專題17正方形與45度角基本圖【例題講解】如圖1，在正方形中，E是上一點，F(xiàn)是延長線上一點，且．（1）求證：；（2）在圖1中，若G在上，且，則成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：①如圖2，在直角梯形中，，，，E是上一點，且，，求的長．②如圖3，在中，，，，，則的面積為____（直接寫出結(jié)果，不需要寫出計算過程）解：（1）證明：在正方形ABCD中CB=CD，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE≌△DCF（已證），∴∠BCE=∠DCF．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=FG．∵FG=GD+DF，∴GE=BE+GD．（3）①如圖2，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，由（2）和題設(shè)知：DE=DG+BE，設(shè)DG=x，則AD=12-x，DE=x+4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD2+AE2=DE2∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2解得x=6．∴DE=6+4=10；②將△ABD沿著AB邊折疊，使D與E重合，△ACD沿著AC邊折疊，使D與G重合，可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，AE=AG=AD，BD=EB=2，DC=CG=3，∴四邊形AEFG為正方形，設(shè)正方形的邊長為x，可得BF=x-2，CF=x-3，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BF2+CF2=BC2，即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2，解得：x=6或x=-1（舍去），∴AD=6，則S△ABC=BC?AD=15．【綜合演練】1．如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點B，D恰好都和點G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長度．2．如圖所示，正方形中，點，分別為，上一點，點為上一點，，關(guān)于直線對稱.連結(jié)并延長交的延長線于，求證：.3．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，將∠EAF繞頂點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊始終與直線CD交于點E，與直線BC交于點F，連接EF．（1）如圖①，當(dāng)BF＝DE時，求證：△ABF≌△ADE；（2）若∠EAF旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，求證：∠AFB＝∠AFE；（3）若BC＝4，當(dāng)邊AE經(jīng)過線段BC的中點時，在AF的右側(cè)作以AF為腰的等腰直角三角形AFP，直接寫出點P到直線AB的距離．4．已知正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點．（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點，證明DE＝DF；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為1，△BEF的周長為2．①試證明∠EDF＝45°；②請你進(jìn)一步探究圖形的其它重要性質(zhì)，并將如下A，B，C，D四個結(jié)論中，正確的代號直接填寫在橫線上（不必寫出推理過程）：_________．A．△DEF一定是等腰三角形．B．EF＝AE+CF．C．△DEF中，EF邊上的高為定值．D．△DEF的面積存在最小值．5．已知：四邊形為正方形，是等腰，．（1）如圖：當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、相交于點、，連接，試證明：．（2）如圖，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、的延長線相交于點、，連接．①試寫出此時三線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明．②若，，求：正方形的邊長以及中邊上的高．6．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．7．已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線AN與BC交于P點，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．8．已知正方形，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于點M、N，于點H．（1）如圖①，當(dāng)時，可以通過證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系是___________；（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由；（3）如圖③，已知中，，于點H，，，求的長．9．如圖正方形的邊、在坐標(biāo)軸上，已知點．將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于），得到正方形，交線段于點，的延長線交線段于點，連接、．（1）求的度數(shù)．（2）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線上是否存在點，使以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．10．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線段AB上一動點．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長CE交射線AD于點D．（1）如圖1，當(dāng)P為AB的中點時，求出AD的長；（2）如圖2，延長PE交AD于點F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內(nèi)部有一點Q，且OQ＝8，過點Q作OQ的垂線GH分別交OM、ON于G、H兩點．當(dāng)QG＝2時，求QH的值．11．分層探究（1）問題提出：如圖1，點E、F別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF，解題思路：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度至△ADG，可使AB與AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，則知F、D、G三點共線，從而可證△AFG≌（），從而得EF＝BE+DF，閱讀以上內(nèi)容并填空．（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，當(dāng)∠B、∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時，仍有EF＝BE+DF？（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E均在邊BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．12．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直線BG，DE交于點H．（1）如圖1，當(dāng)B，C，E共線時，求證：BH⊥DE．（2）如圖2，把正方形CEFG繞C點順時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90），M，N分別為BG，DE的中點，探究HM，HN，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接寫出DH的長．13．已知一次函數(shù)，（1）無論k為何值，函數(shù)圖像必過定點，求該點的坐標(biāo)；（2）如圖1，當(dāng)k=-時，該直線交x軸，y軸于A，B兩點，直線l2:y=x+1交AB于點P，點Q是l2上一點，若SABQ6，求Q點的坐標(biāo)；（3）如圖2，在第2問的條件下，已知D點在該直線上，橫坐標(biāo)為1，C點在x軸負(fù)半軸，ABC=45，動點M的坐標(biāo)為（a，a），求CM+MD的最小值．14．問題背景：如圖1，在正方形中，點分別在邊上，，求證：．洋洋同學(xué)給出了部分證明過程，請你接著完成剩余的證明過程．證明：延長到點使，連接，正方形，，在和中，遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，交于點，若，，求的長．聯(lián)系拓展：如圖3，在矩形中，點分別在邊上，，若，探究與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．15．如圖所示，正方形中，點，分別為，上一點，點為上一點，，關(guān)于直線對稱.（1）求證：，關(guān)于對稱；（2）若的平分線交的延長線于，求證：.16．已知A（m，n），且滿足|m﹣2|+（n﹣2）2=0，過A作AB⊥y軸，垂足為B．（1）求A點坐標(biāo)．（2）如圖1，分別以AB，AO為邊作等邊△ABC和△AOD，試判定線段AC和DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，過A作AE⊥x軸，垂足為E，點F、G分別為線段OE、AE上的兩個動點（不與端點重合），滿足∠FBG=45°，設(shè)OF=a，AG=b，F(xiàn)G=c，試探究﹣a﹣b的值是否為定值？如果是求此定值；如果不是，請說明理由．專題17正方形與45度角基本圖【例題講解】如圖1，在正方形中，E是上一點，F(xiàn)是延長線上一點，且．（1）求證：；（2）在圖1中，若G在上，且，則成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：①如圖2，在直角梯形中，，，，E是上一點，且，，求的長．②如圖3，在中，，，，，則的面積為____（直接寫出結(jié)果，不需要寫出計算過程）解：（1）證明：在正方形ABCD中CB=CD，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE≌△DCF（已證），∴∠BCE=∠DCF．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=FG．∵FG=GD+DF，∴GE=BE+GD．（3）①如圖2，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，由（2）和題設(shè)知：DE=DG+BE，設(shè)DG=x，則AD=12-x，DE=x+4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD2+AE2=DE2∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2解得x=6．∴DE=6+4=10；②將△ABD沿著AB邊折疊，使D與E重合，△ACD沿著AC邊折疊，使D與G重合，可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，AE=AG=AD，BD=EB=2，DC=CG=3，∴四邊形AEFG為正方形，設(shè)正方形的邊長為x，可得BF=x-2，CF=x-3，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BF2+CF2=BC2，即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2，解得：x=6或x=-1（舍去），∴AD=6，則S△ABC=BC?AD=15．【綜合演練】1．如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點B，D恰好都和點G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)EC=FC=1，得到BE=DF，根據(jù)勾股定理得到EF的長，即可求解．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∵∠EAF=45°，∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，又∵∠B=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，由折疊性質(zhì)知：AB=AG，AD=AG，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）∵EC=FC=1，∴BE=DF，EF=，∵EF=EG+GF=BE+DF，∴BE=DF=EF=，∴AB=BC=BE+EC=．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．2．如圖所示，正方形中，點，分別為，上一點，點為上一點，，關(guān)于直線對稱.連結(jié)并延長交的延長線于，求證：.【答案】見解析【分析】連結(jié)，由對稱的性質(zhì)可知，進(jìn)而可證，即可得，由∠AON=90°，可得.【詳解】證明：連結(jié)，、關(guān)于對稱，垂直平分，，，，.在Rt和Rt中，，又，，.【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．有關(guān)角的問題，往往利用全等，構(gòu)造等腰直角三角形，使問題迅速獲解.3．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，將∠EAF繞頂點A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊始終與直線CD交于點E，與直線BC交于點F，連接EF．（1）如圖①，當(dāng)BF＝DE時，求證：△ABF≌△ADE；（2）若∠EAF旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時，求證：∠AFB＝∠AFE；（3）若BC＝4，當(dāng)邊AE經(jīng)過線段BC的中點時，在AF的右側(cè)作以AF為腰的等腰直角三角形AFP，直接寫出點P到直線AB的距離．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）或4【分析】（1）利用定理判定即可；（2）延長到，使，連接，易證，則，；再證明即可得出結(jié)論；（3）分兩種情形：①，②；①過點作于點，過點作，交延長線于點，利用三角形的面積公式和勾股定理列出方程組求得線段；利用，可得，則點到直線的距離為，結(jié)論可得；②通過說明，可得，則點到直線的距離為，結(jié)論可得．【詳解】解：（1）證明：四邊形為正方形，，．在和中，，．（2）延長到，使，連接，如圖，四邊形為正方形，，．．在和中，，．，．，．即．，．在和中，，．．（3）點到直線的距離為或4，理由：當(dāng)①時，；過點作于點，過點作，交延長線于點，如圖，四邊形為正方形，，．點是的中點，，．設(shè)，，，，．，．．在中，，．．解得：，（不合題意，舍去）．．，，，，．在和中，，．，到直線的距離為．②當(dāng)，時，過作，交的延長線于點，如圖，則點到直線的距離為，，，，，．在和中，，．．點到直線的距離為．綜上，點到直線的距離為或4．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，二元二次方程組的解法，根據(jù)正方形的特殊性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．已知正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點．（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點，證明DE＝DF；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為1，△BEF的周長為2．①試證明∠EDF＝45°；②請你進(jìn)一步探究圖形的其它重要性質(zhì)，并將如下A，B，C，D四個結(jié)論中，正確的代號直接填寫在橫線上（不必寫出推理過程）：_________．A．△DEF一定是等腰三角形．B．EF＝AE+CF．C．△DEF中，EF邊上的高為定值．D．△DEF的面積存在最小值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②BCD【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)及中點定義可得∠A＝∠C＝90°，AD＝CD＝AB＝BC，AE＝AB，CF＝BC，進(jìn)而得出AE＝CF，利用SAS證得△ADE≌△CDF，即可得出結(jié)論；（2）①延長BC至G，使CG＝AE，如圖2，根據(jù)正方形性質(zhì)得出BE+BF+FG＝2，根據(jù)△BEF的周長為2，得出BE+BF+EF＝2，可得EF＝FG，利用SAS證明△DCG≌△DAE，得出DG＝DE，再證明△DEF≌△DGF（SSS），即可證得結(jié)論；②如圖2，設(shè)AE＝x，則BE＝1﹣x，BF＝1+x﹣FG＝1+x﹣EF，得出EF＝，DE＝，DF＝，可判斷A不正確，由①可判斷B、C正確，如圖3，連接BD，延長DA至G，延長DC至H，使DG＝DH＝DB＝，連接GH，交AB于點，交BC于點，證得A+C＝，得出∠＝45°，此時，最小，即△DEF的面積存在最小值，可判斷D正確．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD＝AB＝BC，∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF；（2）如圖2，①延長BC至G，使CG＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝BC＝1，∴BE+AE+BF+CF＝BE+CG+BF+CF＝2，即BE+BF+FG＝2，∵△BEF的周長為2，∴BE+BF+EF＝2，∴EF＝FG，∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠A，在△DCG和△DAE中，，∴△DCG≌△DAE（SAS），∴DG＝DE，∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDG+∠EDC＝90°，∴∠EDG＝90°，在△DEF和△DGF中，，∴△DEF≌△DGF（SSS），∴∠EDF＝∠FDG，∵∠EDF+∠FDG＝90°，∴∠EDF＝∠FDG＝45°；②如圖2，設(shè)AE＝x，則BE＝1﹣x，BF＝1+x﹣FG＝1+x﹣EF，∵BE2+BF2＝EF2，∴（1﹣x）2+（1+x﹣EF）2＝EF2，解得：EF＝，在Rt△ADE中，DE＝，∵CF＝，∴DF＝＝，∴△DEF不一定是等腰三角形，故結(jié)論A不正確；由①知，EF＝FG＝CF+CG＝CF+AE，故結(jié)論B正確；由①知，△DEF≌△DGF，∴EF邊上的高＝GF邊上的高＝1，故結(jié)論C正確；如圖3，連接BD，延長DA至G，延長DC至H，使DG＝DH＝DB＝，連接GH，交AB于點，交BC于點，則∠DGH＝∠DHG＝45°，A＝AG＝C＝CH＝﹣1，∴B＝B＝AB﹣AE′＝2﹣，由勾股定理得：＝（2﹣）＝2﹣2，又∵AE'+C＝2﹣2，∴A+C＝，根據(jù)①可知∠＝45°，此時，最小，即△DEF的面積存在最小值，故結(jié)論D正確；故答案為：BCD．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．5．已知：四邊形為正方形，是等腰，．（1）如圖：當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、相交于點、，連接，試證明：．（2）如圖，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，若邊、分別與、的延長線相交于點、，連接．①試寫出此時三線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明．②若，，求：正方形的邊長以及中邊上的高．【答案】（1）證明見解析；（2）①，證明見解析；②【分析】（1）延長CB到G，使BG=DF，連接AG，根據(jù)正方形性質(zhì)得出AD=AB，∠D=∠ABG，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；（2）①EF=BE-DF，理由是：在BC上取BG=DF，連接AG，證△ABG≌△ADF，△FAE≌△EAG即可；②過F作FH⊥AE于H，設(shè)正方形ABCD的邊長是x，則BC=CD=x，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得出方程（x+4）2=（x+2）2+62，求出x后再求出FH即可．【詳解】（1）證明：如圖1，延長CB到G，使BG=DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠EAG，∵AE=AE，∴△EAF≌△EAG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．（2）①三線段、、的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下:如圖2，在上取一點，使連接，同(1)可證，∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴．②如圖2，過F作FH⊥AE于H，設(shè)正方形ABCD的邊長是x，則BC=CD=x，∵CE=6，DF=BG=2，∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2，∴（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，∴AG=AF=，∵∠FAM=45°，∴FH=AF==，，即△AEF中AE邊上的高為．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．6．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線AN與BC交于P點，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）3【分析】（1）延長到使，連接AG，先證明，由此得到，，再根據(jù)，，可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在BM上取一點G，使得，連接AG，先證明，由此得到，，由此可得，再根據(jù)可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（3）在DN上取一點G，使得，連接AG，先證明，再證明，設(shè)，根據(jù)可求得，由此可得，最后再證明，由此即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，延長到使，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，，，∴，，，在與中，，，，又∵，，；（2），理由如下：如圖，在BM上取一點G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，又∵，，∴，故答案為：；（3）如圖，在DN上取一點G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，設(shè)，∵，，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，在與中，，，，∴CP的長為3．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的的關(guān)鍵．8．已知正方形，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于點M、N，于點H．（1）如圖①，當(dāng)時，可以通過證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系是___________；（2）如圖②，當(dāng)時，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由；（3）如圖③，已知中，，于點H，，，求的長．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由“SAS”可證Rt△ABM≌Rt△ADN，從而可證∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可證Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH；（2）延長CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，從而可證△AEM≌△ANM，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等即可得AB＝AH；（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，可證四邊形ABCD是正方形，設(shè)AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案．【詳解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長BM和DN交于點C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．由折疊可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，設(shè)AH＝AB＝BC＝CD＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴，解得或（舍去），∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形性質(zhì)及應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．9．如圖正方形的邊、在坐標(biāo)軸上，已知點．將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于），得到正方形，交線段于點，的延長線交線段于點，連接、．（1）求的度數(shù)．（2）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線上是否存在點，使以、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）∠PAG=45°（2）P點坐標(biāo)為：（3，）；（3）M1（0，-3）、M2（，3）．【分析】（1）由AD=AB，AP=AP，根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，易證Rt△ADP≌Rt△ABP，同理易證Rt△AOG≌Rt△ADG，繼而可得∠DAP=∠BAP，∠OAG=∠DAG；然后根據(jù)∠OAG+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度數(shù)；（2）根據(jù)題意易得：∠OAG＋∠AGO＝90°，

∠CPG+∠PGC=90°，繼而可得∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∠OAG=∠CPG=30°，在Rt△AOG中，，，CG=3﹣，在Rt△CPG中，可得，繼而即可求解；(3)根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)點M在為直線PE與y軸交點時；②當(dāng)點M為直線EP與直線AB的交點時；根據(jù)以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，求出M點坐標(biāo)即可．【詳解】（1）在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴Rt△ADP≌Rt△ABP（HL），∴∠DAP=∠BAP；在Rt△AOG和Rt△ADG中，∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL）．∴∠OAG=∠DAG；又∵∠OAG+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°；

（2）∵∠OAG＋∠AGO＝90°，∠CPG+∠PGC=90°，∠OAG=∠CPG，∴∠AGO＝∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠OAG=∠CPG=90°﹣60°=30°，在Rt△AOG中，AO=3，設(shè)OG=x，AG＝2x，由勾股定理可得：，即解得：（負(fù)數(shù)舍去）∴，∴G點坐標(biāo)為（，0），CG=3﹣，，∴P點坐標(biāo)為：（3，），（3）①如圖1，當(dāng)點M在為直線PE與y軸交點時，∵∠OGM=∠PGC=60°，∠AGO=60°，∴∠AGO=∠MGO，又∵∠AOG=∠MOG=90°，OG=OG，∴△AOG≌△MOG，∴AG=MG，OM=OA=3，∴點M坐標(biāo)為（0，﹣3）．②如圖2，當(dāng)點M為直線EP與直線AB的交點時，∵AB//CO，∴∠AMG=∠PGC=60°，又∵∠AGP=60°，∴∠AMG=∠AGP=60°，∴△AGM是等邊三角形，∴AM=AG=，∴M的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是3，∴點M坐標(biāo)為（，3）．綜上，可得點M坐標(biāo)為（0，﹣3）或（，3）．【點睛】本題考查幾何變換綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定及其性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是綜合運用所學(xué)知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會分類討論．10．如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P為線段AB上一動點．將△BPC沿PC翻折至△EPC，延長CE交射線AD于點D．（1）如圖1，當(dāng)P為AB的中點時，求出AD的長；（2）如圖2，延長PE交AD于點F，連接CF，求證：∠PCF＝45°；（3）如圖3，∠MON＝45°，在∠MON內(nèi)部有一點Q，且OQ＝8，過點Q作OQ的垂線GH分別交OM、ON于G、H兩點．當(dāng)QG＝2時，求QH的值．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）．【分析】（1）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A=∠B=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．作于，設(shè)，根據(jù)AB＝BC＝12，得到，，根據(jù)勾股定理求出AD的長；（2）如圖2，過C作CK⊥AD交AD的延長線于K，推出四邊形ABCK是正方形，求得CK=CB，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠CEP=∠B=90°，BC=CE，∠BCP=∠ECP，得到CE=CB=CK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長UG，WH交于V，根據(jù)已知條件和折疊的性質(zhì)，利用有三個角是直角的四邊形是矩形和鄰邊相等的矩形是正方形，推出四邊形UOWV是正方形，設(shè)QH=y，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠CEP=∠B=90°，PB=PE，∠BPC=∠EPC，∴∠DEP=90°∵當(dāng)P為AB的中點，∴AP=BP∴PA=PE∵PD=PD∴，∴作于，設(shè)，AB＝BC＝12，則，由勾股定理得，解得，∴（2）如圖2，作交延長線于，∴∴四邊形為矩形又∵AB＝BC∴矩形為正方形∴CK=CB，∠BCK=90°∵將△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠FED=90°，CE=CB=CK，又∵CF=CF∴，∴∠ECF=∠KCF∴∠BCP+∠KCF=∠PCE+∠FCE=45°∴∠PCF=45°(3)如圖3，將△OQG沿OM翻折至△OUG，將△OQH沿ON翻折至△OWH，延長UG，WH交于V，∴∠UOG=∠QOG，∠WOH=∠QOH，OU=OQ=OW=8，UG=QG=2，設(shè)QH=WH=y∴∠UOW=2∠MON=90°，∵GH⊥OQ∴∠OQG=∠OQH=90°．∴∠U=∠W=90°=∠UOW，∴四邊形UOWV是正方形∴UV=WV=8，∠V=90°，∴GV=6，HV=8-y，GH=y+2∴∴解得，即．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．分層探究（1）問題提出：如圖1，點E、F別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF，解題思路：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)度至△ADG，可使AB與AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，則知F、D、G三點共線，從而可證△AFG≌（），從而得EF＝BE+DF，閱讀以上內(nèi)容并填空．（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，當(dāng)∠B、∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時，仍有EF＝BE+DF？（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E均在邊BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由見解析【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進(jìn)而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；（2）∠B+∠D＝180°時，EF＝BE+DF，與（1）的證法類同；（3）把△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接EE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，證△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2．【詳解】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案為：90，△AFE，SAS；（2）當(dāng)∠B+∠D＝180°時，EF＝BE+DF，如圖2∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，∴點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案為：∠B+∠D＝180°；（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，證明：把△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接EE′，如圖3，∴△AFD≌△ABE′，∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BE2＝E′E2，又∵∠FAE＝45°，∴∠BAE+∠EAD＝45°，∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，在△AEE′和△AEF中，，∴△AEE′≌△AEF（SAS），∴EE′＝FE，∴EF2＝BE2+DF2．【點睛】本題主要考查了幾何變換綜合，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與判定計算是關(guān)鍵．12．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直線BG，DE交于點H．（1）如圖1，當(dāng)B，C，E共線時，求證：BH⊥DE．（2）如圖2，把正方形CEFG繞C點順時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90），M，N分別為BG，DE的中點，探究HM，HN，CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接寫出DH的長．【答案】（1）見解析；（2）MH2+HN2＝2CM2，理由見解析；（3）3+．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBG＝∠CDE，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，由全等三角形的性質(zhì)得到∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，求得∠MHN＝90°，得到BM＝DN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝90°，設(shè)DH＝AD＝AB＝BC＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M(jìn)，N分別為BG，DE的中點，∴BM＝BG，DN＝DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿著PD翻折得到△APD，把△GDH沿著DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延長AP，CG交于B，則四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，設(shè)DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝（負(fù)值舍去），∴DH＝．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，綜合性較強(qiáng)，熟知正方形性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造正方形是解題關(guān)鍵．對于此類分步驟的綜合題，每一步解題都為后續(xù)解題提供了解題條件或解題思路，要深刻領(lǐng)會并善于運用這一點進(jìn)行解題．13．已知一次函數(shù)，（1）無論k為何值，函數(shù)圖像必過定點，求該點的坐標(biāo)；（2）如圖1，當(dāng)k=-時，該直線交x軸，y軸于A，B兩點，直線l2:y=x+1交AB于點P，點Q是l2上一點，若SABQ6，求Q點的坐標(biāo)；（3）如圖2，在第2問的條件下，已知D點在該直線上，橫坐標(biāo)為1，C點在x軸負(fù)半軸，ABC=45，動點M的坐標(biāo)為（a，a），求CM+MD的最小值．【答案】（1）()；（2）(3,4)或（-1,0）；（3）．【分析】（1）將一次函數(shù)變形，根據(jù)圖像過定點，得到與k值無關(guān)，求出k，進(jìn)而求出定點坐標(biāo)；（2）求出直線解析式，設(shè)點Q坐標(biāo)為(m,m+1)；分點Q在AB兩側(cè)分類討論即可；（3）先根據(jù)題意，求出點C坐標(biāo)，點D坐標(biāo)，在根據(jù)M坐標(biāo)特點，得到點M所在直線解析式，求出點C對稱點F，連接DF，求出DF長即可．【詳解】解：（1）一次函數(shù)，∴，∵不論k為何值，上式都成立，∴，∴，∴無論k為何值，函數(shù)圖像必過定點()；（2）當(dāng)k=-時，一次函數(shù)為，當(dāng)x=0時，y=4；當(dāng)y=0，時，-2x+4=0，x=2；∴點A坐標(biāo)為(2,0)；點B坐標(biāo)為(0,4)；∵點Q在在直線l2:y=x+1上，∴設(shè)點Q坐標(biāo)為(m,m+1)；①如圖，當(dāng)點Q位于AB右側(cè)時，根據(jù)題意得∴解得m=3，∴點Q坐標(biāo)為(3,4)；②如圖，當(dāng)點Q位于AB左側(cè)時，Q恰好位于x軸上，此時SABQ，此時Q坐標(biāo)為（-1,0）；綜上所述：若SABQ6，Q點的坐標(biāo)為(3,4)或（-1,0）；（3）如圖，將△OAB沿直線AB翻折，得到△NAB，將△OCB沿直線BC翻折，得到△HCB，延長HC、NA交于點E，則四邊形BHEN為正方形，且BN=BH=HE=NE=OB=4，NA=OA=2，AE=NE-AN=2，設(shè)OC=n，則HC=n，CE=4-n，在Rt△ACE中，，解得，所以點C坐標(biāo)為（），如圖：∵D點在直線上上，橫坐標(biāo)為1，∴y=-2×1+4=2，所以點D坐標(biāo)為（）；∵動點M的坐標(biāo)為（a，a），∴點M在直線y=x上，所以點C關(guān)于直線y=x對稱的點F的坐標(biāo)為（），連接DF，則DF為CM+DM的最小值；作點DG⊥y軸，垂直為G，在Rt△DGF中，DF=；∴CM+MD的最小值為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與面積問題，求一次函數(shù)點的坐標(biāo)，根據(jù)點的特點確定函數(shù)解析式，將軍飲馬問題，半角模型等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．解題的關(guān)鍵是要深刻理解函數(shù)的意義，能從復(fù)雜的圖形中確定相應(yīng)的解題模型．14．問題背景：如圖1，在正方形中，點分別在邊上，，求證：．洋洋同學(xué)給出了部分證明過程，請你接著完成剩余的證明過程．證明：延長到點使，連接，正方形，，在和中，遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形中，交于點，若，，求的長．聯(lián)系拓展：如圖3，在矩形中，點分別在邊上，，若，探究與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【