課時素養(yǎng)評價二十五平面的基本性質(zhì)(20分鐘35分)1.下列命題:①書桌面是平面;②有一個平面的長是50m,寬是20m;③平面是絕對的平、無厚度,可以無限延展的抽象數(shù)學(xué)概念.其中正確命題的個數(shù)為 ()A.1個 B.2個 C.3個 D.0個【解析】選A.平面是無大小、無面積、無厚度,向四周無限延展的一個數(shù)學(xué)概念.【補償訓(xùn)練】兩個平面若有三個公共點,則這兩個平面 ()A.相交 B.重合C.相交或重合 D.以上都不對【解析】選C.若三點在同一條直線上,則這兩個平面相交或重合,若三點不共線,則這兩個平面重合.2.已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面可能的交線有 ()A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條【解析】選D.當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時,它們有1條交線;當(dāng)平面β和γ平行時,它們的交線有2條;當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時,它們有3條交線.3.空間四點A,B,C,D共面而不共線,那么這四點中 ()A.必有三點共線B.必有三點不共線C.至少有三點共線D.不可能有三點共線【解析】選B.如圖①②所示,A,C,D均不正確,只有B正確.4.空間中有五個點,其中有四個點在同一平面內(nèi),但沒有任何三點共線,這樣的五個點確定________個平面.

【解析】可以想象四棱錐的5個頂點,它們總共確定7個平面.答案:75.設(shè)平面α與平面β相交于l,直線a?α,直線b?β,a∩b=M,則M________l.

【解析】因為a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.又因為α∩β=l,所以M∈l.答案:∈6.如圖,梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一點,畫出平面SBD和平面SAC的交線,并說明理由.【解析】很明顯,點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點,即點S在交線上,由于AB>CD,則分別延長AC和BD交于點E,如圖所示.因為E∈AC,AC?平面SAC,所以E∈平面SAC.同理,可證E∈平面SBD.所以點E在平面SBD和平面SAC的交線上,連接SE,直線SE是平面SBD和平面SAC的交線.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,則 ()A.l?α B.l?αC.l∩α=M D.l∩α=N【解析】選A.因為M∈a,a?α,所以M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l?α.2.如圖,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直線AB∩l=D,過A,B,C三點確定的平面為γ,則平面γ,β的交線必過 ()A.點A B.點BC.點C,但不過點D D.點C和點D【解析】選D.根據(jù)基本事實判定點C和點D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi),故在β與γ的交線上.3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱DD1和BB1上的點,MD=QUOTEDD1,NB=QUOTEBB1,那么正方體過點M,N,C1的截面圖形是 ()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形【解析】選C.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱DD1和BB1上的點,MD=QUOTEDD1,NB=QUOTEBB1.如圖,延長C1M交CD的延長線于點P,延長C1N交CB的延長線于點Q,連接PQ交AD于點E,交AB于點F,連接NF,ME,則正方體過點M,N,C1的截面圖形是五邊形.4.已知空間中有A,B,C,D,E五個點,如果點A,B,C,D在同一個平面內(nèi),點B,C,D,E在同一個平面內(nèi),那么這五個點 ()A.共面 B.不一定共面C.不共面 D.以上都不對【解析】選B.若B,C,D共線,則這五個點不一定共面;若B,C,D不共線,則這五個點一定共面.【誤區(qū)警示】做此題容易忽略B,C,D共線的情況致錯,所以考慮問題要全面.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.以下四個命題中,不正確的命題是 ()A.不共面的四點中,其中任意三點不共線B.若兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合C.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面D.依次首尾相接的四條線段必共面【解析】選BCD.A正確,可以用反證法證明,假設(shè)任意三點共線,則四個點必共面,與不共面的四點矛盾;若三點共線,則這兩個平面相交或重合,B不正確;C不正確,共面不具有傳遞性,若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c可能異面;D不正確,因為此時所得的四邊形四條邊可以不在一個平面上,空間四邊形的四個頂點就不共面.6.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為DB的中點,直線A1C交平面CA.C1,M,O三點共線B.C1,M,O,C四點共面C.C1,O,A,M四點共面D.D1,D,O,M四點共面【解析】選ABC.在題圖中,連接A1C1,AC,則AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.所以三點C1,M,O在平面C1BD與平面ACC1A1所以A,B,C均正確,D不正確.【光速解題】判斷點共線或者共面問題時,要看從這些點出發(fā)的直線是否相交或者平行.三、填空題(每小題5分,共10分)7.若直線l與平面α相交于點O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關(guān)系是________.

【解析】因為AC∥BD,所以AC與BD確定一個平面,記作平面β,則α∩β=直線CD.因為l∩α=O,所以O(shè)∈α.又因為O∈AB?β,所以O(shè)∈直線CD,所以O(shè),C,D三點共線.答案:共線【補償訓(xùn)練】如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長線交于點M,RQ,DB的延長線交于點N,RP,DC的延長線交于點K.則M,N,K三點的位置關(guān)系是________.

【解析】因為M∈PQ,直線PQ?平面PQR,M∈BC,直線BC?平面BCD,所以M是平面PQR與平面BCD的一個公共點,所以M在平面PQR與平面BCD的交線上.同理可證,N,K也在平面PQR與平面BCD的交線上.所以M,N,K三點共線.答案:共線8.空間任意4點,沒有任何3點共線,它們最多可以確定________個平面.

【解析】可以想象三棱錐的4個頂點,它們總共確定4個平面.答案:4四、解答題(每小題10分,共20分)9.用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.(1)點A在平面α內(nèi),點B不在平面α內(nèi);(2)直線l在平面α內(nèi),直線m不在平面α內(nèi).【解析】(1)A∈α,B?α,圖形如圖所示.(2)l?α,m?α,圖形如圖所示.10.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.【證明】如圖所示,因為a∥b,所以直線a與b確定一個平面,設(shè)為α,因為l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,則A∈α,B∈α.又因為A∈l,B∈l,所以由基本事實2可知l?α.因為b∥c,所以由基本事實1可知直線b與c確定一個平面β,同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l,且l∩b=B,而由基本事實1的推論2知:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面,所以平面α與平面β重合,所以直線a,b,c和l共面.1.(多選題)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E,F,G分別為棱BC,CC1,B1C1的中點,O1,O2分別是四邊形ADD1A1,A1B1CA.A,C,O1,D1四點共面B.D,E,G,F四點共面C.A,E,F,D1四點共面D.G,E,O1,O2四點共面【解析】選ACD.因為正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別為棱BC,CC1,B1C1的中點,O1,O2分別為四邊形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O(shè)1是AD1的中點,所以O(shè)1在平面ACD1內(nèi),故A正確;因為E,G,F在平面BCC1B1內(nèi),D不在平面BCC1B1內(nèi),所以D,E,G,F四點不共面,故B錯誤;由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四點共面,故C正確;連接GO2并延長,交A1D1于H,則H為A1D1的中點,連接HO所以G,E,O1,O2四點共面,故D正確.2.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為8cm,M,N,P分別是AB,A1D1,BB1(1)畫出過M,N,P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線,以及與平面BB1(2)設(shè)過M,N,P三點的平面與B1C1【解析】(1)設(shè)M,N,P三點確定的平面為α,則α與平面AA1B1B的交線為直線MP,設(shè)MP∩A1B1=R,則R