工程數(shù)學第5講逆矩陣通過閱讀報刊，我們能增長見識，擴大自己的知識面。工程數(shù)學第5講逆矩陣通過閱讀報刊，我們能增長見識，擴大自己的用高斯消元法解線性方程組,其消元步驟是對增廣矩陣做三類行變換:

(i)以非零常數(shù)c乘矩陣的某一行;

(ii)將矩陣的某一行乘以常數(shù)c并加到另一行;

(iii)將矩陣的某兩行對換位置.

這三類行變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換,(i)稱為倍乘變換,(ii)稱為倍加變換,(iii)稱為對換變換.

在矩陣的其他一些問題里(如展開方陣的行列式),也要對矩陣作上述三類初等列變換,初等行,列變換統(tǒng)稱為初等變換.4/2/20242用高斯消元法解線性方程組,其消元步驟是4/2/20定義2.3.1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對調(diào)兩行(對調(diào)第i行和第j行,記作).(2)用非零數(shù)k乘以某一行的全部元素(第i行乘k,記作).（3）把某一行的k倍加到另一行的對應(yīng)的元素上(第j行的k倍加到第i行上,記作).同樣可定義矩陣的初等列變換.初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.4/2/20243定義2.3.1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:4/2定義2.3.2如果矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作A～B.矩陣的等價關(guān)系滿足下列三個性質(zhì):(1)自反性A～A;(2)對稱性若A～B,則B～A;(3)傳遞性若A～B,B～C;則A～C.

兩個等價矩陣所對應(yīng)的兩個方程組有相同的解.4/2/20244定義2.3.2如果矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換4/2/202

初等變換在矩陣的理論中具有十分重要作用.矩陣的初等變換不只是可用語言表達,而且可用矩陣的乘法運算來表示,為此要引入初等矩陣的概念.

定義2.3.3將單位矩陣作一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣.對應(yīng)于三類初等行,列變換,有三種類型的初等矩陣:4/2/202454/2/20245(i)初等對換矩陣Eij是由單位矩陣第i,j行(或列)對換而得到的.4/2/20246(i)初等對換矩陣Eij是由單位矩陣第i,j行(或列)對換(ii)初等倍乘矩陣Ei(c)是由單位矩陣第i行(或列)乘c(c0)得到.4/2/20247(ii)初等倍乘矩陣Ei(c)是由單位矩陣第i行(或列)乘(iii)初等倍加矩陣Eij(c)是由單位矩陣第i行乘c加到第j行而得到的,或由第j列乘c加到第i列而得到.4/2/20248(iii)初等倍加矩陣Eij(c)是由單位矩陣第i行乘c加例1計算下列初等矩陣與矩陣A=[aij]3

n,A=[aij]32,B=[bij]33的乘積:4/2/20249例1計算下列初等矩陣與矩陣A=[aij]3n,

由例1可見,初等矩陣左乘A(右乘B)的結(jié)果是對A(B)作初等行(列)變換,而且,如果初等矩陣是由單位矩陣作某種行(列)變換所得,那末它在左乘A(右乘B)也是對A(B)作該種行(列)初等變換.4/2/202410由例1可見,初等矩陣左乘A(右乘B)的結(jié)果是4/2不難證明下面的一般結(jié)論:

Ei(c)A 表示A的第i行乘c;

Eij(c)A 表示A的第i行乘c加至第j行;

EijA 表示A的第i行與第j行對換位置;

BEi(c) 表示B的第i列乘c;

BEij(c) 表示B的第j列乘c加至第i列;

BEij 表示B的第i列與第j列對換位置.4/2/202411不難證明下面的一般結(jié)論:

Ei(c)A 表示A的第i行乘c;

2.4逆矩陣

矩陣運算中定義了加法和負矩陣,就可以定義矩陣的減法.那么定義了矩陣的乘法,是否可以定義矩陣的除法呢?由于矩陣乘法不滿足交換律,因此我們不能一般地定義矩陣的除法.在數(shù)的運算中,當數(shù)a0時,aa-1=a-1a=1,這里a-1=1/a稱為a的倒數(shù),(或稱a的逆);在矩陣乘法運算中,單位矩陣I相當于數(shù)的乘法中的1,則對于一個矩陣A,是否存在一個矩陣A-1,使得AA-1=A-1A=I呢?如果存在這樣的矩陣A-1,就稱A是可逆矩陣,并稱A-1是A的逆矩陣.4/2/2024122.4逆矩陣

定義1對于矩陣A,如果存在一個矩陣B,使得

AB=BA=I, (2.22)

就稱A為可逆矩陣,(簡稱A可逆),并稱B是A的逆矩陣,記作A-1,即A-1=B.

由定義可知,可逆矩陣及其逆矩陣是同階方陣.由于(2.22)式中,A與B的地位是平等的,所以也可稱A是B的逆矩陣.4/2/202413定義1對于矩陣A,如果存在一個矩陣B,使得

AB定理1若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.

證設(shè)B和C都是A的逆矩陣,則由

AB=BA=I,

AC=CA=I,

可得

B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C,

故A的逆矩陣是唯一的.4/2/202414定理1若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.

證設(shè)B

下面討論矩陣A可逆的充分必要條件.

如果A可逆,其逆為B,則|A||B|=|AB|=|I|=1,必有|A|0,因此,|A|0是A可逆的必要條件.

下面要證明|A|0也是A可逆的充分條件.為此要引入伴隨矩陣(adjointmatrix)的概念.4/2/202415下面討論矩陣A可逆的充分必要條件.

如果A可逆,其定義2設(shè)A是一個n階矩陣,Aij是行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式.稱是A的代數(shù)余子式矩陣.4/2/202416定義2設(shè)A是一個n階矩陣,Aij是行列式|A|中元素aij稱cofA的轉(zhuǎn)置矩陣是A的伴隨矩陣,記作adjA或A*在2.2節(jié)的例6中已經(jīng)證明了4/2/202417稱cofA的轉(zhuǎn)置矩陣是A的伴隨矩陣,記作adjA或A*同理可證,A*A=|A|I,于是

AA*=A*A=|A|I, (2.23)

當|A|0時,可得故當|A|0時,A可逆,且4/2/202418同理可證,A*A=|A|I,于是

AA*=A*A=|A定理2矩陣A可逆的充分必要條件是:

|A|0,且4/2/202419定理2矩陣A可逆的充分必要條件是:

推論若A,B都是n階矩陣,且AB=I,則BA=I,即A,B皆可逆,且A,B互為逆矩陣.

證由AB=I,得|A||B|=1,|A|0,B0,A,B皆可逆,于是,

BA=IBA=A-1ABA=A-1IA=A-1A=I

因此,判斷B是否為A的逆,只需驗證AB=I或BA=I的一個等式成立即可.4/2/202420推論若A,B都是n階矩陣,且AB=I,則BA例1下列矩陣A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩陣4/2/202421例1下列矩陣A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩陣4/2/解

4/2/202422解4/2/202422如b1b2b30,B可逆,且求逆運算容易出錯,在求得A-1后,應(yīng)驗證AA-1=I,保證結(jié)果是正確的.4/2/202423如b1b2b30,B可逆,且求逆運算容易出錯,在求得例2設(shè)的行列式detA=a11a12-a12a21=d0,則其逆矩陣4/2/202424例2設(shè)的行列式detA=a11a12-a12a21=d例3設(shè)方陣滿足方程A2-3A-10I=O,證明A,A-4I都可逆,并求它們的逆矩陣.

解因為4/2/202425例3設(shè)方陣滿足方程A2-3A-10I=O,證明A例4已知非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A如例1所給,b=[5,1,1]T,問方程組是否有解?如有解,求其解.

解由于A是可逆矩陣,且逆矩陣是唯一的,因此等式AX=b兩端都左乘A-1,即

A-1(AX)=A-1b,即X=A-1b

便得此方程組的唯一解:4/2/202426例4已知非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A如例1所可逆矩陣A有以下性質(zhì):4/2/202427可逆矩陣A有以下性質(zhì):4/2/202427例5證明:若A是可逆的反對稱矩陣,則A-1也是反對稱矩陣.

證因為AT=-A,則

(A-1)T=(AT)-1=(-A)-1=-A-1,

所以A-1也是反對稱矩陣.

同理,可逆對稱矩陣的逆矩陣仍是對稱矩陣.4/2/202428例5證明:若A是可逆的反對稱矩陣,則A-1也初等矩陣的行列式都不等于零,因此初等矩陣都是可逆矩陣.由于對初等矩陣再作一次初等變換就化為單位矩陣,即所以,初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣,即4/2/202429初等矩陣的行列式都不等于零,因此初等矩陣都是可逆矩例6設(shè)初等矩陣試求P1P2P3及[P1P2P3]-1.4/2/202430例6設(shè)初等矩陣試求P1P2P3及[P1P2P3]-1.4/2解4/2/202431解4/2/2024314/2/2024324/2/202432定理可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣.

證

n階可逆矩陣的行列式|A|0,所以它的第一列元素不全為零.不妨假設(shè)a110(如a11=0,必存在ai10,此時先把第1行與第i行交換),先將第一行乘1/a11,再將變換后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得4/2/202433定理可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位其中P11,P12,...,P1m是對A所作初等行變換所對應(yīng)的初等矩陣.由于|A1|=|P1m...P12P11A|0,故對B中A1繼續(xù)作如對A所作的初等變換,直至把B化為主對角元為1的上三角矩陣,即4/2/202434其中P11,P12,...,P1m是對A所作初等行變換所對應(yīng)再將C中第n,n-1,...,2行依次分別乘某些常數(shù)加到前面的第n-1,n-2,...,1行,就可使C化為單位矩陣,即.P3k...P32P31C=I

綜上就有

(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I

其中A左邊的矩陣都是初等矩陣,定理得證.4/2/202435再將C中第n,n-1,...,2行依次分別乘某些常數(shù)加到前面推論1可逆矩陣A可以表示為若干個初等矩陣的乘積.

證根據(jù)定理,存在初等矩陣P1,P2,...,Ps,使得

Ps...P2P1A=I (2.26)

所以

A=(Ps...P2P1)-1=P1-1P2-1...Ps-1,(2.27)

其中P1-1,P2-1,...,Ps-1仍是初等矩陣,推論得證

由(2.26)知

A-1=Ps...P2P1=Ps...P2P1I. (2.28)

由(2.26)和(2.28)式,即得4/2/202436推論1可逆矩陣A可以表示為若干個初等矩陣的乘積.

推論2如果對可逆矩陣A和同階單位矩陣I作同樣的初等行變換,則當A變?yōu)閱挝痪仃嚂r,I就變?yōu)锳-1,即

[A,I] [I,A-1]