第2課時(shí)求空間角考點(diǎn)一異面直線(xiàn)所成的角例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PD=2,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).(1)求證:BC∥平面PAD;(2)求直線(xiàn)AC與BE所成角的余弦值.(1)證明

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BC∥AD,因?yàn)锽C?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.(2)解

因?yàn)镻D⊥平面ABCD,AD,DC?平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AD⊥DC,如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線(xiàn)DA,DC,DP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(0,1,1),[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·江蘇南京模擬)如圖所示,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4,求異面直線(xiàn)AQ與PB所成角的正弦值.解

由題設(shè)知,四邊形ABCD是正方形,連接AC,BD,交于點(diǎn)O,則AC⊥BD,則OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD,故PQ⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線(xiàn)CA,DB,QP分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,考點(diǎn)二直線(xiàn)與平面所成的角例2(2023·全國(guó)甲,理18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明

∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥CC1交CC1于點(diǎn)O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距離為1,∴A1O=1.

(方法二

空間向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC兩兩垂直.如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2022·全國(guó)甲,理18)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.(1)證明:BD⊥PA;(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.(1)證明

∵PD⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PD⊥BD.取AB的中點(diǎn)E,連接DE.∵CD=1,BE=AB=1,CD∥BE,∴四邊形CDEB是平行四邊形,∴DE=CB=1.∵DE=AB,∴△ABD為直角三角形,AB為斜邊,∴BD⊥AD.∵PD?平面PAD,AD?平面PAD,且PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD.又PA?平面PAD,∴BD⊥PA.考點(diǎn)三平面與平面的夾角例3(12分)(2023·新高考Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;突破口:注意到正四棱柱各條棱的長(zhǎng)度,可以發(fā)現(xiàn)相關(guān)棱的中點(diǎn)或四等分點(diǎn).關(guān)鍵點(diǎn):題目條件并未明確這兩條線(xiàn)共面,不能直接應(yīng)用.(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.關(guān)鍵點(diǎn):建立空間直角坐標(biāo)系后,根據(jù)點(diǎn)P的位置,用一個(gè)未知量表示其坐標(biāo).審題指導(dǎo):(1)(思路一)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量坐標(biāo)相等證明.(思路二)作輔助線(xiàn),結(jié)合平行線(xiàn)的傳遞性,證明多個(gè)平行四邊形,從而得線(xiàn)線(xiàn)平行.(思路三)選擇一組基底,把

都用基底表示,由向量相等證明.(2)建立坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),求出二面角兩個(gè)半平面的法向量,利用公式建立方程,求解即可.規(guī)范解答:(1)證明(方法一

向量法)要選取合適的點(diǎn)和線(xiàn)建系

由題意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).此處要確保每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)正確,這樣才能保證后面的運(yùn)算準(zhǔn)確

向量平行不等價(jià)于線(xiàn)線(xiàn)平行,

所以需要強(qiáng)調(diào)四點(diǎn)不共線(xiàn)

(方法二

幾何法)設(shè)棱DD1上的點(diǎn)N滿(mǎn)足DN=AA2=1,取CC1的中點(diǎn)M,連接A2N,MN,B2M.因?yàn)辄c(diǎn)A2,B2,C2,D2分別是棱的中點(diǎn)或四等分點(diǎn)

因?yàn)镈N∥AA2,且DN=AA2,證明平行四邊形一般利用一組對(duì)邊平行且相等

所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因?yàn)锳D∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.厘清這三個(gè)平行四邊形之間的聯(lián)系

所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,

故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.利用線(xiàn)線(xiàn)平行的傳遞性證明線(xiàn)線(xiàn)平行

合理選擇相關(guān)的基底是關(guān)鍵

注意將問(wèn)題中涉及的向量用同一組基底表示

將線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系來(lái)證明

不可忽略

要選取合適的點(diǎn)和線(xiàn)建系

由題意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),設(shè)點(diǎn)P(0,2,a),其中0≤a≤4.點(diǎn)P在棱BB1上,包括端點(diǎn)

取z2=2,可得x2=a-1,y2=3-a,賦值時(shí)應(yīng)確保法向量的每個(gè)坐標(biāo)均用整數(shù)或整式型表示,并對(duì)三個(gè)坐標(biāo)中的公因式或公約數(shù)進(jìn)行約簡(jiǎn)

注意兩向量的夾角與二面