變式4-2】(2023春?歙縣期中）如圖，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，（1）求證：EF∥BC；（2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三個(gè)角之間的關(guān)系，并加以證明．【變式4-3】如圖，△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．過(guò)MN的直線交AB于P，交AC于Q，求證：∠QPA＝∠PQA．【變式4-4】一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形ABCD，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF分別交對(duì)角線BD，AC于M，N，求證：∠OMN＝∠ONM．【變式4-5】(2023春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第80頁(yè)的第3題．如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM（1）在上邊題目的條件下，延長(zhǎng)圖①中的線段AD交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖②，請(qǐng)先完成圖①的證明，再繼續(xù)證明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，則∠F的大小為．題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用【例題5】(2023秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-1】(2023春?綦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則EF＝（）A．15 B．.16 C．17 D．8【變式5-2】(2023春?沈北新區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，求證：AF=12【變式5-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長(zhǎng)分別為3和1，點(diǎn)F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點(diǎn)，連接PG，則PG的長(zhǎng)為．【變式5-4】(2023?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝．【變式5-5】(2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，則EF的長(zhǎng)為．【變式5-6】(2023秋?張店區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【變式5-7】如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF=12（AC﹣（2）如圖2，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系．【變式5-8】（1）如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG．求證：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分別延長(zhǎng)AF、AG與直線（2）如圖2，若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，連接FG．線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．【變式5-9】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，則∠BME＝∠CNE（不必證明）（溫馨提示：在圖（1）中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE．HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE＝HF，從而∠1＝∠2，再利用平行線的性質(zhì)，可證明∠BME＝∠CNE）（1）如圖（2），在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB＝CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交CD．BA于點(diǎn)M．N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．（2）如圖（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB＝CD，E．F分別是BC．AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC＝60°，連接GD，判斷△AGD形狀并證明．八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專(zhuān)題三角形中位線定理的運(yùn)用題型一利用三角形中位線定理求線段長(zhǎng)題型一利用三角形中位線定理求線段長(zhǎng)【例題1】(2023秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是AD，AE的中點(diǎn)，且FG＝2cm，則BC的長(zhǎng)度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】利用三角形中位線定理求得FG=12DE，DE=【解答】解：如圖，∵△ADE中，F(xiàn)、G分別是AD、AE的中點(diǎn)，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝8cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】(2023秋?海淀區(qū)期中）如圖，BD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，連接EF．若AD＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．32 B．2 C．52【分析】根據(jù)三角形的中線的概念求出DC，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，AD＝4，∴DC＝AD＝4，∵E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=6，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EFA．2 B．62 C．63 【分析】先證明△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD=6，再由勾股定理解得AC=2【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD=6∵∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴DC=1∴AD=A即6=∴AC=22∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF=1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式1-3】(2023春?巨野縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AE平分∠CAD，AE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得到AC＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝DE，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：∵AE平分∠CAD，AE⊥CD，∴∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝∠DAE，∴∠ACE＝∠ADE，∴AC＝AD＝6，∵∠CAE＝∠DAE，∴CE＝DE，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF＝BF，∴EF=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】(2023秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點(diǎn)M、N分別為線段BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為DM、MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的可能為（）A．2 B．2.3 C．4 D．7【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=12DN，從而可知DN最大時(shí)，EF最大，因?yàn)镹與B重合時(shí)DN最大，N與A重合時(shí)，DN最小，從而求得【解答】解：連接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大時(shí)，EF最大，DN最小時(shí)，EF最小，∵N與B重合時(shí)DN最大，此時(shí)DN＝DB=A∴EF的最大值為6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF長(zhǎng)度的可能為4；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．若AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)M是邊AD的中點(diǎn)，得AM＝DM＝6，根據(jù)勾股定理得出BM＝CM＝10，再根據(jù)E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)，即可得出EM＝FM＝5，再根據(jù)N是邊BC的中點(diǎn)，得出EM＝FN，EN＝FM，從而得出四邊形EN，F(xiàn)M的周長(zhǎng)．【解答】解：∵M(jìn)、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AB＝8，AD＝12，∴AM＝DM＝6，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴BM＝CM＝10，∵E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)，∴EM＝FM＝5，∴EN，F(xiàn)N都是△BCM的中位線，∴EN＝FN＝5，∴四邊形ENFM的周長(zhǎng)為5+5+5+5＝20，故答案為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線，勾股定理以及矩形的性質(zhì)，是中考常見(jiàn)的題型，難度不大，比較容易理解．【變式1-6】(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別在BA和CA的延長(zhǎng)線上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，則GD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BC＝10，∴DE=12在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2＝25，同理可得，AF2+AE2＝EF2＝16，AG2+AF2＝GF2＝36，∴AD2+AG2＝25+36﹣16＝45，∴GD=AG2故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】(2023春?本溪期末）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，順次連接EM，MF，F(xiàn)N，NE，若AB＝CD＝2，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)是．【分析】利用三角形中位線定理推知EN＝MF=12AB，EM＝NF=【解答】解：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，∴EN是△ABD的中位線，∴EN=12同理，MF、EM、NF分別是△ABC、△ADC、△BCD的中位線，∴EN＝MF=12AB＝1，EM＝NF=∴四邊形ENFM的周長(zhǎng)是：EN+MF+EM+NF＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．【變式1-8】(2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF＝3，求DE的長(zhǎng)．【分析】先證明DE為△ABC的中位線，得到四邊形BCFE為平行四邊形，求出BC＝EF＝3，根據(jù)中位線定理即可求解．【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12∴EF∥BC，∵CF∥BE，∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴BC＝EF＝3，∴DE=12BC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．【變式1-9】如圖，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分別是其角平分線和中線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，連接EF，求線段EF的長(zhǎng)．【分析】首先證明△AGF≌△ACF，則AG＝AC＝4，GF＝CF，證明EF是△BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．【解答】解：在△AGF和△ACF中，∠GAF=∠CAFAF=AF∴△AGF≌△ACF（ASA）．∴AG＝AC＝8，∴GF＝CF，則BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位線．∴EF=12BG＝2答：EF的長(zhǎng)為2cm，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確證明GF＝CF是關(guān)鍵．題型二利用三角形中位線定理求角度題型二利用三角形中位線定理求角度【例題2】(2023秋?安岳縣期末）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，若∠CFE＝55°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．55° D．50°【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，DF∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADE．【解答】解：∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，DF∥AC，∴∠B＝∠CFE＝55°，∵DF∥AC，∴∠ADE＝∠B＝55°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】(2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，若∠A＝60°，∠B＝75°，則∠ANM＝．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到MN∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，則∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵點(diǎn)M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，∴∠ANM＝∠C＝45°，故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023?永安市模擬）如圖，DE是△ABC的中位線，∠ABC的平分線交DE于點(diǎn)F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，則∠AED＝．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FBC＝∠DFB＝32°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴∠FBC＝∠DFB＝32°，∵BF是∠ABC的平分線，∴∠DBF＝∠FBC＝32°，∴∠ADE＝∠DBF+∠DFB＝64°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣64°＝41°，故答案為：41°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】(2023春?順德區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝12，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ADB，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計(jì)算即可．【解答】解：連接BD，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2+CD2＝122+92＝225，BC2＝225，則BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°+50°＝140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】(2023?九江二模）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，AC的中點(diǎn)，AB＝CD，∠EGF＝144°，則∠GEF的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12CD，F(xiàn)G=12AB，進(jìn)而證明EG＝FG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，AC的中點(diǎn)，∴EG是△ACD的中位線，F(xiàn)G是△ACB的中位線，∴EG=12CD，F(xiàn)G=∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠EGF＝144°，∴∠GEF=1故答案為：18°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】(2023秋?新泰市期末）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，DC，AC的中點(diǎn)．若∠ACB＝64°，∠DAC＝22°，則∠EFG的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形中位線定理和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點(diǎn)，∴GF是△ACD的中位線，GE是△ACB的中位線．∴GF∥AD且GF=12AD，GE∥BC且GE=又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°．∴∠EFG＝∠FEG．∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，∴∠EFG=12（180°﹣∠故答案是：21°．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了中位線定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，題目的難度不大．【變式2-6】(2023春?鼓樓區(qū)期中）如圖所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分別在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度數(shù)．【分析】取BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH，根據(jù)三角形中位線定理得到MH∥EC，MH=12EC．NH∥BD，NH=【解答】解：取BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH，∵M(jìn)，H為BE，BC的中點(diǎn)，∴MH∥EC，MH=12∵N，H為CD，BC的中點(diǎn)，∴NH∥BD，NH=12∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM，∵M(jìn)H∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理，∠HNM＝∠QPA，∴∠APQ＝∠AQP=12×【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系題型三利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系【例題3】(2023秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．求證：BD＝2EF．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝ED，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論．【解答】證明：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴CE＝ED，∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF是△CDB的中位線，∴BD＝2EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】(2023春?秦都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、DE，∠ADE＝∠AED，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)．求證：FG＝FH．【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，根據(jù)線段的和差得到BD＝CE，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，∵點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)，∴FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，∴FG=12BD，F(xiàn)H=∴FG＝FH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】(2023秋?互助縣期中）如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，求證：EH＝FG．【分析】連接AD，根據(jù)三角形中位線定理證明即可．【解答】證明：連接AD，∵E、H分別為AB、BD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH=12同理可得：FG=12∴EH＝FG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．【變式3-3】已知：如圖，E為?ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF．求證：AB＝2OF．【分析】先證明△ABF≌△ECF得BF＝FC，再利用三角形中位線定理即可解決問(wèn)題．【解答】證明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAF，∠FCE＝∠FBA，又∵CE＝CD＝AB，∴△FCE≌△FBA（ASA），∴BF＝FC，∴F是BC的中點(diǎn)，∵O是AC的中點(diǎn)，∴OF是△CAB的中位線，∴AB＝2OF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，出現(xiàn)中點(diǎn)條件想到三角形中位線定理．【變式3-4】(2023春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點(diǎn)O，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【分析】（1）利用三角形中位線定理即可得出FG＝DE且FG∥DE；（2）由（1）中結(jié)論可推出四邊形DFGE為平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得DG和EF互相平分．【解答】證明：（1）由題意可知，在△ABC中，BE、CD為中線，∴AD＝BD，AE＝CE，∴DE=12BC且DE在△OBC中，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點(diǎn)，∴FG=12BC且FG∴DE∥FG；（2）由（1）得DE∥FG且DE＝FG=1∴四邊形DFGE為平行四邊形，∴DG和EF互相平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中位線定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確利用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】(2023春?富平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、F分別交BD、AC于點(diǎn)G、H，取BC邊的中點(diǎn)M，連接EM、FM．求證：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得△EMF是等腰三角形；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得∠MEF＝∠MFE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠OGH＝∠OHG，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得．【解答】證明：（1）∵M(jìn)、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴MF∥BD，MF=12同理：ME∥AC，ME=12∵AC＝BD，∴ME＝MF，即△MEF是等腰三角形；（2）∵M(jìn)E＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵M(jìn)F∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定，證明△MEF為等腰三角形是解題關(guān)鍵．【變式3-6】(2023春?瑤海區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)（1）若DE＝2，則BC＝；若∠ACB＝70°，則∠AED＝°；（2）連接CD和BE交于點(diǎn)O，求證：CO＝2DO．【分析】（1根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是三角形的中位線，∴BC＝2DE＝4，DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝70°，故答案為：4，70；（2）取BO、CO中點(diǎn)G、H；則GH∥BC，GH=12∵DE∥BC，DE=12∴DE∥GH，DE＝GH，∴四邊形DGHE為平行四邊形，∴DO＝OH＝HC，即CO＝2DO．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-7】(2023春?虎丘區(qū)校級(jí)期中）如圖，線段AM是∠CAB的角平分線，取BC中點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線段CE垂足為E．（1）求證：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的長(zhǎng)度．【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AB于F，證明△CAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝EF，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CE交AB于F，∵AM是∠CAB的角平分線，∴∠CAM＝∠BAM，在△CAE和△FAE中，∠CAE=∠FAEAE=AE∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∵CN＝NB，∴EN是△CFB的中位線，∴EN∥AB；（2）解：由（1）可知，△CAE≌△FAE，∴AF＝AC＝13，∴BF＝AB﹣AF＝24，∵EN是△CFB的中位線，∴EN=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系題型四利用三角形中位線定理證明角關(guān)系【例題4】(2023春?莆田期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是邊DC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線分別AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H、G，求證：∠AHF＝∠BGF．【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形中位線定理得到PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，【解答】證明：連接BD，取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，∵E、F、P分別是DC、AB、BD邊的中點(diǎn)，∴EP是△BCD的中位線，PF是△ABD的中位線，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】(2023春?西峰區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，N、M分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：∠PMN＝∠PNM．【分析】先說(shuō)明PN是△DBC的中位線得到PN=12BC，同理可得PM=12AD，進(jìn)而得到【解答】解：∵P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，N分別是AB的中點(diǎn)，∴PN是△DBC的中位線，∴PN=12同理：PM=12∵AD＝BC，∴PN＝PM，∴∠PMN＝∠PNM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】(2023春?歙縣期中）如圖，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，（1）求證：EF∥BC；（2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三個(gè)角之間的關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）延長(zhǎng)AE交BC于H，證明△CAE≌△CHE，得到E是AH的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理證明；（2）利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形外角定理推知：∠EAC＝∠B+∠DAE．【解答】證明：（1）延長(zhǎng)AE交BC于H，在△CAE和△CHE中，∠ACE=∠HCECE=CE∴△CAE≌△CHE（ASA），∴E是AH的中點(diǎn)，又F是AC的中點(diǎn)，∴EF是△AHC的中位線，∴EF∥BC；（2）解：∠EAC＝∠B+∠DAE．理由如下：由（1）知△CAE≌△CHE，∴∠EAC＝∠EHC．又∠AEH＝∠B+∠BAH，∴∠EAC＝∠B+∠DAE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．過(guò)MN的直線交AB于P，交AC于Q，求證：∠QPA＝∠PQA．【分析】根據(jù)中位線定理證明MH＝NH，進(jìn)而證明∠HMN＝∠HNM，∠HMN＝∠PQA，所以得到∠QPA＝∠PQA．【解答】證明：如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH，∵M(jìn)，N為BE，CD的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，∴MH、NH分別是△BCE、△BCD的中位線，∴MH∥EC，MH=12EC，NH∥BD，NH=又∵BD＝CE，∴MH＝NH，∴∠HMN＝∠HNM．∵M(jìn)H∥EC，∴∠HMN＝∠PQA．同理可得：∠HNM＝∠QPA．∴∠QPA＝∠PQA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中位線定理在三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造三角形的中位線．【變式4-4】一個(gè)對(duì)角線相等的四邊形ABCD，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF分別交對(duì)角線BD，AC于M，N，求證：∠OMN＝∠ONM．【分析】取AD的中點(diǎn)Q，連接EQ、FQ，根據(jù)三角形中位線定理得到EQ∥AC，EQ=12BD，F(xiàn)Q=12AC，【解答】證明：取AD的中點(diǎn)Q，連接EQ、FQ，∵E，F(xiàn)、Q分別為AB，CD、AD的中點(diǎn)，∴EQ∥BD，EQ=12BD，F(xiàn)Q=12AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】(2023春?船營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第80頁(yè)的第3題．如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．求證：∠PMN＝∠PNM（1）在上邊題目的條件下，延長(zhǎng)圖①中的線段AD交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線段BC交NM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖②，請(qǐng)先完成圖①的證明，再繼續(xù)證明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，則∠F的大小為．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到PM∥BC，PM=12BC，PN∥AD，PN=12AD，得到（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠MPN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：∵P是BD的中點(diǎn)，M是DC的中點(diǎn)，∴PM是△DBC的中位線，∴PM∥BC，PM=12∴∠PMN＝∠F，同理可得：PN∥AD，PN=12∴∠AEN＝∠PNM，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F；（2）解：∵PM∥BC，∴∠MPD＝∠FBD，∵PN∥AD，∴∠PNB＝∠A，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠FBD+∠A+∠DBA＝122°，∴∠PMN=1∴∠F＝∠PMN＝29°，故答案為：29°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用題型五三角形中位線定理的綜合應(yīng)用【例題5】(2023秋?任城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，若AB＝10，AC＝6，則EF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：延長(zhǎng)AC，BE交于點(diǎn)M，∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°，∠CAE＝∠BAE，∴AB＝AM＝10，BE＝EM，∵AC＝6，∴CM＝AM﹣AC＝10﹣6＝4，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，BE＝EM，∴EF為△BCM中位線，∴EF=12故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】(2023春?綦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則EF＝（）A．15 B．.16 C．17 D．8【分析】取BC的中點(diǎn)P，連接PE、PF，根據(jù)三角形中位線定理得到EP=12AC＝15，EP∥AC，F(xiàn)P=12BD＝8，F(xiàn)P∥【解答】解：取BC的中點(diǎn)P，連接PE、PF，∵E，P分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EP是△ABC的中位線，∴EP=12AC＝15，EP∥∴∠BPE＝∠BCA，同理可得，F(xiàn)P=12BD＝8，F(xiàn)P∥∴∠CPF＝∠CBD，∵AC⊥BD，∴∠BCA+∠CBD＝90°，∴∠BPE+∠CPF＝90°，∴∠EPF＝90°，∴EF=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】(2023春?沈北新區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，求證：AF=12【分析】過(guò)D作DG∥AC，可證明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位線定理可得DG=12【解答】證明：如圖，過(guò)D作DG∥AC，則∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC中點(diǎn)，∴G為BF中點(diǎn)，∴DG=12∵E為AD中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，∠EAF=∠EDGAE=DE∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF=12【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中位線定理，作輔助線構(gòu)造三角形中位線找到GD和AF、CF的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長(zhǎng)分別為3和1，點(diǎn)F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點(diǎn)，連接PG，則PG的長(zhǎng)為．【分析】方法1、延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)O，作PH⊥OE于點(diǎn)H，則PH是△OAE的中位線，求得PH的長(zhǎng)和HG的長(zhǎng)，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．方法2、先造成△AHP≌△EGP，進(jìn)而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：方法1、延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)O，作PH⊥OE于點(diǎn)H．則PH∥AB．∵P是AE的中點(diǎn)，∴PH是△AOE的中位線，∴PH=12OA∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．∴在Rt△PHG中，PG=P故答案是：5．方法2、如圖1，延長(zhǎng)DA，GP相交于H，∵四邊形ABCD和四邊形EFCG是正方形，∴EG∥BC∥AD，∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，∵點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，∴AP＝EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH＝EG＝1，PG＝PH=12∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，根據(jù)勾股定理得，HG=DH2∴PG=5故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形的中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．【變式5-4】(2023?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝．【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接MF、NF，證明NF、MF分別是△BDE、△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出NF∥BE，MF∥AD，NF=12BE＝5，MF=12AD＝12，證出NF⊥【解答】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接MF、NF，如圖所示：∵M(jìn)、N、F分別是AB、DE、BD的中點(diǎn)，∴NF、MF分別是△BDE、△ABD的中位線，∴NF∥BE，MF∥AD，NF=12BE＝5，MF=∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵M(jìn)F∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN=N故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】(2023春?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，則EF的長(zhǎng)為．【分析】連接BD，取BD中點(diǎn)G，連接EG、FG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG交其延長(zhǎng)線于H，證明EG是△ABD的中位線，GF為△BDC的中位線，進(jìn)而求得∠HGF＝60°，在直角△FGH和直角△EFH中進(jìn)行求解即可得解．【解答】解：如圖：連接BD，取BD中點(diǎn)G，連接EG、FG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EG交其延長(zhǎng)線于H，又∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴EG是△ABD的中位線，GF為△BDC的中位線，∴EG//AB，EG=12AB＝10，GF//CD，GF=∴∠GFB＝∠C，∵∠DGF＝∠DBC十∠GFB，∴∠DGF＝∠DBC+∠C．∵EG//AB，∴∠EGD＝∠ABD，∴∠EGD+∠DGF＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠ABC+∠C．∵∠ABC+∠C＝120°，∴∠EGD+∠DGF＝120°＝∠EGF，∴∠HGF＝60°，∵FH⊥EG，∴在直角△FGH中，∠HFG＝30°，∴GH=12FG=3∴在直角△EFH中，EF=E故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線的判定及性質(zhì)，勾股定理，利用中位線作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】(2023秋?張店區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【分析】（1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可證明∠H＝∠AFE，進(jìn)而可得：AH＝AF，【解答】證明（1）∵E，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EG是△BDC的中位線，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，∴EG=12BD，F(xiàn)G=∵BD＝AC，∴GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF，∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H，∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，∴∠H＝∠AFE，∴AH＝AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．【變式5-7】如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，BE的延長(zhǎng)線與AC邊相交于點(diǎn)D，求證：EF=12（AC﹣（2）如圖2，