高中數(shù)學北師大版必修第一冊第1課時函數(shù)的單調(diào)性第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解函數(shù)單調(diào)性的概念.(數(shù)學抽象)2.會根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.(直觀想象)3.能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性.(邏輯推理)激趣誘思我們知道,“記憶”在我們的學習過程中扮演著非常重要的角色,因此有關(guān)記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題.德國心理學家艾賓浩斯曾經(jīng)對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究,并給出了類似右圖所示的記憶規(guī)律.如果我們以x表示時間間隔(單位:h),y表示記憶保持量,則不難看出,圖中y是x的函數(shù),記這個函數(shù)為y=f(x).這個函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律?你能從中得到什么啟發(fā)?知識點撥一、增函數(shù)、減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D:如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)條件特別地,當I是定義域D上的一個區(qū)間時結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降名師點析x1,x2的三個特征:(1)同區(qū)間性,即x1,x2∈I;(2)任意性,即不可用區(qū)間I上的兩個特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區(qū)分大小,通常規(guī)定x1<x2.微練習若函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上(

)A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)C.先增后減D.單調(diào)性不能確定解析由于函數(shù)單調(diào)性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區(qū)間內(nèi)幾個有限的函數(shù)值的關(guān)系,是不能作為判斷單調(diào)性的依據(jù)的,故選D.答案D微拓展單調(diào)性的等價結(jié)論二、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.此時,區(qū)間I為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.名師點析自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系:(1)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則x1<x2?f(x1)<f(x2),x1>x2?f(x1)>f(x2).(2)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則x1<x2?f(x1)>f(x2),x1>x2?f(x1)<f(x2).即可以利用單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的定義實現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化.微練習根據(jù)下圖寫出在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.解函數(shù)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,2]上單調(diào)遞增,在[2,4]上單調(diào)遞減,在[4,5]上單調(diào)遞增.微思考函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否說函數(shù)y=在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減?提示不能.不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號“∪”連接.如y=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減.探究一判斷函數(shù)的單調(diào)性1.利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性例1根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.分析本題中所給出的兩個函數(shù)解析式中均含有絕對值,可以采取去絕對值的方法,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)再畫出函數(shù)的圖象,也可以通過圖象變換得到函數(shù)圖象.通過圖象觀察判斷函數(shù)的單調(diào)性.解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.函數(shù)圖象如圖所示,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.反思感悟圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性的注意點圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性主要用于常見函數(shù)(如一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)的單調(diào)性判斷,或應(yīng)用于能通過常見函數(shù)圖象的平移、翻折等變換得到所給函數(shù)的圖象,從而進行單調(diào)性的判斷.變式訓練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖象如右圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,1],[2,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.2.利用單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性

反思感悟利用單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的思路當函數(shù)解析式通過變換、轉(zhuǎn)化之后,是由幾個基本函數(shù)的解析式構(gòu)成的,則可分析這幾個基本函數(shù)的單調(diào)性,看是否符合單調(diào)函數(shù)運算性質(zhì)的規(guī)律,若符合,可直接得出結(jié)論,否則,不能用這種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.此外,研究函數(shù)的單調(diào)性時,一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.探究二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當原函數(shù)是多項式函數(shù)時,作差后通常進行因式分解.(2)通分.當原函數(shù)是分式函數(shù)時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數(shù)是根式函數(shù)時,作差后往往考慮分子有理化.解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,探究三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與f的大小.分析要比較兩個函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小.解析因為函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,故a>0.設(shè)y=ax-1,x∈(-∞,1),因為a>0,所以y<a-1.而當x≥1時,f(x)=x2+1單調(diào)遞增,且此時f(x)min=12+1=2,故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范圍是(0,3].答案(0,3]反思感悟1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小時,要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.3.由分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時,一般從兩個方面思考:一方面每個分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面是考慮端點處的銜接情況,由此列出另一相關(guān)式子,求解即可.變式訓練4已知函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],且在[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.素養(yǎng)形成復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于復(fù)合函數(shù)f(g(x)),設(shè)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間[g(a),g(b)]或區(qū)間[g(b),g(a)]上也是單調(diào)函數(shù),那么f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如何呢?下面我們來探討一下.(1)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,且y=f(t)也單調(diào)遞增:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因為t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)也單調(diào)遞增,所以有f(g(x1))<f(g(x2)),則根據(jù)增函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.(2)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,y=f(t)單調(diào)遞減:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因為t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)單調(diào)遞減,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),則根據(jù)減函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減.類似地,我們不難發(fā)現(xiàn):當t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞增時,則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減;當t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞減時,則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.根據(jù)上面的探討,y=f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如下表所示,簡記為“同增異減”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增若一個函數(shù)是由多個基本函數(shù)復(fù)合而成的,則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由基本函數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個,則這個復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若減函數(shù)有奇數(shù)個,則這個復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).典例已知函數(shù)f(x)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

解析∵f(x)的定義域為[0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.令u=1-x2(u≥0),則f(1-x2)=f(u).當x∈[0,1]時,u=1-x2單調(diào)遞減,則f(1-x2)單調(diào)遞增;當x∈[-1,0]時,u=1-x2單調(diào)遞增,則f(1-x2)單調(diào)遞減.故f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0].答案[-1,0]要點筆記對于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),把函數(shù)y=f(g(x))通過中間變量t分解為兩個函數(shù):外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x),內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)定義域的子集.要先確定復(fù)合函數(shù)的定義域,再確定單調(diào)區(qū)間.當堂檢測1.若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是(

)解析當2k+1<0,即k<-時,函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù).答案D2.函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的所有單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.[-4,-2] B.[1,4]C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]答案C3.若函數(shù)f(x)=x2+3ax+5在區(qū)間(-∞,5)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(

)答案A4.下列函數(shù)不在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|解析由一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=|x|的圖象與性質(zhì)知,只有選項C中的函數(shù)符合題意.故選C.答案C5.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),且f(x-2)<f(1-x),則x的取值范圍為

.

高中數(shù)學北師大版必修第一冊第2課時函數(shù)的最值第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課標闡釋思維脈絡(luò)1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義.(數(shù)學抽象)2.能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性,求一些簡單函數(shù)的最值(或值域).(直觀想象)3.能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實際應(yīng)用問題.(數(shù)學建模)激趣誘思某超市銷售一種飲料,每瓶進價為9元,經(jīng)市場調(diào)查表明,當售價在10元到14元之間(包含10元,14元)浮動時,每瓶飲料售價每增加0.5元,日均銷售量減少40瓶;當售價為每瓶12元時,日均銷售量為400瓶.那么當銷售價格定為每瓶多少元時,所得日均毛利潤最大?最大日均毛利潤是多少元?同學們,你能幫助超市完成定價嗎?知識點撥函數(shù)的最值1.定義名稱前提條件圖象函數(shù)的最大值M設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D.若存在實數(shù)M,對所有的x∈D都有f(x)≤M且存在x0∈D,使得f(x0)=M函數(shù)的最大值對應(yīng)其圖象最高點的縱坐標函數(shù)的最小值M都有f(x)≥M函數(shù)的最小值對應(yīng)其圖象最低點的縱坐標2.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.名師點析函數(shù)的最值和值域的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系:函數(shù)的最值和值域反映的都是函數(shù)的基本性質(zhì),針對的是整個定義域.(2)區(qū)別:①函數(shù)的值域一定存在,而函數(shù)的最大(小)值不一定存在;②若函數(shù)的最值存在,則最值一定是值域中的元素;③若函數(shù)的值域是開區(qū)間(兩端點都取不到),則函數(shù)無最值;若函數(shù)的值域是閉區(qū)間,則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.微思考若函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的增(或減)函數(shù),這個函數(shù)有最值嗎?如果是區(qū)間(a,b)呢?提示若y=f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的增函數(shù),則其最小值為f(a),最大值為f(b);若為減函數(shù),最大值為f(a),最小值為f(b).若為區(qū)間(a,b),則沒有最值,但可以說值域為(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).微練習已知函數(shù)f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析由題圖可知,該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.答案C探究一利用函數(shù)的圖象求最值例1已知函數(shù)y=-|x-1|+2,畫出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值情況,并寫出值域.分析去絕對值→分段函數(shù)→作圖→識圖→結(jié)論由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2,沒有最小值.所以其值域為(-∞,2].反思感悟圖象法求最值的基本步驟

(1)畫出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫出該函數(shù)的最大值和最小值.解(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.探究二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例2已知函數(shù)

(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.分析(1)證明單調(diào)性的流程:取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論;(2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系,寫出最值.解(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當1≤x1<x2≤2時,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值為f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.反思感悟函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(或單調(diào)遞增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的線,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.(4)求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉,若是開區(qū)間,則不一定有最大(小)值.延伸探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.解任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=.當1≤x1<x2≤2時,f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當2<x1<x2≤3時,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.探究三與最值有關(guān)的應(yīng)用問題例3某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3000元時,可全部租出,當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛,租出的車每輛每月需要維護費150元,未租出的車每輛每月需要維護費50元.(1)當每輛車的月租金為3600元時,能租出多少輛?(2)當每輛車的月租金為多少元時,租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析讀題→提取信息→建?！饽！鉀Q實際問題所以當x=4050,即每輛車的月租金為4050元時,租賃公司的月收益最大,最大月收益是307050元.反思感悟1.本題建立的是一元二次函數(shù)模型,應(yīng)利用配方法求函數(shù)的最值.2.解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是:(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.(2)建模.將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,用數(shù)學知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型.(3)求模.求解數(shù)學模型,得到數(shù)學結(jié)論.(4)還原.將用數(shù)學方法得到的結(jié)果還原為實際問題的結(jié)論.(5)反思回顧.對于數(shù)學模型得到的數(shù)學解,必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性.變式訓練2某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)=其中x(單位:臺)是儀器的產(chǎn)量.(1)將利潤表示為產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2)當產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)當x>400時,f(x)=60000-100x單調(diào)遞減,f(x)<60000-100×400<25000.∴當x=300時,f(x)max=25000.即產(chǎn)量為300臺時利潤最大,最大利潤為25000元.素養(yǎng)形成利用數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想求一元二次函數(shù)的最值典例求函數(shù)y=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最值.分析可變對稱軸x=a→與定區(qū)間[0,2]的相對位置關(guān)系→結(jié)合單調(diào)性與圖象求解解y=(x-a)2-1-a2.當a<0時,函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞增,如圖①.故函數(shù)在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當0≤a≤1時,結(jié)合函數(shù)圖象(如圖②)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.當1<a≤2時,結(jié)合圖象(如圖③)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=0處取得最大值-1.當a>2時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,如圖④.函數(shù)在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當a<0時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-1,最大值為3-4a;當0≤a≤1時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當1<a≤2時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-a2-1,最大值為-1;當a>2時,函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3-4a,最大值為-1.反思感悟1.探求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的圖象,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行研究.特別要注意一元二次函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解一元二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù).一元二次函數(shù)圖象的對稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系通常有三種:(1)對稱軸在所給區(qū)間的右側(cè);(2)對稱軸在所給區(qū)間的左側(cè);(3)對稱軸在所給區(qū)間內(nèi).2.對于一元二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值可作如下討論:對稱軸x=h與[m,n]的位置關(guān)系f(x)的單調(diào)性最大值最小值h<m在[m,n]上單調(diào)遞增f(n)f(m)h>n在[m,n]上單調(diào)遞減f(