專題01空間直角坐標(biāo)系與空間向量空間向量的線性運(yùn)算1．（2023上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算得解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，所以.故選：A2．（2023上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，，，共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C． D．12【答案】A【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.【詳解】由，，共面，可設(shè)，則，由，解得，代入第三個(gè)方程可得：，解得.故選：A.3．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┰O(shè)向量不共面，空間一點(diǎn)滿足，則四點(diǎn)共面的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗(yàn)證得到答案.【詳解】空間一點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：.判斷錯(cuò)誤.故選：C4．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，可得答案.【詳解】對于A，設(shè)，則，顯然不存在使得等式成立，故A正確；對于B，設(shè)，則，解得，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，即，解得，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：A.5．（2023上·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行關(guān)系可知，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：.故選：B.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用6．（2023上·湖南懷化·高二校聯(lián)考期末）如圖，各棱長都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的運(yùn)算可得，，由向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】由題得夾角，夾角，夾角均為，，，，故選：A.7．（2023上·吉林白城·高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為（

）A．5 B．3 C． D．【答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【詳解】在平行六面體中，，，，，，∵，∴，∴.故選：C.8．（2023上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】由題意可得，再由數(shù)量積的運(yùn)算律代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?故選：C.

9．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)M在正方體的棱上運(yùn)動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】求得正方體外接球的半徑，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求得的表達(dá)式，確定的最小值，即得答案.【詳解】如圖，是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，即正方體的一條體對角線，由正方體的特征可得其外接球半徑為,設(shè)外接球球心為O，則,由于點(diǎn)M在正方體的棱上運(yùn)動,故的最小值為球心O和棱的中點(diǎn)連線的長，即為正方體面對角線的一半，為，所以的最小值為，故選：C10．（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為60°，則．【答案】【分析】根據(jù)向量的模長公式即可代入求解.【詳解】由題意可得，，故答案為：11．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考期末）已知，，則.【答案】24【分析】利用向量的數(shù)量積直接求解.【詳解】因?yàn)?，，所?所以.故答案為：24利用空間向量證明平行問題12．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是平面的法向量，若，則（

）A． B． C．1 D．7【答案】B【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【詳解】因?yàn)?，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B13．（2023上·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFC的一個(gè)法向量為，設(shè)，得，根據(jù)平面EFC，即可求解.【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C14．（2023上·廣東·高二?？计谀毒耪滤阈g(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)條件求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則所以平面的一個(gè)法向量為因?yàn)槠矫?，則設(shè)，則，所以解得，所以，即故選:C.15．（2023上·天津?yàn)I海新·高二?？计谀┮阎矫婧推矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，，若，則．【答案】-3【分析】由，可得，由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算解出，可得結(jié)果.【詳解】依題意，若，則，有，解得，，∴.故答案為：-316．（2023上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)證明線線平行即可證明線面平行；（2）根據(jù)結(jié)合錐體體積公式求解即可.【詳解】（1）是與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，又是棱的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.（2）.利用空間向量證明垂直問題17．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）已知平面、的法向量分別為、，若，則等于（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】C【分析】根據(jù)平面垂直的法向量表示求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得，故選：C18．（2023上·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動點(diǎn)，且∥截面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為，如圖所示因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長度的取值范圍是：,即.故選：A.19．（2023上·北京西城·高二北京市西城外國語學(xué)校校考期末）已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，若點(diǎn)在平面內(nèi)，則【答案】【分析】利用向量垂直列方程，化簡求得【詳解】根據(jù)題意可得，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，解得，故答案為：20．（2023上·湖南株洲·高二?？计谀┤鐖D，在棱長都相等的平行六面體中，，，兩兩夾角均為60°.(1)求的值；(2)求證：平面.【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解，（2）由數(shù)量積為0證明兩向量垂直，再由直線與平面垂直的判定定理證明，【詳解】（1）設(shè)平行六面體的棱長為1.令，，，則，.則有，故.故，.（2），.故，.故，即.又由（1）知，，平面，所以平面.21．（2023上·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)線面垂直的定義得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理和定義證明即可；（2）將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，然后求體積即可.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，因?yàn)椋瑒t，又為的中點(diǎn)，則，又，平面，則平面，由平面，因此，.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則等于點(diǎn)到平面的距離，.22．（2023上·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐，平面ABCD，為等邊三角形，，B，D位于AC的異側(cè)，.(1)若，求證：平面平面PBD；(2)若直線平面PAD，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形與平行四邊形的性質(zhì)，利用線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案；（2）根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合三角形的面積公式求得三棱錐底面積，利用三棱錐體積公式，可得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋覟榈冗吶切?，所以，因?yàn)?，，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又為等邊三角形，可得，四邊形ABCD為菱形，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平面PAC，因?yàn)槊鍼BD，所以平面平面PBD.（2）已知平面ABCD，，在等邊中，，因?yàn)槠矫鍼AD，且平面，所以，因?yàn)?，為邊長為2的等邊三角形，所以，在，則，，所以，所以四棱錐的體積.23．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，分別為的中點(diǎn)，，，若平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故選：C.24．（2023上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，向量、、共面，則存在實(shí)數(shù)、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以、、共面，故存在實(shí)數(shù)、使得，即，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，則，解得.故選：D.25．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰诶忾L為2的正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E、F坐標(biāo)，根據(jù)得出E、F坐標(biāo)關(guān)系式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】如圖所示，以為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)取得最大值.故選：B26．（2023上·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出，結(jié)合條件即可得出答案.【詳解】為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，.，，，，故選：B.27．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，，，分別是對角線，上的動點(diǎn)，則線段的最小長度為．【答案】/【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，由題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，()，，，，利用空間向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，由正方形正方形，正方形正方形，正方形，得正方形，又正方形，所以，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，()，，，則，，得，，所以，，得，有，當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)，等號成立，所以，即線段MN的最小長度為.故答案為：.28．（2023上·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件即可求出x的取值范圍.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且與不共線，因?yàn)?，，所以，且，解得，且，所以的取值范圍?故答案為：.29．（2023上·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎?，，且，則為.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積為0，可求得，再利用向量的減法及模長公式可求解.【詳解】，，且，，即，解得又故答案為：30．（2023上·廣西欽州·高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末）平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為.(1)求線段的長；(2)若，，，用空間向量的一組基底表示向量.【答案】(1)；(2).【分析】（1）易得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件可求出，即可得出結(jié)果；（2）設(shè).由以及不共面，得出方程組，求解即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，所以線段的長為.（2）解：.設(shè)，，則.因?yàn)椴还裁?，所以有，解?所以.31．（2023上·重慶九龍坡·高二重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1），結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算，求模即可.（2），由向量數(shù)量積關(guān)于垂直的表示即可判斷.【詳解】（1）設(shè)，則