高三模擬考試卷（二十五）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={（x,y）|A：2+嬉3,XGZ,yGZ},8={（x,y）|y=x},則中的元素

個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足蟲=i,則5=（）

1-z

A.iB.-iC.1D.l+z

3.某班60名同學(xué)中選出4人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60名同學(xué)

按01,02,60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始從左往右

依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注:表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）

A.24B.36C.46D.47

4.某養(yǎng)老院一樓有六個(gè)房間，現(xiàn)有6位男住戶和14位女住戶，要求安排其中2位女住戶人

住中間四個(gè)房間中的兩個(gè)，安排其中4位男住戶入住剩下的4個(gè)房間，則不同的安排方式有

（）

A.25920種B.26890種C.27650種D.28640種

5.在AABC中，4=四，AB=￡,AC=4,則8c邊上的高的長度為（）

6.設(shè)橢圓工+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，則對(duì)于橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)A,B,△的周長的最大值

43

為（）

A.4+75B.6C.2后+2D.8

7.已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則點(diǎn)尸（2,-1）到直線ar+Ay+c=0的最大距離是（）

B.1C.41D.2

-2

8.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為

的圓面中剪下扇形。汨使剪下扇形。居后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為三，再

從扇形OAB中剪下扇環(huán)形ABDC制作扇面，使扇環(huán)形ABDC的面積與扇形OAB的面積比值

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況,對(duì)隨機(jī)抽出的編號(hào)為1~1000的1000

名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個(gè)問題，問題1：你的編號(hào)是否為奇數(shù)？問題2；你是

否經(jīng)常吸煙？按調(diào)查者從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球50個(gè)，紅球50

個(gè)）中摸出一個(gè)小球（摸完放回）；摸到白球則如實(shí)回答問題1,摸到紅球則如實(shí)回答問題2,

回答“是”的人在一張白紙上畫一個(gè)“4”，回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答

案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無

顧忌地給出真實(shí)的答案，最后統(tǒng)計(jì)得出，這1000人中，共有260人回答“是”，則下列表述

正確的是（）

A.估計(jì)被調(diào)查者中的有510人吸煙

B.估計(jì)約有10人對(duì)問題2的回答為“是”

C.估計(jì)該地區(qū)約有2%的中學(xué)生吸煙

D.估計(jì)該地區(qū)約有1%的中學(xué)生吸煙

10.已知/0）=*。-1）（了-2]..（犬-20）,下列結(jié)論正確的是（）

A./;（0）=20!B.（1）=19!C.//（19）=-19!D.1（20）=-20!

11.在棱長為3+6的正方體ABCD-ABIGA中，球。同時(shí)與以5為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相

切，球。2同時(shí)與以。為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，且兩球相切于點(diǎn)E,若球。2的半徑

分別為耳，々，則()

A.0、B=百n

B.可+弓=3

C.這兩個(gè)球的體積之和的最大值是9萬

D.這兩個(gè)球的表面積之和的最小值是18萬

12.若0<q,6<1,ol>則下列結(jié)論正確的有()

A.log?c..log,,c

B./g(/+a-°)有最小值

C.ca+a'?ch+bl

D.^(c-a-b)c=ab,則，的最大值為匕也

a+h2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)，。)="?+以的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,1),則“=.

14.已知(x-2)(x+"?)'=4x6+…+%，機(jī)為常數(shù)，若4=2,則4=.

15.已知球的球心為O,其中球的一條直徑為AB,在球。內(nèi)任取一點(diǎn)P,則NAPO為銳角

的概率為—.

16.已知正方體45a的體積為27，點(diǎn)E.尸分別是線段3C,C￡的中點(diǎn)，點(diǎn)

G在四邊形BCC由內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，若直線A.G與平面的無交點(diǎn)，則線段CG的取值

范圍為—.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知數(shù)列｛”"｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為函數(shù)〃c)=Y—+sin%-2的最小值，公比q>0,

sirra

且出，為是關(guān)于X的方程d—I2x+r=o的根.其中/為常數(shù).

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=log2a“，Tn=-^―+—+—^—>求使的最大值一

他她b3b&她川50

18.非直角A4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為ab,

2b2cosA=(b2+c2-a2)(cosA-sinA).

(1)求角C;

(2)若c=2，id,。為BC中點(diǎn)，在下列條件中任選一個(gè)，求4)的長度.

條件①sin8=手；

②AABC的面積為S=4,且8>A.

19.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面24。J"平面ABC￡>,PA±PD,PA=PD,ABYAD,

AB=\,AD=2,AC=CD=#.

(I)求證：P￡)_L平面R4B；

(II)求直線尸3與平面P8所成角的正弦值；

(III)在棱叢上是否存在點(diǎn)使得8“//平面尸CD?若存在，求處的值，若不存在,

AP

說明理由.

20.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試，通常采用的測(cè)試方法如下：拿出，?(〃eN*且〃..4)

瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，

等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱為一輪測(cè)試,

根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分.現(xiàn)分別以4,生，生，…，”,表

示第一次排序時(shí)被排在1,2,3,〃的〃種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令

X=|1-%|+|2-%l+13-q|+…+|,則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述.

(1)證明：無論〃取何值，X的可能取值都為非負(fù)偶數(shù)；

(2)取〃=4,假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測(cè)來排序的條件下，弓，勺，％，4等可能地為

1,2,3,4的各種排列，且各輪測(cè)試相互獨(dú)立.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中，都有X,,2,則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功

能.求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測(cè)試方法的合理性.

21.已知橢圓G：宏+方=13＞。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是雙曲線G：f-?=1的左、右頂

點(diǎn),且橢圓G的上頂點(diǎn)到雙曲線G的漸近線的距離為日.

(1)求橢圓G的方程；

(2)設(shè)橢圓G的左、右焦點(diǎn)分別為K(-。,0),g(c,0),經(jīng)過左焦點(diǎn)片的直線/與橢圓G交

于“，N兩點(diǎn)，且滿足+的點(diǎn)P也在橢圓C1上，求四邊形EMPN的面積.

22.已知函數(shù)f(x)=Inx-ox+a(a0).

(1)討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)4..0時(shí)，若關(guān)于x的不等式/(?,"+2a恒成立，證明：-...-2.

a

高三模擬考試卷(二十五)答案

1.解：A={(x,y)|/+/“3,XGZ,yeZ},8={(x,y)|y=x},

APIB={(-1,-1),(0,0),(1,1)},

.?.A0|8中的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：B.

-

c癡》EIy1+z.mi、1-1+/(1+z)(l—i)2i.

2.解：因?yàn)椤?i,所以z=---=-----------=—=z,

1-z1+z(1+/)(1-?)2

故彳=T.

故選：B.

3.解：由題知從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始，

由表可知依次選取43,36,47,46,24.

故選：C.

4.解：先安排其中2位女住戶人住中間四個(gè)房間中的兩個(gè)，有C：用種方法;

再安排其中4位男住戶入住剩下的4個(gè)房間，有星種方法.

由乘法原理可得：C：&=25920種方法.

故選：A.

5.解：=—xABxACsinA=—x4x>/3x—=5/3,

ZAAOC22'2.

由余弦定理，得BC=y/AB2+AC2-2AB-ACcosA=不，

2x/32⑨

所以8c邊上的高的長度為

故選：A.

22

6.解:橢圓工+—=1的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(不妨為左焦點(diǎn))，則對(duì)于橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)A,B,

43

如圖：F為右焦點(diǎn),

可得|43|+|AF|+|BF|,,|A產(chǎn)|+|B尸|+|AF|+|BF|=4a=8,當(dāng)且僅當(dāng)AB經(jīng)過橢圓的右

焦點(diǎn)時(shí)，三角形的周長取得最大值.

7.解：由a,b>c成等差數(shù)列，得a+c=2b,所以c=2)—a；

則點(diǎn)P(2,-1)到直線6+勿+c=0的距離是

,\2a-b+c\\2a-b+2b-a\\a+b\

由2("+〃2),即〃2+次_1(〃+與2,

2

-1

所以4?+從當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),

飛\a+b\

所以d,,=0,

;|。+6

%/2

即點(diǎn)P(2,-l)到直線or+6y+c=0的最大距離是0.

故選：C.

8.解：設(shè)扇形的圓心角為a,OC的長為r,R=OA=20cm,

-aR2R_1

由題意可得［上-------=里二，解得a=(3-逐)》，

；(2~a)R22

1a/?2-1ar2/z./7.

由于2_J_2_=交二1,解得r=交二1x20=10(7^-1),

、斤22

2

故扇形裝飾品的面積為

S=-R2a--ra

22

=^a(/?2-r2)

=-x(3-V5)^x(202-^^x202)

22

=(V5-2)^-X202.

=400(右一2)》.

則一個(gè)按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品(如圖)的面積與圓面積的比值為

400(石-2)j萬2

%X(20)2---'

故選：D.

9.解：隨機(jī)抽出的1000名學(xué)生中，回答第一個(gè)問題的概率是，，其編號(hào)是奇數(shù)的概率也

2

是L

2

所以回答問題1且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為1000X\L250,

22

回答問題2且回答的“是”的學(xué)生人數(shù)為260-250=10,

由此可估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為t=2%,

500

估計(jì)被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為1000x2%=20.

故選：BC.

10.解：s/(X)=X(x-1)(A:-2)...(x-20),

所以

/'(x)=(x—l)(x—2),,(x-20)+x(x-2)(x—3)...(x—20)+x(x—l)(x—3)...(x—20)+...+x(x—1)(為一2)...(x—19)

所以f'(0)=(-1)X(-2)X...x(-20)=20!,故選項(xiàng)A正確;

f(1)=lx(-l)x(-2)x...x(-10)=-19!,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

/,(19)=19xl8x...xlx(-l)=-19!,故選項(xiàng)C正確；

(20)=20x19x…x1=20!,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.解：由題意可得QB=也弓，(?,￡>,=x/3z;,

則(6+1)4+(x/3+1)乃=BR=石(3+73)，從而4+4=3,

故這兩個(gè)球的體積之和為：:乃儲(chǔ)3儲(chǔ)+弓)(42~r\r2+/，

因?yàn)?+4=3，所以儲(chǔ)+弓)(八,_化+/)=3(9-34u)..3[9-3x(^~^)2]=子，

即[萬片+片)..9萬，當(dāng)且僅當(dāng)｛=A=|時(shí)等號(hào)成立；

這兩個(gè)球的表面積之和S=4萬片+片)./丁(■空了=9兀,當(dāng)且僅當(dāng)｛=弓=|時(shí)等號(hào)成立.

故選：AB.

12.解：AMC>1log：為增函數(shù)，

。<④Z?<1，..log；,,log7<0,/.---..-7-?

log01皈

即log；..Jog；,正確.

B:ac+ae..2ylac-ac=2,

當(dāng)且僅當(dāng)/=即c=0時(shí)取等號(hào)，

ol,廢+。一，無最小值，/.儂/+1)無最小值，「.8錯(cuò)誤.

C:ol,=(/為增函數(shù)，/.ca?cb,

c>l,「.y=必為增函數(shù)，0<“,tzr?bc,

.?.c"+a',,c"+〃，，C正確.

z+6)2

D:a>0力>0,:.ab,、------,(c-a-b)c=ab,

f4

c2-(a+b)c?"+",4c2-4(a+b)c?(a+b)2,

4

-4^-―4(a+b)C1,

(a+b)2(a+“

設(shè)—仁=r,則上式可化為4r-4r-L,0，

a+b

???匕也領(lǐng))土旦，上的最大值為上也，.?.￡)正確.

22a+b2

故選：ACD.

13.解：函數(shù)f(x)=x“+or的導(dǎo)數(shù)為/，(x)=4/+“，

可得圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為4+4,

又切點(diǎn)為(1,1+a)，

可得4+q=

1-2

解得a=-2,

故答案為：-2.

5

14.解：,?(x-2)(x+ni)=a6x6+a5xs+...+atx+a0,

當(dāng)x=0時(shí)，有-2"?5=4=2,解得m=-l.

(x-2)(x+m)5=(x-2)(x-1)5,

q=C；x(-1)2-2xC/-(-l)'=20.

故答案為：20.

15.解：設(shè)球的半徑為R=a,

以AO為直徑的球記為

當(dāng)點(diǎn)P落在?內(nèi)時(shí)ZAPO為鈍角，

故答案為：

8

16.解：正方體ABC。-A3CR的體積為27,所以正方體的棱長為3,

分別取線段AG，片8的中點(diǎn)尸，Q,連結(jié)4尸，A。，PQ,

則有PQ//M,又PQC平面/1EF,所u平面AEF,所以P。//平面的尸，

A.P//AE,又4/9平面兒產(chǎn)，AEu平面所以人戶〃平面A￡F，

又FQQAP=P，PQ，平面APQ,

所以平面4尸。//平面A￡F,

故點(diǎn)G在線段P。上運(yùn)動(dòng)（含端點(diǎn)位置），

當(dāng)G與。重合時(shí)，CG最大，此時(shí)CG=CQ={QB?+8c2=+3?=孚,

當(dāng)CG_LPQ時(shí)，CG最小，ittWCG=^CB,=-xV32+32=—,

所以CG的取值范圍為［乎,手］.

故答案為：亡也,延］.

3

17.解：(1)令機(jī)=sin%e(O,1],g(m)=—+〃?-2在(0,1]遞減,可得q=2,

又與，心是關(guān)于x的方程d-12x+f=0的根.其中f為常數(shù)，可得%+4=12,

由2”2/=12,解得q=2(—3舍去)，則a“=2-2"T=2"：

(2)b?=log2a?=log22"=n,

1---1_11

---------,

2仇+i〃5+1)n〃+1

.111111111,1n

1=------1----------1...................H-----------=1--------1------------F...H----------------=1-----------=--------.

bxb2b2b3b3b4223nn+\〃+l〃+l

由7；〈竺，可得」一〈竺，解得〃<49,

則〃的最大值為48.

18.解：(1)AABC中，由余弦定理知，b2+c2-a2=2Z;ccosA,

由2b2cosA=(b2+c2-a2)(cosA-sinA),

所以，262cosA=2Z?ccosA(cosA-sinA),

由cosA#0,即Z?=c(cosA-sinA)，

由正弦定理知，)=""B.,得sinB=sinC(cosA-sinA),

csinC

所以，sin(A+C)=sinC(cosA-sinA),

HPsinAcosC+cosAsinC=sinCeosA—sinCsinA,

所以，sinCeosA=-sinCsinA，

因?yàn)閟inAwO,所以cosc=-sinc,所以tanc=-l,

~3

又Ovev/r,所以。=二萬.

4

(2)若選擇條件①，

因?yàn)閟inB=—,所以cosB=Vl-sinB2=口5，

55

又sin<BAC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

由正弦定理知，」一=—--,所以〃=csin<8AC=20,

sinCsin<BACsinC

又。為8C中點(diǎn)，所以80=夜，

在MBC中，由余弦定理知AD2=AB2^BDT-2AB-BDcosB,

得40=后.

若選擇條件②，

因?yàn)锳ABC的面積S=4=2absinC=Lbsin"，所以〃〃=8五，

224

由余弦定理知c2=(2>/10)2=40=/+〃_2而cos一，

4

所以，必=40,

,\a~+b~+\[2ab=40.fa=4fa=2>/2

由《廣，解z得n〈廣或《，

ab=8丘[b=2-j2[%=4

因?yàn)?>A,所以力>a,所以［"=2&,

b=4

又。為3c中點(diǎn)，所以C￡>=0,

在AAC￡)中，AZ)2=C42+CD2-2C4CDcosC=16+2-2x4xV2cos—=26,

4

所以4。=而.

19.(I)證明：-平面Q4Q_L平面A8C￡>,且平面R4DC平面488=A/),

且AB_L4),A3u平面4?C￡),

平面R4D,

P￡)u平面/HD,

:.ABYPD,

又PDJ_R4,且PA。48=A,

.?.PD_L平面BAfi；

(II)解：取4)中點(diǎn)為O,連接CO,PO,

CD=AC=舊，

:.COVAD,

又PA=PD,

:.POYAD.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則尸(0,0,1),8(1,1,0),￡)(0,-1,0),C(2,0,0),

貝1尸3=(1,1,-1),尸方=(0,—1,一1),PC=(2,0,-l),CD=(-2,-l,0),

設(shè)”=(x0,%,1)為平面PCD的法向量,

..[tuPD=0-1=0

則n由〈，得/n.，八則〃=(g,-l,l).

n.PC=0[2xo-l=O

則sin0=|cos<n,PB>|=|""|=|

設(shè)P8與平面PCD的夾角為。,

\n\\PB\

(HD解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得8例//平面尸C￡>,設(shè)則=X,M(0,%,4),

AP1

由(II)知,A(0,1,0),P(O,0,1),AP=(0,-l,l),B(1,1,0),AM=(0,%-l,Z|),

則有AM=/UP,可得M(0,1-2,2),

BM=(-l,-A,A),

BMH平面PCD,n=(p-l,l)為平面PCD的法向量,

BM.n=0,即_’+/l+/l=0,解得；l=L.

24

綜上，存在點(diǎn)M,即當(dāng)坐=工時(shí)，”點(diǎn)即為所求.

20.解：(1)證明：首先有X=|l-q|+|2-41+13-4|+…+|"-?！眧..0，(1分)

取絕對(duì)值不影響數(shù)的奇偶性，故乂=|1-4|+|2-%|+|3-0,|+-+|〃-4,|

與1—4+2—%+3—%H---1■〃一%的奇偶性一*致,

而1—4+2—%+3—4+=(1+2+3H—,+n)—(q+4+/+,??+?！?=0為偶數(shù)，

故X的可能取值都為非負(fù)偶數(shù).（3分）

(2)①由(1)知當(dāng)〃=4時(shí)，X的可能取值為0,2,4,6,8,

p(X=0)=-4-=—,

父24

1

=

8一

7

P(X=4)=C+G+i

24

C；xC；+C；+C；+l3

P(X=6)=

A：8

C；+1+1_1

P(X=8)=

~~6

所以X的分布列為

X02468

P173

2482486

(8分)

從而X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x-!1-+2x1!+4x7,+6ax士+8lx」=5.(9分)

2482486

②記“在相繼進(jìn)行的三輪測(cè)試中都有X,,2”為事件A,“在某輪測(cè)試中有X,,2”

為事件3,則P(8)=P(X=0)+P(X=2)=-!-+,=L,(10分)

2486

又各輪測(cè)試相互獨(dú)立，P(A)=P(888)=P(8)P(8)P(8)=，XLX'=—!_,(11分)

666216

因?yàn)镻(A)表示僅憑隨機(jī)猜測(cè)得到較低偏離程度的結(jié)果的概率，

而P(A)=」_z0.0046,該可能性非常小，所以我們可以認(rèn)為該品酒師確實(shí)有較好的酒味鑒

216

別能力，

而不是靠隨機(jī)猜測(cè)，故這種測(cè)試方法合理.(12分)

21.解：(1)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為耳(-c,0),F2(C,O),

而雙曲線G：丁-'=i的頂點(diǎn)分別為(-1,0).(i,o),

所以c=l.

又橢圓的上頂點(diǎn)為(0力)，而雙曲線-￡=1的一條漸近線為y=2x,

則有率=@,解得b=l.

V55

.-.a2=i2+l2=2,所以橢圓E的方程為；+丁=].

(2)設(shè)直線/的方程為x="-1,Q一定存在)，代入f+2y2=2,并整理得

（r2+2）y2-2（y-l=0,

△=4/+4（戶+2）>0恒成立，設(shè)M（再一1,%）,N?-1，%），

Hill2t-1

X。-1=以-2+電-2

設(shè)P(X0,%),由"產(chǎn)=用"+工',得

%=%+%

*+6

%=*y+丫2）-3=一4V又點(diǎn)尸在橢圓￡上，故恭篝+尋方

即，

2t

即「一12*—28=0,解得產(chǎn)=14(舍負(fù)),

因?yàn)闈M足F2P=F2M+F2