小學(xué)教育概統(tǒng)PPT課件小學(xué)教育概統(tǒng)PPT課件小學(xué)教育概統(tǒng)PPT課件§4.1.1數(shù)學(xué)期望的定義例：某自動(dòng)化車(chē)床一天內(nèi)加工的零件中，出現(xiàn)次品的數(shù)量X是一個(gè)隨機(jī)變量。由多日統(tǒng)計(jì)，得X分布律如下:問(wèn)車(chē)床平均一天出幾個(gè)次品？解：設(shè)車(chē)床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為2020/11/292小學(xué)教育概統(tǒng)PPT課件小學(xué)教育概統(tǒng)PPT課件小學(xué)教育概統(tǒng)PP1§4.1.1數(shù)學(xué)期望的定義例：某自動(dòng)化車(chē)床一天內(nèi)加工的零件中，出現(xiàn)次品的數(shù)量X是一個(gè)隨機(jī)變量。由多日統(tǒng)計(jì)，得X分布律如下:X012340.150.270.440.100.04問(wèn)車(chē)床平均一天出幾個(gè)次品？解：設(shè)車(chē)床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值為§4.1.1數(shù)學(xué)期望的定義例：某自動(dòng)化車(chē)床一天內(nèi)加工的零件2數(shù)學(xué)期望的定義若級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，我們稱(chēng)X的數(shù)學(xué)期望不存在。定義4.1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=xk}=pk,k=1,2,…,如果級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂，則稱(chēng)此級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望（也稱(chēng)期望或均值），記為數(shù)學(xué)期望的定義若級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂3泊松分布的期望例4.3設(shè)X

，則E(X)=.泊松分布的期望例4.3設(shè)X，則E(X)=4連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義4.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),如果廣義積分則稱(chēng)此積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為絕對(duì)收斂，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義4.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度5例4.4Γ分布的數(shù)學(xué)期望X的密度函數(shù):解:例4.4Γ分布的數(shù)學(xué)期望X的密度函數(shù):解:6例：隨機(jī)變量不存在的例子設(shè)隨機(jī)變量X服從Cauchy分布，其密度函數(shù)為：這表明積分不絕對(duì)收斂,因而EX不存在.例：隨機(jī)變量不存在的例子設(shè)隨機(jī)變量X服從Cauchy分布，其7§4.1.2隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4.1設(shè)X為隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則(1)若離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…，且級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則§4.1.2隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4.1設(shè)X為隨機(jī)變量，8XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn…………XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png9(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X～f(x)，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則§4.1.2隨機(jī)變量函數(shù)的期望(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X～f(x)，如果廣義絕對(duì)收斂，則§410例4.6某車(chē)站開(kāi)往甲地的班車(chē)每小時(shí)10分,40分發(fā)車(chē),一乘客因不知車(chē)站發(fā)車(chē)的時(shí)間,在每小時(shí)的任意時(shí)刻都隨機(jī)到達(dá)車(chē)站,求乘客的平均等待時(shí)間.解：設(shè)乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)間為X,等車(chē)時(shí)間為Y,則X~U[0,60],且例4.6某車(chē)站開(kāi)往甲地的班車(chē)每小時(shí)10分,40分解：設(shè)乘客11于是,乘客的平均等待時(shí)間E(Y)為:例4.6于是,乘客的平均等待時(shí)間E(Y)為:例4.612定理4.2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的連續(xù)函數(shù).二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=1,2,…,絕對(duì)收斂,則如果級(jí)數(shù)定理4.2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)是13(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望(2)若連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)～f(x,y)，如果廣義積分14例4.7兩元件并聯(lián)構(gòu)成系統(tǒng)，由元件壽命X與Y獨(dú)立同分布于e(0.5),求系統(tǒng)的平均壽命.解：寫(xiě)出(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)令Z表示系統(tǒng)壽命,則例4.7兩元件并聯(lián)構(gòu)成系統(tǒng)，由元件壽命X與Y獨(dú)立同分布于e(15例4.7例4.716§4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證:設(shè)X有密度f(wàn)(x)，則§4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證:設(shè)X有密度f(wàn)(x)，則17證§4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證§4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)18(4)設(shè)Xi(i=1,2,…,n)是n個(gè)隨機(jī)變量，Ci(i=1,2,…,n)是n個(gè)常數(shù)，則---線(xiàn)性性質(zhì)(5)若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X).E(Y)(獨(dú)立時(shí)，乘積的期望等于期望的乘積)§4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(4)設(shè)Xi(i=1,2,…,n)是n個(gè)隨機(jī)變量，Ci(19例4.8設(shè)隨機(jī)變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X與Y獨(dú)立，求E(XY).例4.8設(shè)隨機(jī)變量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X與20例4.9設(shè)XBn,p,則EX=np解：設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則而故例4.9設(shè)XBn,p,則EX=np解：設(shè)21§4.2方差4.2.1方差的定義與計(jì)算定義4.3設(shè)X是隨機(jī)變量，若E(X-EX)2存在，稱(chēng)為X的方差，記為

D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差。(方差本質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望)度量隨機(jī)變量與均值的偏離程度§4.2方差4.2.1方差的定義與計(jì)算定義4.3設(shè)22方差的計(jì)算式(實(shí)數(shù))方差的計(jì)算式(實(shí)數(shù))23例4.11例4.12例4.11例4.1224§4.2.2方差的性質(zhì)(常數(shù)的方差等于0)（1）（2）a,b為常數(shù)，（3）若X與Y獨(dú)立，§4.2.2方差的性質(zhì)(常數(shù)的方差等于0)（1）（2）a,25例4.13例4.14隨機(jī)變量且X，Y，Z相互獨(dú)立，例4.13例4.14隨機(jī)變量且X，Y，Z相互獨(dú)立，26(4)設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨(dú)立，ci(i=1,2,…,n)是n個(gè)常數(shù)，則(5)D(X)=0

存在常數(shù)C，使得P{X=C}=1，且C=EX.§4.2.2方差的性質(zhì)(4)設(shè)隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,n)相互獨(dú)立，ci27§4.2.3變異系數(shù)，矩定義4.4若隨機(jī)變量X的期望、方差均存在，且，則變異系數(shù)為定義4.5若隨機(jī)變量X對(duì)非負(fù)整數(shù)k有下列期望存在，X的k階原點(diǎn)矩X的k階中心矩§4.2.3變異系數(shù)，矩定義4.4若隨機(jī)變量X的期望、28例4.15隨機(jī)變量求X的變異系數(shù)，k階原點(diǎn)矩與3階中心矩。例4.15隨機(jī)變量29隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)，方差D(X)均存在，且D(X)>0，定義一個(gè)新的隨機(jī)變量則EX*=0，DX*=1，稱(chēng)X*是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)，方差D(X)30定義4.6：對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱(chēng)為X與Y的協(xié)方差?！?.3.1協(xié)方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).協(xié)方差的計(jì)算式為：特別地，Cov(X,X)=DX.定義4.6：對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y)，Cov(X,Y)=E31協(xié)方差的性質(zhì)(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(6)若X與Y獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0.協(xié)方差的性質(zhì)(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)32二維向量的數(shù)字特征對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y),稱(chēng)向量為(X,Y)的協(xié)方差陣。（可推廣到n維）稱(chēng)矩陣為(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(均值向量).二維向量的數(shù)字特征對(duì)二維隨機(jī)變量(X,Y),稱(chēng)向量為(X,Y33例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y012011/61/121/61/121/31/6求(X,Y)的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差矩陣.解：(1)先求X,Y的邊緣分布律;例4.16(X,Y)有二維分布律X\Y0134例4.16(2)計(jì)算X,Y的期望和方差,得：(3)為計(jì)算Cov(X,Y)，須計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù)Z=XY的期望：(4)余下的代入公式計(jì)算，見(jiàn)P123.例4.16(2)計(jì)算X,Y的期望和方差,得：(3)為計(jì)算35例4.17隨機(jī)變量且X,Y獨(dú)立,求D(3X-2Y+Z).解：本題主要利用協(xié)方差的性質(zhì),D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+DZ+2Cov(3X-2Y,Z)D(3X-2Y)=?=D(3X)+D(2Y)2Cov(3X,Z)-2Cov(2Y,Z)Cov(3X-2Y,Z)=?例4.17隨機(jī)變量且X,Y獨(dú)立,求D(3X-2Y+Z).解：36標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差常數(shù)§4.3.2相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差常數(shù)§4.3.2相關(guān)系數(shù)37定義4.4若隨機(jī)變量X，Y的期望和方差均存在，且DX>0,DY>0，則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù)。定義4.4若隨機(jī)變量X，Y的期望和方差均存在，且DX>38相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X)(2)|R(X,Y)|≤1(3)|R(X,Y)|=1的充要條件為：存在常數(shù)a,b,且a≠0,使得P(Y=aX+b)=1.特別地，若a>0,可得R(X,Y)=1,稱(chēng)為正線(xiàn)性相關(guān)；反之,稱(chēng)為負(fù)線(xiàn)性相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理4.4(1)R(X,Y)=R(Y,X39關(guān)于t的一元二次方程f(t)對(duì)任意t都有證明：(2)|R(X,Y)|≤1關(guān)于t的一元二次方程f(t)對(duì)任意t都有證明：(2)|40獨(dú)立與不相關(guān)X,Y獨(dú)立時(shí)，可以推出Cov(X,Y)=0,因而可以推出R(X,Y)=0,即不相關(guān)；反之不一定成立，即：X,Y不相關(guān)不能說(shuō)明X,Y獨(dú)立。例4.19設(shè)X~U(-1,1),Y=X2,則X,Y不相關(guān).解:獨(dú)立與不相關(guān)X,Y