關(guān)于線性回歸方程

有些教師常說(shuō)：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題”按照這種說(shuō)法，似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間也存在著某種關(guān)系。你如何認(rèn)識(shí)它們之間存在的關(guān)系？物理成績(jī)

數(shù)學(xué)成績(jī)

學(xué)習(xí)興趣

學(xué)習(xí)時(shí)間

其他因素這兩個(gè)變量之間有不確定的關(guān)系結(jié)論：變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有。相關(guān)關(guān)系問(wèn)題引入：第2頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

函數(shù)關(guān)系---變量之間是一種確定性的關(guān)系.如:圓的面積S和半徑r之間的關(guān)系.

相關(guān)關(guān)系—變量之間有一定的聯(lián)系,但不能完全的用函數(shù)來(lái)表達(dá).一般來(lái)說(shuō),身高越高,體重越重,但不能用一個(gè)函數(shù)來(lái)嚴(yán)格地表示身高與體重之間的關(guān)系.(非確定性關(guān)系)變量之間的關(guān)系第3頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．問(wèn)題：舉一兩個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，問(wèn)題所涉及的變量之間存在一定的相關(guān)關(guān)系。（1）父母的身高與子女身高之間的關(guān)系（2）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系（3）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系例：相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系.相同點(diǎn)：不同點(diǎn)：第4頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題：

某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/0C261813104-1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?第5頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系,我們以橫坐標(biāo)x表示氣溫，縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，建立直角坐標(biāo)系.將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個(gè)數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出，得到下圖。今后我們稱這樣的圖為散點(diǎn)圖(scatterplot).第6頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系?

我們有多種思考方案:(1)選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn),例如?。?）取一條直線,使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同；（3）多取幾組點(diǎn),確定幾條直線方程,再分別算出各條直線斜率、截距的平均值,作為所求直線的斜率、截距；

………………

怎樣的直線最好呢?這兩點(diǎn)的直線；第7頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.最小二乘法：用方程為的點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中的點(diǎn)最接近那么，怎樣衡量直線與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度呢？

的直線擬合散點(diǎn)圖中我們將表中給出的自變量代入直線方程,得到相應(yīng)的六個(gè)值：的六個(gè)值

它們與表中相應(yīng)的實(shí)際值應(yīng)該越接近越好.

第8頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以,我們用類似于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的思想,考慮離差的平方和

第9頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度,所以,設(shè)法取達(dá)到最小值.的值,使這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法).

是直線在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和,可以用來(lái)衡量直線與各散點(diǎn)第10頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第11頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第13頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性相關(guān)關(guān)系：像這樣能用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系.

如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布從整體上看大致在一條直線附近我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系第14頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性回歸方程：一般地,設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：……當(dāng)a,b使取得最小值時(shí),就稱這n對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程,該方程所表示的直線稱為回歸直線.為擬合第15頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天

類似地，我們可以推得，求回歸方程中系數(shù)a,b的一般公式:

以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡(jiǎn)單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。第17頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天求解線性回歸問(wèn)題的步驟:1.列表()，畫散點(diǎn)圖.2.計(jì)算:3.代入公式求a,b4.列出直線方程第18頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題1：下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料，請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程;如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說(shuō)明理由．第19頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．第20頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第21頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天P75練習(xí)2第23頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天回歸分析的基本步驟:畫散點(diǎn)圖求回歸方程預(yù)報(bào)、決策第24頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天問(wèn)題：有時(shí)散點(diǎn)圖的各點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，仍然可以按照求回歸直線方程的步驟求回歸直線，顯然這樣的回歸直線沒(méi)有實(shí)際意義。在怎樣的情況下求得的回歸直線方程才有實(shí)際意義？即建立的線性回歸模型是否合理？如何對(duì)一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度作出定量分析？第25頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天相關(guān)系數(shù)1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱．超級(jí)鏈接第26頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天散點(diǎn)圖只是形象地描述點(diǎn)的分布情況，要想把握其特征，必須進(jìn)行定量的研究．第27頁(yè),共30頁(yè)，2024年2月25日，星期天相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一般的情況小結(jié)：1.變量之間的兩種關(guān)系：確定性關(guān)系與相