第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年四川省涼山州會東縣中考數(shù)學一診試卷一、選擇題（本大題共4小題，共12分）1.下列方程中，關于x的一元二次方程是(

)A.2(x2+2x)=2x2?1 B.a2.下列四個幾何體中，左視圖是矩形的是(

)A. B. C. D.3.下列關于拋物線y=?(x+1)2+4的判斷中，錯誤的是A.形狀與拋物線y=?x2相同 B.對稱軸是直線x=?1

C.當x>?2時，y隨x的增大而減小 D.當?3<x<14.如圖，《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學重要著作之一，為元代數(shù)學家朱世杰所著，該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準與一株椽.”大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？(椽，裝于屋頂以支持屋頂材料的木桿)設這批椽有x株，則符合題意的方程是(

)A.6210x=3 B.6210x?1=3 C.二、填空題（本大題共5小題，共20分）5.現(xiàn)有分別標有漢字“高”“質”“量”“發(fā)”“展”的五張卡片，它們除漢字外完全相同，若把五張卡片背面朝上，洗勻放在桌子上，然后隨機抽出一張，不放回；再隨機抽出一張，兩次抽出的卡片上的漢字能組成“發(fā)展”的概率是

．6.若1k?1有意義，則一次函數(shù)y=(k?1)x+1?k的圖象經(jīng)過第______象限．7.如圖，過C(2,1)作AC/?/x軸，BC//y軸，點A，B都在直線y=?x+6上，若雙曲線y=kx(x>0)與△ABC總有公共點，則k的取值范圍是______．

8.如圖，直線AB，AD與⊙O分別相切于點B，D，C為⊙O上一點，且∠BCD=125°，則∠A的度數(shù)是______．

9.把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB=2，則CD=____．

三、解答題（共88分）10.解方程：

(1)x2+2x?3=0；

(2)3x(x?2)=8?4x11.在學習解直角三角形以后，某班數(shù)學興趣小組的同學測量了旗桿的高度，如圖，某一時刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長BC為6米，落在斜坡上的影長CD為4米，AB⊥BC，點A、B、F三點共線，且BC/?/EF，同一時刻，光線與旗桿的夾角為30°，斜坡CE的坡比為1：3．

(1)求坡角∠CEF的度數(shù)；

(2)旗桿AB的高度為多少米？(結果保留根號)12.愛動腦筋的小明在做二次根式的化簡時，發(fā)現(xiàn)一些二次根式的被開方數(shù)是二次三項式，而且這些二次三項式正好是完全平方式的結構，于是就可以利用二次根式的性質：a2=|a|=a(a≥0),?a(a<0)來進一步化簡．

比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴當x+1≥0即x≥?1時，原式=x+1；當x+1<0即x<?1時，原式=?x?1．

(1)仿照上面的例子，請你嘗試化簡m2?m+14．

(2)判斷甲、乙兩人在解決問題：“若a=9，求a+13.第31屆世界大學生運動會將于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，某校開展了“愛成都，迎大運”系列活動，增設籃球，足球，柔道，射擊共四個課外活動項目.為了解全校1500名同學對增設的四個活動項目的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽取了若干名同學，對他們喜愛的項目(每人限選一項)進行了問卷調查，將數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，并繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，請回答下列問題：

(1)參加問卷調查的同學共

名，補全條形統(tǒng)計圖；

(2)估計該校1500名同學中喜愛籃球運動的人數(shù)；

(3)學校準備組建一支?；@球隊，某班甲，乙，丙，丁四名同學平時都很喜歡籃球運動，現(xiàn)決定從這四人中任選兩名同學加入球隊，請你用樹狀圖或列表法求恰好選中甲，乙兩名同學的概率．14.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于點D，過O作OE/?/AB，交BC于E．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)連接CD，如果⊙O的半徑為3，AB=10，求CD的長；

(3)在(2)的條件下，求△ADO的面積．15.如圖，點F是正方形ABCD內(nèi)一點，DF=DC，連接CF并延長交AB邊于點E，EG/?/BC交DF于點G，若EG=3，GF=1，則正方形ABCD的面積為______．

16.如圖，正方形ABCD中，AB=25，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF.則線段OF長的最小值為______．

17.隨旅游業(yè)的快速發(fā)展，外來游客對住宿的需求明顯增大，某賓館擁有的床位數(shù)不斷增加．

(1)該賓館床位數(shù)從2021年底的200個增長到2023年底的288個，求該賓館這兩年(從2021年底到2023年底)擁有的床位數(shù)的年平均增長率；

(2)該賓館打算向游客出售了一款紀念工藝品，每件成本50元，為了合理定價，現(xiàn)投放市場進行試銷.據(jù)市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，若銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件.若該館想要每天的銷售利潤達到4000元，且銷量盡可能大，應該如何定價？18.在矩形ABCD中，點E為射線BC上一動點，連接AE．

(1)當點E在BC邊上時，將△ABE沿AE翻折，使點B恰好落在對角線BD上點F處，AE交BD于點G．

①如圖1，若BC=3AB，求∠AFD的度數(shù)；

②如圖2，當AB=4，且EF=EC時，求BC的長．

(2)當點E在BC的延長線上時，當AB=4，BC=42時.將矩形ABCD沿AE進行翻折，點C的對應點為C′，當點E，C′，D三點共線時，求19.如圖，AB為⊙O的弦，點C為AB的中點，CO的延長線交⊙O于點D，連接AD，BD，過點D作⊙O的切線交AO的延長線于點E．

(1)求證：DE/?/AB；

(2)若⊙O的半徑為3，tan∠ADC=12，求DE20.如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A(?1,0)、B(4,0)兩點，與y軸交點C，連接AC，BC.拋物線的對稱軸交x軸于點E，交BC于點F，頂點為M．

(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)若D是直線BC上方拋物線上一動點，連接OD交BC于點E，當DEOE的值最大時，求點D的坐標；

(3)已知點G是拋物線上的一點，連接CG，若∠GCB=∠ABC，求點G的坐標．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、該方程化簡后可得4x+1=0，是一元一次方程，不符合題意；

B、當a=0時，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合題意；

C、該方程是一元二次方程，符合題意；

D、該方程是分式方程，不符合題意．

故選：C．

根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0；(3)是整式方程；(4)含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證．

2.【答案】D

【解析】解：A.球的左視圖是圓，不符合題意；

B.這個三棱柱的左視圖是三角形，不符合題意．

C.圓錐的左視圖是等腰三角形，不符合題意；

D.圓柱的左視圖是矩形，符合題意；

故選：D．

根據(jù)左視圖是從左面看到的視圖，對各選項分析判斷后利用排除法求解．

本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵．3.【答案】C

【解析】解：A、拋物線y=?(x+1)2+4形狀與y=?x2相同，此選項不符合題意；

B、拋物線y=?(x+1)2+4對稱軸x=?1，此選項不符合題意．

C、對于拋物線y=?(x+1)2+4，由于a=?1<0，當x>?1時，函數(shù)值y隨x值的增大而減小，此選項錯誤，符合題意；

D、拋物線y=?(x+1)2+4=?(x+3)(x?1)，a=?1<0，拋物線開口向下，拋物線與x軸的交點為(?3,0)，4.【答案】D

【解析】解：∵這批椽的價錢為6210文，這批椽有x株，

∴一株椽的價錢為6210x文，

又∵每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，

∴3(x?1)=6210x．

故選：D．

利用單價=總價÷數(shù)量，可求出一株椽的價錢為6210x文，結合“少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢”，即可得出關于5.【答案】110【解析】解：把標有漢字“高”“質”“量”“發(fā)”“展”的五張卡片分別記為A、B、C、D、E，

畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結果，其中兩次抽出的卡片上的漢字能組成“發(fā)展”的結果有2種，

∴兩次抽出的卡片上的漢字能組成“發(fā)展”的概率為220=110，

故答案為：110．

畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，其中兩次抽出的卡片上的漢字能組成“發(fā)展”的結果有2種，再由概率公式求解即可．6.【答案】一、三、四

【解析】解：由題意知，k?1>0，

∴1?k<0，

∴y=(k?1)x+1?k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，

故答案為：一、三、四．

由題意知，k?1>0，則1?k<0，進而判斷作答即可．

本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，一次函數(shù)的圖象．熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，一次函數(shù)的圖象是解題的關鍵．7.【答案】2≤k≤9

【解析】【分析】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根的判別式等知識點的應用，題目比較典型，有一定的難度．

把C的坐標代入求出k≥2，解兩函數(shù)組成的方程組，根據(jù)根的判別式求出k≤9，即可得出答案．

【解答】

解：當反比例函數(shù)的圖象過C(2,1)點時，把C的坐標代入得：k=2×1=2；

把y=?x+6代入y=kx得：?x+6=kx，

x2?6x+k=0，

△=(?6)2?4k=36?4k，

∵反比例函數(shù)y=kx的圖象與△ABC有公共點，

∴36?4k≥0，

k≤98.【答案】70°

【解析】解：過點B作直徑BE，連接OD、DE．

∵B、C、D、E共圓，∠BCD=125°，

∴∠E=180°?125°=55°，

∴∠BOD=110°．

∵AB、AD與⊙O相切于點B、D，

∴∠OBA=∠ODA=90°．

∴∠A=360°?90°?90°?110°=70°．

故答案為：70°．

點B作直徑BE，連接OD、DE.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質可求∠E的度數(shù)；根據(jù)圓周角定理求∠BOD的度數(shù)；根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解．

本題考查了切線的性質、正確記憶圓內(nèi)接四邊形性質、圓周角定理、四邊形內(nèi)角和定理等知識點并正確作出輔助線是解題關鍵．9.【答案】3【解析】【分析】

此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵．

先利用等腰直角三角形的性質求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論．

【解答】

解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，

∴BC=2AB=2，BF=AF=22AB=1，

∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，

∴AD=BC=2，

在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF=10.【答案】解：(1)原方程變?yōu)椋?/p>

(x+3)(x?1)=0，

∴x+3=0或x?1=0，

∴x1=?3，x2=1．

(2)原方程變?yōu)椋?/p>

3x(x?2)+4(x?2)=0，

∴(x?2)(3x+4)=0，

∴x?2=0或3x+4=0，

【解析】(1)利用因式分解法解答即可；

(2)利用因式分解法解答即可．

本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握因式分解法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．11.【答案】解：(1)如圖，

過C作CM⊥EF于M，過D作DN⊥AF交AF于N，交CM于O，

∵AB⊥BC，BC/?/EF，

∴CM⊥ND，

∴BNOC為矩形，

∵CE的坡比為1：3，

∴CMME=13=33，

∴tan∠CEF=CMME=33，

∵tan30°=33，

∴∠CEF=30°；

答：坡角∠CEF的度數(shù)為30°；

(2)由(1)可知，∠CDO=∠CEF=30°，

在Rt△CDO中，∠CDO=30°，CD=4(米)，

∴OC=12CD=2(米)，

∴OD=CD2?OC2=2【解析】(1)過C作CM⊥EF于M，過D作DN⊥AF交AF于N，交CM于O，根據(jù)斜坡CE的坡比為1：3可得CMME=13=33，結合tan∠CEF=CMME且tan30°=33可求解；

(2)由(1)可知，∠CDO=∠CEF=30°，在Rt△CDO12.【答案】解：(1)m2?m+14

=(m?12)2

=|m?12|，

∴當m?12≥0即m≥12時，原式=m?12，

當m?12<0即m<12時，原式=?m+12．

(2)∵a=9，

∴1?a<0，

∴原式【解析】(1)仿照上面的例子，分類討論即可化簡；

(2)根據(jù)a=9，得1?a<0，即可判斷出答案；

(3)根據(jù)x=5，得x?1>0，2?x<0，即可化簡求值．13.【答案】60

【解析】解：(1)參加問卷調查的同學的人數(shù)為12÷20%=60(名)．

故答案為：60．

喜愛柔道的人數(shù)為60?18?12?14=16(名)．

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示．

(2)1500×1860=450

(人)．

∴該校1500名同學中喜愛籃球活動的人數(shù)大約450人．

(3)畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能結果，其中恰好選中甲、乙兩名同學的結果有2種，

∴恰好選中甲、乙兩名同學的概率為212=16．

(1)用喜愛足球的人數(shù)除以其所占的百分比可得參加問卷調查的同學的人數(shù)；用參加問卷調查的同學的人數(shù)分別減去喜愛籃球、足球、射擊的人數(shù)，求出喜愛柔道的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可．

(2)根據(jù)用樣本估計總體，用1500乘以參加問卷調查的同學中喜愛籃球運動的人數(shù)的百分比，即可得出答案．14.【答案】(1)證明：如圖，

∵OE/?/AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠A，

∵OA=OD，

∴∠1=∠A，

∴∠3=∠2，

∵OC=OD，OE=OE，

∴△OCE≌△ODE(SAS)，

∴∠OCE=∠ODE，

∵∠C=90°，

∴∠OCE=∠ODE=90°．

即OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

(2)解：∵AC是直徑，

∴∠ADC=90°，

在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，

∴BC=AB2?AC2=8，

∴S△ABC=12AC?BC=12AB?CD，

∴12×6×8=12×10×CD，

解得：CD=4.8；

(3)解：連接CD，

∵CD=4.8，【解析】(1)證明△OCE≌△ODE(SAS)，則可以證得∠EDO=∠ECO=90°，即可證得；

(2)由勾股定理求出BC=8，根據(jù)三角形面積可得出答案；

(3)連接CD，則CD是直角△ABC的斜邊AB上的高，根據(jù)三角形的面積公式即可求得CD的長，則在直角△ACD中，利用勾股定理求得AD的長，則△ACD的面積即可求得，進而求得△ADO的面積．

本題考查切線的判定以及勾股定理，已知所證的直線經(jīng)過圓上的點，證切線常用的方法是轉化成證垂直．15.【答案】36

【解析】解：過點G作MN//AB交AD于M，交BC于N，交CE于H，

則∠GHF=∠DCF，

∵DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，

∴∠GHF=∠DFC，

∴GH=GF=1，又GE=3，

∴tan∠2=tan∠1=GHGE=13，

設BE=x，BC=3x，

∵四邊形ABCE是正方形，

∴AB=AD=CD=BC=DF=3x，∠A=∠B=90°，

∵MN/?/AB，EG⊥MN，

∴∠AMN=∠A=∠B=∠GEB=∠EGN=90°，

∴四邊形ABNM、BEGN是矩形，

∴MN=AB=3x，AM=GE=3，GN=BE=x，

∴DM=3x=3，MG=2x，DG=3x?1，

在Rt△DMG中，

由勾股定理得：(3x?3)2+(2x)2=(3x?1)2，

整理得：x2?3x+2=0，

解得：x1=1，x2=2，

∵BE=GN=x>GH，

∴x=2，

∴BC=6，

∴S=36，

故答案為：36，

過點G作MN//AB交AD于M，交BC于N，交CE于16.【答案】5【解析】解：如圖，連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接OF，F(xiàn)M，OM，

∵∠EDF=∠ODM=90°，

∴∠EDO=∠FDM，

∵DE=DF，DO=DM，

∴△EDO≌△FDM(SAS)，

∴FM=OE=2，

∵正方形ABCD中，AB=25，O是BC邊的中點，

∴OC=5，

∴OD=(25)2+(5)2=5，

∴OM=52+52=52，

∵OF+MF≥OM，

∴OF≥52?2，

∴線段OF長的最小值為52?2．

故答案為52?217.【答案】解：(1)設該賓館這兩年(從2021年底到2023年底)擁有的床位數(shù)的年平均增長率為x，

根據(jù)題意得：200(1+x)2=288，

解得：x1=0.2=20%，x2=?2.2(不符合題意，舍去)．

答：該賓館這兩年(從2021年底到2023年底)擁有的床位數(shù)的年平均增長率為20%；

(2)設銷售單價定為y元，則每件的銷售利潤為(y?50)元，每天的銷售量為50+5(100?y)=(550?5y)件，

根據(jù)題意得：(y?50)(550?5y)=4000，

整理得：y2?160y+6300=0，

解得：y1=70，y2=90【解析】(1)設該賓館這兩年(從2021年底到2023年底)擁有的床位數(shù)的年平均增長率為x，利用該賓館2023年底擁有的床位數(shù)=該賓館2021年底擁有的床位數(shù)×(1+該賓館這兩年擁有的床位數(shù)的年平均增長率)，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；

(2)設銷售單價定為y元，則每件的銷售利潤為(y?50)元，每天的銷售量為50+5(100?y)=(550?5y)件，利用總利潤=每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再結合銷量要盡可能大，即可確定結論．

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．18.【答案】解：(1)①∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠BAD=90°，

∵BC=3AB，

∴AD=3AB，

∴tan∠ABD=ADAB=3，

∴∠ABD=60°，

由折疊的性質得：AF=AB，

∴△ABF是等邊三角形，

∴∠AFB=60°，

∴∠AFD=180°?∠AFB=120°；

②由折疊的性質得：BF⊥AE，EF=EB，

∴∠BGE=90°，

∵EF=EC，

∴EF=EB=EC，

∴BC=2BE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD=4，

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CBD=90°，

∴∠BAE=∠CBD，

∵∠ABE=∠BCD，

∴△ABE∽△BCD，

∴ABBC=BECD，即4BC=12BC4，

解得：BC=42(負值已舍去)，

即BC的長為42；

(2)當點E，C′，D三點共線時，分兩種情況：

a、如圖3，由②可知，BC=42，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC=4，CD=AB=4，AD//BC，

∴∠DCE=90°，∠CED=∠B′DA，

由折疊的性質得：AB′=AB=4，∠B′=∠ABC=90°，

∴∠DCE=∠B′，DC=AB′，

∴△CDE≌△B′AD(AAS)，

∴DE=AD=42，

∴CE=DE2?DC2=32?16=4，

∴BE=BC+CE=42+4；【解析】(1)①由矩形的性質和銳角三角函數(shù)定義得∠ABD=60°，再由折疊的性質得AF=AB，則△ABF是等邊三角形，即可得出結論；

②由折疊的性質得BF⊥AE，EF=EB，則BC=2BE，再證△ABE∽△BCD，即可解決問題；

(2)分兩種情況，a、證△CDE≌△B′AD(AAS)，得DE=AD=42，再由勾股定理得CE=4，即可解決問題；

b、證∠DAE=∠AED，得DE=AD=42，再由勾股定理等19.【答案】(1)證明：連接OB，

∵OB=OA，點C為AB的中點，

∴OC⊥AB，

∵DE切圓于D，

∴OD⊥DE，

∴DE/?/AB；

(2)解：∵tan∠ADC=ACDC=12，

∴令AC=x，CD=2x，

∵⊙O的半徑為3，

∴OA=OD=3，

∴OC=2x?3，

∵OA2=OC2+AC2，

∴(2x?3)2+x2=32，

∴x=【解析】(1)連接OB，由等腰三角形的性質推出OC⊥AB，由切線的性質得到OD⊥DE，即可證明DE/?/AB；

(2)由tan∠ADC=ACDC=12，令AC=x，CD=2x，得到OC=2x?3，由勾股定理得到(2x?3)2+x2=32，求出x=125，得到20.【答案】解：(1)