第第頁(yè)專題2.4函數(shù)的圖象與函數(shù)的零點(diǎn)問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)圖象的畫法與圖象變換】 2【題型2函數(shù)圖象的識(shí)別】 5【題型3函數(shù)圖象的應(yīng)用】 7【題型4函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】 9【題型5求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 11【題型6根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)】 14【題型7根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍】 17【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】 201、函數(shù)的圖象與函數(shù)的零點(diǎn)問題函數(shù)圖象問題主要以考查圖象識(shí)別為重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也可能考查利用函數(shù)圖象解函數(shù)不等式等，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)候也會(huì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)在解答題中考查，此時(shí)難度偏大.【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的圖象問題】1.作函數(shù)圖象的一般方法(1)描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.2.函數(shù)圖象識(shí)別的解題思路(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問題.【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)問題】1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來(lái)求解.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.【題型1函數(shù)圖象的畫法與圖象變換】【例1】（2023上·北京·高三?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)y=xx?1的圖象，只需將函數(shù)y=1x的圖象（

）A．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度【解題思路】先變形得到y(tǒng)=x【解答過(guò)程】y=x故y=1x先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位得到故選：A.【變式1-1】（2023上·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）將函數(shù)y=?x2A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)題意，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，得到其大致圖像，即可判斷平移之后的函數(shù)圖像.【解答過(guò)程】

因?yàn)閥=3?將其向左、向下分別平移2個(gè)、3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖像為C選項(xiàng)中的圖像.故選：C.【變式1-2】（2023上·陜西漢中·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)fx(1)求f(6)，f(?1)的值；(2)利用描點(diǎn)法直接在所給坐標(biāo)系中作出y=fx【解題思路】（1）將x=6以及x=?1代入解析式，即可得出答案；（2）在坐標(biāo)系中，描出合適的點(diǎn)，用光滑的曲線連起來(lái)，即可得出函數(shù)圖象.【解答過(guò)程】（1）由已知可得，f6=2（2）在坐標(biāo)系中描點(diǎn)2,1，4,0.5，?3,0，3,0作出y=fx【變式1-3】（2023上·河南南陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）作出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)圖象：(1)y=2x?1(2)y=x【解題思路】（1）化簡(jiǎn)y=2x?1x?1可得（2）化簡(jiǎn)y=x2?2|x|?1【解答過(guò)程】（1）由題意得y=2+1x?1，其圖象可由再向上平移2個(gè)單位得到，即：

（2）由題意得y=x分段作出二次函數(shù)圖象，則y=x【題型2函數(shù)圖象的識(shí)別】【例2】（2022·天津南開·統(tǒng)考一模）函數(shù)y=x2?1A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的解析式，利用f1【解答過(guò)程】由題意，函數(shù)fx因?yàn)閒1=0，即函數(shù)fx又因?yàn)閒(?2)=3e故選：C.【變式2-1】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=fx的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

A．x2fx B．fxx2【解題思路】利用分類討論思想，根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)，及變化，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)判斷即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以x2fx對(duì)于B，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以fxx2對(duì)于C，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以xf(x)>0，且x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，xf(x)→+∞；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，所以xf(x)>0，且x→+∞時(shí)，f(x)→0，對(duì)于D，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，則f2(x)>0，所以xf故選：C.【變式2-2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）函數(shù)y=x3?xA． B．C． D．【解題思路】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除B,D，再判斷0<x<1時(shí)函數(shù)的正負(fù)即可得出.【解答過(guò)程】設(shè)f(x)=x3f(?x)=(?x)所以函數(shù)y=fx當(dāng)0<x<1時(shí)，x3<x，則故選：C.【變式2-3】（2020上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fx=x2sinA．

B．

C．

D．

【解題思路】先判斷函數(shù)的奇偶性，排除AC，再由特殊值驗(yàn)證，排除B，即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(?x)=?x所以fx又因?yàn)閒π故選：D.【題型3函數(shù)圖象的應(yīng)用】【例3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）若函數(shù)fx=2axA．?13 B．?23 C．【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.【解答過(guò)程】由圖象知，ax2+bx+c=0所以29a+3b+c=12×4=所以fx所以f(5)=1故選：A.【變式3-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）如圖為函數(shù)y=fx和y=gx的圖象，則不等式

A．?∞,?1∪C．?1,0∪1,+∞【解題思路】數(shù)形結(jié)合判斷各區(qū)間函數(shù)值的正負(fù)即可.【解答過(guò)程】由圖象可得當(dāng)fx>0?x∈?1,0∪1,+∞，此時(shí)需滿足當(dāng)fx<0?x∈?∞,?1∪0,1綜上所述，x∈0,1故選：D.【變式3-2】（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)y=ax?bx?c的圖像如圖所示，可以判斷a，b，cA．a(chǎn)<0，b>0，c=0 B．a(chǎn)>0，b>0，c=0C．a(chǎn)<0，b=0，c>0 D．a(chǎn)<0，b=0，c=0【解題思路】分b=0,c>0、b>0,c=0兩種情況討論即可.【解答過(guò)程】函數(shù)y=ax?b①當(dāng)b=0,c>0時(shí)，y=a當(dāng)x∈0,c時(shí)，y與a同號(hào)，當(dāng)x∈c,+∞時(shí)，y與圖中信息矛盾；②當(dāng)b>0,c=0時(shí)，y=a由圖可得，當(dāng)x∈b,+∞時(shí)，y<0，所以然后可驗(yàn)證當(dāng)b>0,c=0，a<0時(shí)，圖中信息都滿足，故選：A.【變式3-3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）定義域和值域均為?a,a(常數(shù)a>0)的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，則方程fgA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由圖象可得方程fx=0在?a,a上有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合函數(shù)【解答過(guò)程】由圖(a)可知，方程fx=0在由圖(b)可知，函數(shù)gx在?a,a上單調(diào)遞減，且值域?yàn)?a,a所以方程fg故選：C.【題型4函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】【例4】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x+x?6有一個(gè)零點(diǎn)x=A．12,1 B．1,32 C．【解題思路】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題知fx在R∵f12=3?5.5<0又33?4.52>0，∴f32故選：B.【變式4-1】（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=A．(1,e) B．e,e2 C．e2【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可計(jì)算求解.【解答過(guò)程】f(x)=f(1)=3>0,所以零點(diǎn)位于e2故選：C.【變式4-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=2x+log2A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷a,c小于1，b大于1，再由數(shù)形結(jié)合判斷a,c即可.【解答過(guò)程】令g(x)=12x?log2x=0令f(x)=2x+log2x=0，可得即0<a<1；令?(x)=x3+log2x=0，可得即0<c<1，作y=2

由圖象可知，a<c，所以a<c<b.故選：D.【變式4-3】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?5,x≤?2xlg(x+2),x>?2，若方程A．?3 B．?2 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)x的取值范圍不同，分別解出f(x)=1根即可得出答案.【解答過(guò)程】當(dāng)x≤?2時(shí)，fx=x2?5當(dāng)x>?2時(shí)，fx=xlg(x+2)，其中當(dāng)f(x)=1時(shí)，解得x∈1,2，綜上k故選：C.【題型5求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】【例5】（2023·陜西西安·西安?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=1?lgA．log38 B．2 C．log3【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)的定義即可求解.【解答過(guò)程】令fx=1?lg3x故選：A.【變式5-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=5x?5(x≤1)x2?4x+3(x>1)，則函數(shù)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】設(shè)Fx=f(x)?log【解答過(guò)程】

設(shè)Fx設(shè)gx=log又f1=5×1?5=0=g1因?yàn)閒132=5×所以，F(xiàn)1又f12=5×所以，F(xiàn)1根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可知，?x1∈即x1是函數(shù)y=f(x)?因?yàn)閒3=0，所以，F(xiàn)3又f4=4所以，F(xiàn)4根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可知，?x2∈即x2是函數(shù)y=f(x)?結(jié)合函數(shù)圖象以及fx,gx的增長(zhǎng)速度可知，當(dāng)x<x1綜上所述，函數(shù)y=f(x)?log2x的零點(diǎn)為1，x故選：C.【變式5-2】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有fx+2+f2?x=0，當(dāng)x∈0,2時(shí)，fA．10 B．15 C．20 D．21【解題思路】根據(jù)條件fx+2+f2?x=0，得到函數(shù)fx的周期為T=4，再根據(jù)條件得出x∈【解答過(guò)程】因?yàn)閒x+2+f2?x=0，令所以f(4?t)=?f(t)，從而有f(4+t)=?f(?t)，又函數(shù)fx是定義在R所以f(4+t)=f(t)，即f(4+x)=f(x)，所以函數(shù)fx的周期為T=4令x∈?2,0，則?x∈0,2，又當(dāng)x∈0,2所以f?x=ln(故fx=lnx,x∈(0,2)0,x=0?ln又當(dāng)x∈0,2時(shí)，由fx=0，得到x=1，當(dāng)x∈?2,0，由fx又T=4，所以f(?8)=f(?4)=f(0)=f(4)=f(8)=0，f(?9)=f(?5)=f(?1)=f(3)=f(7)=0，f(?7)=f(?3)=f(1)=f(5)=f(9)=0，又由fx+2+f2?x=0，得到所以f(?10)=f(?6)=f(?2)=f2再結(jié)合圖像知，fx在?10,10故選：D.【變式5-3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)，對(duì)于?x∈R都有f(1+x)=f(1?x)，當(dāng)?1≤x<0時(shí)，f(x)=log2(?x)，則函數(shù)g(x)=f(x)?2在A．16 B．12 C．10 D．8【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及對(duì)稱性，推出函數(shù)的周期，再結(jié)合?1≤x<0時(shí)，f(x)=log【解答過(guò)程】由題意定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)，對(duì)于?x∈R，都有f(1+x)=f(1?x)f(x)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；且f(1+x)=f(1?x)=?f(x?1)，即f(2+x)=?f(x)，故f(4+x)=?f(2+x)=f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)0<x≤1，則?1≤?x<0，則f?x故fx當(dāng)1≤x<2，則?1≤x?2<0，因?yàn)閒(2+x)=?f(x),∴f(x)=?f(x?2)，則fx當(dāng)2<x≤3時(shí)，則0<x?2<1,由此可作出函數(shù)f(x)在(0,

由g(x)=f(x)?2=0可得f(x)=2，由圖象可知f(x)的圖象與y=2在(0,8)內(nèi)僅有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左向右依次為x1由于x=1為圖象對(duì)稱軸，且函數(shù)周期為4，故x=5也為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故由圖象可知x1,x2關(guān)于x=1對(duì)稱，故x1+x即函數(shù)g(x)=f(x)?2在(0,故選：B.【題型6根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)】【例6】（2023上·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax2?4x?1a≠0在區(qū)間A．?3,0∪0,5 C．?4∪?3,0∪【解題思路】通過(guò)分類討論二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)定理即可求出實(shí)數(shù)a的集合.【解答過(guò)程】由題意，在fx=ax函數(shù)在區(qū)間?1,1內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，∴Δ=當(dāng)a≠0,Δ>0時(shí),只需f(?1)?f(1)<0,即解得：?3<a<5,且a≠0,∴?3<a<0，0<a<5,當(dāng)a=?3時(shí)，fx=?3x當(dāng)a=5時(shí)，fx=5x當(dāng)a≠0,Δ=0時(shí),即a=?4時(shí),fx符合題意，綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為：?4∪[?3,0)∪(0,5]故選：D.【變式6-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3ax?1?2a在區(qū)間?1,1上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．(?∞,?1)∪B．1C．?∞,?D．?∞,?【解題思路】函數(shù)f(x)=3ax?1?2a為一次函數(shù)，只要保證其兩端點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，就可以保證其在區(qū)間（?1，1）上存在零點(diǎn)，即f1?f?1<0，從而得到關(guān)于【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3ax?1?2a為一次函數(shù)，要使其在區(qū)間（?1，1）上存在零點(diǎn)，要保證其兩端點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，所以f即f(1)?f(?1)=(3a?1?2a)(?3a?1?2a)<0，解得a<?15或故選：C．【變式6-2】（2023·云南·統(tǒng)考二模）設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x2+a?1A．?43,?1 B．?34【解題思路】函數(shù)圖像開口向上，利用根的分布，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意知，函數(shù)f(x)=x若?1<x當(dāng)x=?1時(shí)，x2+a?1當(dāng)x=1時(shí)，x2+a?1當(dāng)x=2時(shí)，x2+a?1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?4故選：A.【變式6-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=mx2?3x+1的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)mA．(?∞,2) C．(?∞,9【解題思路】根據(jù)解析式，討論m=0、m≠0結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)情況，判斷符合條件的m范圍.【解答過(guò)程】①當(dāng)m=0時(shí)，由f(x)=0，得x=1②當(dāng)m≠0時(shí)，由Δ=9?4m=0，得m=94，此時(shí)f(x)=0由Δ=9?4m>0，得m<94，此時(shí)設(shè)f(x)=0的兩根分別為x1，若0<m<94，則x1+x2=若m<0，則x1+x2=3m綜上，m≤94，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：B.【題型7根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍】【例7】（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3x?1,x<1logA．0,2 B．?2,0C．0,1 D．?1,0【解題思路】轉(zhuǎn)化為fx與y=?m【解答過(guò)程】令gx=fx畫出fx=3函數(shù)gx=fx+m有3個(gè)零點(diǎn)，即則?m∈0,1解得m∈?1,0故選：D.【變式7-1】（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)f(x)=3x?2,x≤27x?1,x>2A．32,73 B．2,73【解題思路】畫出fx的圖象，利用換元法以及一元二次方程根的分布等知識(shí)列不等式，從而求得a【解答過(guò)程】畫出fx的圖象如下圖所示，由圖可知要使fx=t有3依題意，方程f2令s=fx，則s2?as?a+3=0且0<s1<則Δ=a2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,7故選：B.【變式7-2】（2023上·山東濱州·高一?？几?jìng)賽）已知函數(shù)fx(1)求f4(2)若關(guān)于x的方程f2x?2tf【解題思路】（1）利用分段函數(shù)的解析式，直接代入即可得解；（2）令u=fx，由已知可得出u=t或u=t+1，作出函數(shù)u=fx的圖象，分析可知0<t+1<1，求出【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x所以f4（2）令u=fx由f2x?2tf整理得u?tu?t?1=0，解得u=t或作出函數(shù)u=fx因?yàn)閠≤0，所以u(píng)=t≤0，若u=0，則直線u=0與函數(shù)u=fx的圖象有2直線u=1與函數(shù)u=fx的圖象有3此時(shí)，關(guān)于x的方程f2x?所以t<0，則直線u=t+1與函數(shù)u=fx的圖象有4所以0<t+1<1，則?1<t<0.【變式7-3】（2023上·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知a>0且a≠1，函數(shù)fx(1)若a=e且x∈1e(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a【解題思路】（1）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的最值；（2）將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問題，利用分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，進(jìn)而求解結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f故f′當(dāng)x∈1,e時(shí)，f′x<0當(dāng)x∈1e,1時(shí)，f′x所以fx又因?yàn)閒e=1?e所以fx（2）因?yàn)楹瘮?shù)fx故fx所以方程lnx即為函數(shù)y=lnxx令gx=ln當(dāng)x∈e,+∞時(shí)，g′x<0，故當(dāng)x∈0,e時(shí)，g′x>0如圖所示

而ge=1e，所以令?x因?yàn)?1=?ln所以?x=ln又當(dāng)x→+∞時(shí)，gx→0，?所以?x=ln所以函數(shù)?x有兩個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)1<a<e1【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】【例8】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=minxx?2a,x2?6ax+8a2+4（a>1），其中minp,q=p,p≤qq,p>q，若方程A．不能確定 B．x1+x2=x【解題思路】先求出fx=?x2+2ax,x≤2ax2?2ax,2a<x≤2a+【解答過(guò)程】xx?2a=x當(dāng)x≤2a時(shí)，?x即?x當(dāng)x>2a時(shí)，x2若4ax?8a2?4>0，則x>2a+若4ax?8a2?4≤0，則x≤2a+又2a+1a>2a又fa=a2（極大值），f3a要使fx①當(dāng)fa>52f3a>②當(dāng)fa<52f此時(shí)2a<x1<2a+1a<x∴x3?3a=3a?x③當(dāng)fa>52f此時(shí)，x1，x2是方程所以x1+x2=2a故選：A．【變式8-1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x?5,x>0x2+2x?2,x≤0，若存在f(x1)=f(A．(?1,1) B．(?1,1] C．(0,1] D．[0,1]【解題思路】畫出函數(shù)fx的圖象，可得x1+【解答過(guò)程】畫出函數(shù)fx

設(shè)f(x1)=f(根據(jù)圖可得?3<m≤?2，不妨設(shè)y=m與y=x2+2x?2(x≤0)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1當(dāng)m=?2時(shí)，x3最大，由x3當(dāng)m接近?3時(shí)，x3接近最小，由x3?5=?3即x∴x1故選：C.【變式8-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2ln(1)求m的取值范圍；(2)記三個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,【解題思路】（1）由題意首先對(duì)fx（2）構(gòu)造函數(shù)?x=fx?f?x【解答過(guò)程】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,+∞f′x=2x+1且x∈?1,0時(shí)，f′x>0，x∈0,1，f所以fx在?1,0上單調(diào)遞增，0,1上單調(diào)遞減，1,+當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)fx取極大值，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f又f0=m，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且x→+∞,f(x)→+∞，x→?1,f(x)→?∞，所以f1解得0<m<32?2ln2（2）由（1）可知?1<x設(shè)?x=fx?f?x所以函數(shù)?x單調(diào)遞增，所以?x>?即fx1>f?x設(shè)gx=fx所以函數(shù)gx所以gx<g1fx2<f所以x3<2?x又?x1?【變式8-3】（2023下·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x∈[0,3]，函數(shù)F(x)=f(x)?xe?x有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3【解題思路】（1）分類討論a>0與a<0（2）觀察式子先確定x1=0，再利用轉(zhuǎn)化法與換元法得到2lnt2【解答過(guò)程】（1）由f(1)=4a，得3a?b?c=0，又b=?6a，所以c=9a，則f(x)=ax3?6ax2當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，得x<1或x>3；令f'所以f(x)在(?∞,1)和(3,+∞當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)>0，得1<x<3；令f'(x)<0所以f(x)在(?∞,1)與(3,+∞（2）x1因?yàn)閒(x)=ax由F(x)=0，得ax(x?3)2?xe?x因?yàn)閤∈[0,3]，所以x1=0，x2，x3是又lna(x?3)2=lne兩式相減得2ln令3?x2=t2，3?x3令u=t2t所以t3=2lnut2設(shè)g(u)=2(u+1)lnu?4(u?1)，則再設(shè)?(u)=lnu+1所以?(u)在(1,+∞)上為增函數(shù)，則即g′(u)=2lnu+1從而g(u)>g(1)=2(1+1)ln所以t2+t所以x2+x1．（2018·浙江·高考真題）函數(shù)y=2|x|sin2xA． B．C． D．【解題思路】先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在(π【解答過(guò)程】令f(x)=2因?yàn)閤∈R,f(?x)=2|?x|sin因?yàn)閤∈(π2,故選D.2．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=cos(2πx?2πa).x<ax2?2(a+1)x+a2+5,A．2,94∪C．2,94∪【解題思路】由x2?2a+1x+a2+5=0【解答過(guò)程】∵x2?2由2πx?2πa=π2+kπ,k∈Z由0<k2+（1）x<a時(shí)，當(dāng)?5≤?2a?12<?4時(shí)，f當(dāng)?6≤?2a?12<?5，f當(dāng)?7≤?2a?12<?6，f（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=xΔ=4當(dāng)a<2時(shí)，Δ<0，fx當(dāng)a=2時(shí)，Δ=0，fx當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)=a2?2a(a+1)+a2所以若a>52時(shí)，綜上，要使f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足74<a≤942<a≤則可解得a的取值范圍是2,9故選A.3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)fx=ax2?2x?x2【解題思路】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷a的取值范圍．【解答過(guò)程】（1）當(dāng)x2?ax+1≥0時(shí)，fx即a?1x?1若a=1時(shí)，x=?1若a≠1時(shí)，x=1a?1或若方程有一根為x=?1，則1+a+1≥0，即a≥?2若方程有一根為x=1a?1，則1a?12?a×若x=1a?1=?1時(shí)，a=0（2）當(dāng)x2?ax+1<0時(shí)，fx即a+1x?1若a=?1時(shí)，x=1，顯然x2若a≠?1時(shí)，x=1或x=1若方程有一根為x=1，則1?a+1<0，即a>2；若方程有一根為x=1a+1，則1a+1若x=1a+1=1時(shí)，a=0綜上，當(dāng)a<?2時(shí)，零點(diǎn)為1a+1，1當(dāng)?2≤a<0時(shí)，零點(diǎn)為1a?1，?1當(dāng)a=0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)?1；當(dāng)0<a<1時(shí)，零點(diǎn)為1a?1，?1當(dāng)a=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)?1；當(dāng)1<a≤2時(shí)，零點(diǎn)為1a?1，?1當(dāng)a>2時(shí)，零點(diǎn)為1,?1．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a≠0且a≠1．故答案為：?∞4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=cosωx?1(ω>0)在區(qū)間0,2π有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω【解題思路】令f(x)=0，得cosωx=1【解答過(guò)程】因?yàn)?≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ω令f(x)=cosωx?1=0，則令t=ωx，則cost=1有3個(gè)根，其中t∈[0,2ω結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得4π故答案為：[2,3).5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a∈R，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記fx=minx?2,x2?ax+3a?5．若【解題思路】設(shè)gx=x2?ax+3a?5，?x=x?2，分析可知函數(shù)gx至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出【解答過(guò)程】設(shè)gx=x2?ax+3a?5，?要使得函數(shù)fx至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)gx至少有一個(gè)零點(diǎn)，則解得a≤2或a≥10.①當(dāng)a=2時(shí)，gx=x2?2x+1此時(shí)函數(shù)fx②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)gx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1、要使得函數(shù)fx至少有3個(gè)零點(diǎn)，則x所以，a2<?2g③當(dāng)a=10時(shí)，gx=x2?10x+25由圖可知，函數(shù)fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3④當(dāng)a>10時(shí)，設(shè)函數(shù)gx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x3、要使得函數(shù)fx至少有3個(gè)零點(diǎn)，則x可得a2>2g2=4+a?5≥0綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是10,+∞故答案為：10,+∞6．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=lg①若k=0，f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)k，使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)k，使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)k，使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【解題思路】由fx=0可得出lgx=kx+2，考查直線【解答過(guò)程】對(duì)于①，當(dāng)k=0時(shí)，由fx=lgx?2=0對(duì)于②，考查直線y=kx+2與曲線y=?lgx0<x<1對(duì)函數(shù)y=?lgx求導(dǎo)得y′=?1所以，存在k=?100elg對(duì)于③，當(dāng)直線y=kx+2過(guò)點(diǎn)1,0時(shí)，k+2=0，解得k=?2，所以，當(dāng)?100elge<k<?2時(shí)，直線若函數(shù)fx有三個(gè)零點(diǎn)，則直線y=kx+2與曲線y=?直線y=kx+2與曲線y=lgxx>1因此，不存在k<0，使得函數(shù)fx對(duì)于④，考查直線y=kx+2與曲線y=lgxx>1對(duì)函數(shù)y=lgx求導(dǎo)得y′=1所以，當(dāng)0<k<lge100e故答案為：①②④.7．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)fx（1）若a=3，求f（2）證明：fx【解題思路】（1）將a=3代入，求導(dǎo)得f′(x)=（2）令f(x)=13x3【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=令f′x=0解得x=3?23或由f′x>0由f′x<0故函數(shù)的增區(qū)間是(?∞,?3?23)，(3+23（2）［方法一］：【最優(yōu)解】【通性通法】等價(jià)轉(zhuǎn)化＋零點(diǎn)存在性定理由于x2+x+1>0，所以設(shè)g(x)=x3x2+x+1?3a,則g′(x)=x2x2［方法二］：函數(shù)零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系因?yàn)閤2+x+1>0，所以f(x)=0等價(jià)于3a=x3x2+x當(dāng)x→?∞時(shí)，g(x)→?∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，