.4課時(shí)3向量與平行【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.用直線的方向向量和平面的法向量證明線面的平行關(guān)系.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.(邏輯推理、直觀想象)【自主預(yù)習(xí)】1.直線的方向向量(平面的法向量)是否唯一?2.直線與直線平行,它們的方向向量是什么關(guān)系?3.若直線的方向向量與平面的法向量垂直,直線與平面的位置關(guān)系如何?4.若兩平面的法向量平行,這兩平面的位置關(guān)系是什么?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若向量n1,n2為平面α的法向量,則以這兩個(gè)向量為方向向量的兩條不重合直線一定平行.()(2)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反.()2.已知直線l的方向向量為a,平面α內(nèi)兩共點(diǎn)向量OA,OB,則下列關(guān)系中能表示l∥α的是().A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能3.若平面α,β的一個(gè)法向量分別為m=-16,13,-1,n=12,-1,3,則().A.α∥β B.α⊥βC.α與β相交但不垂直 D.α∥β或α與β重合4.設(shè)u是平面α的法向量,a是直線l的方向向量,根據(jù)下列條件判斷α與l的位置關(guān)系:(1)u=(2,2,-1),a=(-6,8,4);(2)u=(2,-3,0),a=(8,-12,0);(3)u=(1,4,5),a=(-2,4,0).【合作探究】探究1直線與直線平行雙杠是男子競(jìng)技體操項(xiàng)目之一.它是由金屬的架子支撐兩條平行的木頭、塑膠或合成金屬制成的杠.一套典型的雙杠動(dòng)作包括在支撐位置、倒立位置和掛臂位置的轉(zhuǎn)換.雙杠于1896年被列為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目.問題1:如何利用向量的方法證明圖中兩杠l1∥l2?問題2:如何證明兩個(gè)向量a,b平行?問題3:兩條直線平行,它們的方向向量平行嗎?新知生成直線與直線平行設(shè)兩條不重合的直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),則l∥m?a∥b?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).新知運(yùn)用例1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,BB1的中點(diǎn).求證:四邊形AEC1F是平行四邊形.方法指導(dǎo)證明四邊形AEC1F是平行四邊形,即證明四邊形的對(duì)邊互相平行,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量平行.【方法總結(jié)】1.兩直線平行?兩直線的方向向量共線.2.兩直線的方向向量共線?兩直線平行或重合,所以由兩直線的方向向量共線證明兩直線平行時(shí),必需指出兩直線不重合.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是面對(duì)角線B1D1,A1B上的點(diǎn),且D1E=2EB1,BF=2FA1.求證:EF∥AC1.探究2直線與平面平行問題1:若直線l的方向向量為u=(-3,4,2),平面α的一個(gè)法向量為v=(2,2,-1),則l與α的位置關(guān)系是什么?問題2:如何利用向量證明空間中直線與平面平行?新知生成設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α的法向量為u=(a2,b2,c2),l?α,則l∥α?a·u=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.新知運(yùn)用例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.方法指導(dǎo)可以證明MN與平面A1BD的法向量垂直;可以在平面A1BD內(nèi)找一向量與MN共線;也可以證明MN能用平面A1BD中的兩個(gè)不共線向量線性表示.【方法總結(jié)】向量法證明線面平行的三個(gè)思路(1)設(shè)直線l的方向向量是a,平面α的法向量是u,則要證明l∥α,只需證明a⊥u,即a·u=0,且l?α.(2)根據(jù)線面平行的判定定理可知,要證明一條直線和一個(gè)平面平行,在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.(3)根據(jù)共面向量定理可知,如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量,那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線的向量確定的平面必定平行,因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行,只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示.如圖所示,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn),求證:AB∥平面DEG.探究3平面與平面平行問題1:如何利用向量證明空間中平面與平面平行?問題2:證明平面與平面平行的步驟是什么?新知生成設(shè)不重合的兩個(gè)平面α,β的法向量分別為u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),則α∥β?u∥v?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).新知運(yùn)用例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面A1BD∥平面CD1B1.方法指導(dǎo)按照兩平面平行的條件,要證明平面A1BD∥平面CD1B1,只需證明兩個(gè)平面的法向量平行.【方法總結(jié)】證明兩平面平行時(shí),分別找(或求)出兩個(gè)平面的法向量u,v,驗(yàn)證u∥v成立.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.【隨堂檢測(cè)】1.(多選題)已知v為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),則下列說法正確的是().A.n1∥n2?α∥β B.n1⊥n2?α⊥βC.v∥n1?l∥α D.v⊥n1?l⊥α2.兩個(gè)不重合的平面的法向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是().A.平行 B.相交不垂直C.垂直 D.以上都不對(duì)3.(多選題)若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則下列選項(xiàng)中,能使l∥α成立的是().A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,