第14講導(dǎo)數(shù)中的“距離〃問(wèn)題

一、問(wèn)題綜述

導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題是指形如下面的問(wèn)題：

假設(shè)對(duì)任意的R,m>0,不等式(〃-W；)2+(?-Inw+I)23a恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

二、典例分析

類(lèi)型1：一曲始終型

【例1】函數(shù)f{x)=(x+a)2+(e、+-)2.假設(shè)存在%，使得/(xj,，那么實(shí)數(shù)。的值為_(kāi)_______.

ee-+1

解法1:(構(gòu)造距離)

設(shè)尸(x,e*),Q(-a,-q),那么/(x)的幾何意義是|尸。|的平方.

e

其中點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=e*上，點(diǎn)0在直線(xiàn)/:y=直上.

e

設(shè)/勿〃且與曲線(xiàn)y=e*相切，切點(diǎn)為4(〃?,e'"),

又yC二e、，那么e"'二L\m=-1,\J(-1,-),

ee

74

進(jìn)而有小)"尸。2(訴武門(mén)

444

即/(X)欲使存在與，使得/(X。那么/(%)=?1.

e+1e+1e+1

1+￡2

此時(shí)/=-i,2=-i,即工^Q=-i,得°=。_1.

e-l+〃ee+1

【方法小結(jié)】方法一將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合構(gòu)造兩點(diǎn)間距離，然后利用切線(xiàn)

求得距離的最小值，即函數(shù)的最小值.而此題函數(shù)的最小值恰好的題目所給的值，所以存在的與只有一個(gè),

即切點(diǎn)的橫坐標(biāo).進(jìn)而求得°的值.當(dāng)求出4(-1-)坐標(biāo)之后，求/'(x)”“”和。的值時(shí)，還有如下做法:

e

444

/⑶…融’又兩邊夾得："尸此時(shí)

X

與=-

e

解法2：(權(quán)方和+不等式e'…f+1)

由熟知的不等式e1/+1可得：e-L.x+2,即e--x...2(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立.)

進(jìn)而有：/(x)=(x+a)2+(e*+-)2="丁一+

e1(e)

[(-x-a)+(尸+=(e"J

■"1+e21+e2

22_4

444

即/(x)…7^，又\/*/，7-^)\/(x)=—

1+e1+e01+e

這說(shuō)明上面的不等式中等號(hào)在x=/處取到.

常-%=2抖=72_

因此[e-Y°+1a9即Ic2~\9故。二---.

e-+l

(方法小結(jié)】方法二奇妙的結(jié)合利用了權(quán)方和不等式和我們熟知的不等式+1求得了函數(shù)“X)的最小

值，并在取等條件下求得丫和°的值.此法對(duì)權(quán)方和不等式要求較高.

?(a。,產(chǎn)

權(quán)方和不等式：a------(《>0,4>0,m>0),當(dāng)且僅當(dāng)《=4a時(shí)等號(hào)成立.

1=1

坪.biy

i=1

權(quán)方和不等式〔二維膨式〕：—+—...(c+d)mi,當(dāng)且僅當(dāng)￡=4時(shí)等號(hào)成立.

amhm(a+b)mab

特點(diǎn)：分子的次數(shù)比分母的次數(shù)高一次.

解法3：(變換主元+判別式)

2

依題意：(X。+a)++—j..]2有解,

即里」/+2+/)。+$+/%-.?.(1)有解.

2

故判別式小=4軟'+3-4籬+e2M-高壬0，化簡(jiǎn)得軟*Jx0),.4.

由我們熟知的不等式e'.」+1可得：e、7.j+2,即e、r-x..2(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立.)于是

日門(mén)-/)1.4,故e、W-Xo=2,因此△=().

所以(1)式對(duì)應(yīng)的方程6+1)/+2仆陽(yáng)”+e2+1-占1=0有兩相等根，故”

【方法小結(jié)】方法三另辟蹊徑奇妙的變換主元，把原式轉(zhuǎn)化成關(guān)于“的一元二次方程，通過(guò)判別式△…0及

切線(xiàn)放縮求得°的值，進(jìn)而求得a的值.

解法4：(變換主元+二次函數(shù)最值)

/(X)=(X+-|+,嚕3+斯+渣"

e2+1e2+

(其中仍利用e'./+1得e'*Jx...2)

【方法小結(jié)】方法四與方法三有異曲同工之妙，利用主元思想構(gòu)造二次函數(shù)及切線(xiàn)放縮求得最值.

【變式練習(xí)1］

設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a>+(In/-2a>,其中x>0,a1火.假設(shè)存在看,使得/(%)￡《成立，那么實(shí)數(shù)。的

值為()

【例2】假設(shè)對(duì)任意的實(shí)數(shù)f,函數(shù)〃x)=(x-獷+(x-e,r-3ar在R上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)。的取值范

圍是.

【解析】依題意可知f^x)=3(x-t)2+3(x-e1)2-3a30在R上恒成立，

212

:.ai(x-￡)2+(x-dp在K上恒成立，令g(x)=(x-t)+(x-e),那么a￡g(x)min,

?「g(x)=(x-z)2+(x-d)2表示直線(xiàn)y二X上的動(dòng)點(diǎn)P(x,x)與曲線(xiàn)/?(x)=，上的動(dòng)點(diǎn)0(Z,d)兩點(diǎn)間的距離

的平方.設(shè)曲線(xiàn)〃(x)=,上與直線(xiàn)y二x平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為上,比),那么易得切線(xiàn)方程為

xxxx<>x<>

y-e°=e°(x-x0),B|Jy-e°x-xoe+e,依題意有*=1,

???%=0,???切線(xiàn)方程為歹=x+l,，兩條平行線(xiàn)y=x與歹二％+1間的距離為d二喪.

???g(》)min二/二;,J白￡J.

［例3］假設(shè)對(duì)任意的nIR,m>0,不等式(〃-m)2+(〃-ln〃?+3。恒成立，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【解析】依題意可知("-"if+(〃-lnm+I)?表示曲線(xiàn)y二Inx-1到直線(xiàn)y二x上點(diǎn)的距離最小值的平方，

求曲線(xiàn)y=Inx-1平行于直線(xiàn)y=x的切線(xiàn)，y^=令工=1,得x=1,因此切點(diǎn)(1,-1),切點(diǎn)到直

n-(-i)i

線(xiàn)夕=x的距離d=JI,就是兩曲線(xiàn)的最小距離，.機(jī)＞+（〃-lnm+的最小值d2=2,

/.a￡2.

【變式練習(xí)2】

不等式（〃2-〃）2+（加-In〃+4）2...2，對(duì)任意m撾（0,+）恒成立，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【例4】假設(shè)存在實(shí)數(shù)x,使得關(guān)于x的不等式+x2-2ax+?2..!成立，那么實(shí)數(shù)。的取值集合

910

為.

解法1：利用權(quán)方和不等式得:

C二"+"至■…魚(yú)二立（其中e?-X...1,取等條件》=0）

911010

兩邊夾得：（e，-g）2+（a-x）2=—,當(dāng)且僅當(dāng)x=0且上即。=’.

9109110

解法2：

如圖利用切線(xiàn)可知||：而=,，此時(shí)a=’.

【變式練習(xí)3]

/(x)=x2-2ax+e6r-6ae3x+10a2的最小值為，，那么a的值為

類(lèi)型2：兩曲型

【例5】設(shè)夕Q,b）=J。-6丫+稹5g0面R）?當(dāng)變化時(shí)，（PQ,b）的最小值

為.

【解析】

解法1:(幾何意義+導(dǎo)數(shù))

設(shè)/Q,lna),哪J扮別是函數(shù)/&)=lnx,g&)=［圖象上的動(dòng)點(diǎn)，那么|陽(yáng)=J加注

丫2h2

點(diǎn)8到拋物線(xiàn)g&)=?的準(zhǔn)線(xiàn)y=-1的距離，等于點(diǎn)8到焦點(diǎn)尸0,1)的距離，即忸8=(+1,

故？=忸可-1.所以9Q,b)=1Q-斤+-9至+~=b川+^BF|_13,/卜1,

當(dāng)4,8,尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，故只需求恒可的最小值.

記hQ)=pF|2=a2+Qna-爐Q>0),那么〃咐)=2a+a(ina-1)>i,

當(dāng)0<a<l時(shí)，"Q)<0；當(dāng)a>1時(shí)，〃4)>0,

所以hQn=hQ)=2,從而0Q力>|4E|-PJJ-i,當(dāng).=1,b=2&-2時(shí)取等號(hào).

2

【方法小結(jié)】解法1結(jié)合幾何意義將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g&)='上的點(diǎn)與函數(shù)/'&)=Inx上的點(diǎn)之間

4

的距離，進(jìn)而通過(guò)拋物為線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)化焦點(diǎn)與/&)上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值，最終通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)求出函數(shù)的最值.

解法2：(幾何意義+權(quán)方不等式)

設(shè)ZQ,lna),砥,%分別是函數(shù)/6)=Inx,g(x)=片圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

物4r4

那么卜/一斤+也”-。莖點(diǎn)8到拋物線(xiàn)g&)=1的準(zhǔn)線(xiàn)y=-1

r2r2

的距離，等于點(diǎn)8到焦點(diǎn)戶(hù)0,1)的距離，即忸目=?+1,故(=忸尸卜1.

所以90,8)=5-斤+銅-9至+/\AB\+幽-廣甘卜1

M尸『=/+Q-ina)2吵Q+2色且僅當(dāng)°=1時(shí)取等號(hào))

所以(Q,b)3y/2~1.

【方法小結(jié)】解法2在求解拋物線(xiàn)上焦點(diǎn)與/&)上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值，實(shí)行權(quán)方和不等式進(jìn)行求最小值,

方法奇妙，令人嘆為觀止.

附：權(quán)方和不等式《+53Q-b)〔當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)〕.

112

解法3：(幾何意義+斜率)

設(shè)/Q,lna),8好扮別是函數(shù)/&)=Inx,g(x)=圖象上的動(dòng)點(diǎn)，那么朋=卜。+浙?壬.

「2

點(diǎn)8到拋物線(xiàn)g6)=3的準(zhǔn)線(xiàn)廠(chǎng)-1的距離，等于點(diǎn)8到焦點(diǎn)廠(chǎng)0,1)的距離，即忸口二h彳+1,故

[=|5F|-1.所以|/f=/+Q_]n“)2吵Q+；n")2做且僅當(dāng)°=1時(shí)取等號(hào))，

設(shè)在4點(diǎn)的切線(xiàn)方程為/,斜率為左，k=L當(dāng)4F'/時(shí)，|/同取最小值

a

X則」，J.如二l=-i,解得〃=J,zQ,o),所以eQ,b)3|/川-172-I.

aaa

【方法小結(jié)】思路三在求解拋物線(xiàn)上焦點(diǎn)與/&)上動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值時(shí)，考慮過(guò)二次函數(shù)的焦點(diǎn)廠(chǎng)與

/&)=Inx上的點(diǎn)”的連線(xiàn)力尸與過(guò)力的切線(xiàn)，垂直時(shí)，|/尸|最小.思路三利用幾何關(guān)系解決問(wèn)題，表達(dá)

了數(shù)形結(jié)合的思想.

解法4：(柯西不等式)

/〃、[——]一忑b2無(wú)、b2b2

(p(a,h)=J(a-by+gna--J+—^z-Intz+--ZL)+—

…?1+b+"=坐於bi當(dāng)且僅當(dāng)°=l,b=2亞-2取等號(hào).

2442黝4?4

【方法小結(jié)】思路四在求目標(biāo)函數(shù)*Q,6)的最值時(shí)，通過(guò)柯西不等式不等式進(jìn)行放縮成只含有，的二次函

數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，解決問(wèn)題.思路四，方法奇妙，妙到毫巔，讓人折服，屬于巧法.

【變式練習(xí)41

設(shè)D=J(X-4+(Inx-.+]miR),那么。的最小值為()

A.—B.1C.V2D.2

2

【例6】方程(2aIna-b)2+(c2-me+3+d)2=0在區(qū)間［，,e］內(nèi)恒有兩個(gè)根，那么實(shí)數(shù)機(jī)的最大值

e

為.

解法1：V(2a\na-b)2+(c2-mc+3+J)2=0,

/.2a\na-b=0,c2-加c+3+d=0,

依題意，曲線(xiàn)M:y=2xlnx,曲線(xiàn)N:y=+〃優(yōu)一3,

即產(chǎn)_(x_羅++3,如下圖，要使在區(qū)間B，e］內(nèi)曲線(xiàn)M,N

恒有兩個(gè)交點(diǎn)，那么必有曲線(xiàn)N在x取e時(shí)夕的值小于或等于

2elne=2e,故要使得〃？最大，只需2e=-e?+〃肥-3,

解得：m=-2e'e+-+2.

ee

【方法小結(jié)】通過(guò)一個(gè)數(shù)的平方為非負(fù)可知曲線(xiàn)曲線(xiàn)M:y=2xInx

曲線(xiàn)N:y二-工2+/nr-3,利用數(shù)形結(jié)合可知曲線(xiàn)N在x取e時(shí)y

的值等于2elne=2e時(shí)〃7的值最大,計(jì)算即得結(jié)論.

解法2：V(2a\na-h)2+(c2-mc+3+=0,

**.2aIna-b-0,c2_tnc+3+d-0,

依題意，曲線(xiàn)M:y=2xInx(x>0),3

21nx4-x+-

r

曲線(xiàn)N:y=-x2+mx-3,

兩曲線(xiàn)有交點(diǎn)即方程2x\nx=-x2+mx-3有兩個(gè)實(shí)根,

別離變量得〃廠(chǎng)21nx+x+設(shè)〃(x)=21nx+x+

XX

那么心)=2+1-義烏」=空”,

XX"XX

可知〃(x)在［1,1］遞減，在［l,e］上遞增.

e

117

???最小值為力(1)=4,又〃(上產(chǎn)3e+--2>A(e)=e+-+2,

eee

所以要有兩個(gè)交點(diǎn)，那么有4<加<〃(e)=e+3+2.

e

類(lèi)型3：綜合應(yīng)用

222

［例7］假設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,1滿(mǎn)意S+31no)2+(c-d+2)2=0,那么/+6+c+J-2ac-2bd的

最小值為().

A.V2B.2C.2V2D.8

【解析】

解法L(均值不等式)

〃2…、2/2…-tz2+3\na

(6+/-31na)2+(c-d+2)~=0D1

M二c+2

-22222

\/+〃+。2+/_2ac-2bd=(ac)+(6-d)=(a-c)+(c+2+a-3Ina)

［(a-c)+(c+2+a2-3Ina)］2_(/+a+2-3In

…2T~

3

設(shè)/(x)=x2+x+2-31nX,那么/")=2x+1--

x

/心)在(0,+￥)上單調(diào)遞增，且川1)二0,

'當(dāng)xf(0,1)時(shí)，/")<0J(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xi(l,+￥)時(shí)，/仃)>0J(x)單調(diào)遞增

\/(x)*=〃1)=4.

綜上，原式的最小值為t=8,應(yīng)選D.

2

解法2：1距離)

原式二〃伍一op+(°+2+T-31n〃)2

\d=c+2

2

設(shè)G:必=x+2；C2:y2=31nx-x,

那么dmin即為q和C2上兩點(diǎn)間距離的最小值.

33

而劣正——2X,^=--r-2<0.

X2X

故必為凸函數(shù)，且在(0,甘)單調(diào)遞增，在(苧,+￥)單調(diào)遞減.

易求得與c2相切，且與q平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)尸(1,-1).

那么等于P到C,的距離，???dmin=8,應(yīng)選D.

【變式練習(xí)51

假設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c,"滿(mǎn)意(b-elnap+(c~d+3)2=0,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值為

【例8】點(diǎn)P為函數(shù)〃x)=Inx圖像上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為圓[x-(e+1)F+/=1上任意一點(diǎn)，那么線(xiàn)段產(chǎn)。

e

長(zhǎng)度的最小值.

【解析】過(guò)函數(shù)/'(x)=Inx上點(diǎn)P(x0,lnx。)作“x)的切線(xiàn)/,將/平移至與圓相切，

設(shè)切點(diǎn)為。.(當(dāng)0在線(xiàn)段C尸上時(shí)，PQ長(zhǎng)度最小.(即將圓擴(kuò)大到與/(x)相切時(shí)的切點(diǎn)為尸點(diǎn))

/*x)=工，由CP"/得：Mx。』=-1

整理得Inxo+x；-0,解得x°=e,OT/

(具體證明放在后面)\/

所以P(e,l),所以|PQ「pq-i=絲工-1,故線(xiàn)段2°長(zhǎng)度的最小值去El-].

(PS：設(shè)g(x)=lnx+x2-(e+-)x,留意到g(e)=0,現(xiàn)證明x二e為g(x)唯一零點(diǎn).

e

先求得/(%)=Inx在x二e的切線(xiàn)為歹二-(%-e)+1,由切線(xiàn)放縮：lnx￡-e)+1=-x

eee

當(dāng)％<e,g(x)￡-x+x2-(e+-)x=x2-ex<0,

ee

當(dāng)x>e,g(k)=-+2x~(e+3>g(e)>0，故x=e為g(x)唯一零點(diǎn).

xe

【變式練習(xí)6】

點(diǎn)〃在圓C:f+/+3x-4y=0上，點(diǎn)N在曲線(xiàn)1+Inx上，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為.

【例9】實(shí)數(shù)”,b,c,d滿(mǎn)意忙絲=—=1其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么(a-cy+(6-4)2的最小值為

ba-1

()

A.4B.8C.12D.18

【解析】實(shí)數(shù)q,6,c,d滿(mǎn)意匚生=1,??"=a-2e",d=2-c,

ba-1

因此點(diǎn)(a,b)在曲線(xiàn)y=x-2e'上，點(diǎn)(c,d)在曲線(xiàn)y=2-x上，(a-c)2+(b~d)?的幾何意義就是曲線(xiàn)

y=x-2e*到直線(xiàn)y=2-x上點(diǎn)的距離最小值的平方，求曲線(xiàn)y=x-2e*平行于直線(xiàn)y=2-x的切線(xiàn),

y^=1-2e\令1-2e*=-1,得x=0,因此切點(diǎn)(0,-2),切點(diǎn)到直線(xiàn)夕=2-x的距離

|0-2-2|

2V2,就是兩曲線(xiàn)的最小距離,(a-c)2+(b~d)2的最小值/=8,故答案為B.

【變式練習(xí)7]

假設(shè)實(shí)數(shù)見(jiàn)〃滿(mǎn)意匚至=%二型=11y構(gòu)0/0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，那么(x-加尸+(y-a)2

y〃

的最小值為()

A.V5B.5C.V10D.10

【例10】直線(xiàn)廣，與函數(shù)./Ix)=2x+3和g(x)=ax+Inx分別交于48兩點(diǎn)，假設(shè)到最小值為2,那

么4Z+6=

【解析】

解法1：當(dāng)直線(xiàn)平移至與曲線(xiàn)相切時(shí)(切點(diǎn)為8),取最小值2.

過(guò)點(diǎn)B作BD垂直直線(xiàn)/(x)=2x+3,

由于tanDD4B=2,易求得切點(diǎn)8到直線(xiàn)

4

2x~y+3=0的距離為忸。卜忑,

設(shè)8(工0，50+In/),那么g理%0)=。+,=2DaxQ=2x0-1(*),

%

ax-lnx+3|_4

：.\BD\-包00

A/5V5

聯(lián)立(*)得|4-lnx0|=4Px0=l,a=l,b=1,所以a+b=2.

解法2：設(shè)〃xj=g(%)=b(x2>x,),那么占=3,

ax>+lnx9-3,zxor+Inx-3....xx(2-a)-1

x2-%1=x2--=——丁——，^/?(x)=X----------(x>0),h^x)=~—升——

(1)假設(shè)。32,/7<x)<0,函數(shù)無(wú)最小值；

(2)假設(shè)a<2,當(dāng)xi(0,」一)，A(x)遞減；當(dāng)—(」一,+￥),以初遞增；

2-a2-a

i(2-a)*J)-In白+3

h(x)3A(----)=------------------------二2-—In-----=2,

2-a222-a

解得a=l,此時(shí)匕=1,故6=g(l)=1,所以a+b=2.

【變式練習(xí)8]

直線(xiàn)4：y=x+°分別與直線(xiàn)4：y=2(x+1)及曲線(xiàn)C:y=x+Inx交于48兩點(diǎn)，那么|/同的最小值

為_(kāi)_____________

三、穩(wěn)固練習(xí)

1.假設(shè)點(diǎn)“〃,0)與曲線(xiàn)y=e*上點(diǎn)0的距離的最小值為2石，那么實(shí)數(shù)，的值為().

A/In2「/In2尸、In3八、In3

A.4-——B.4-——C.3+——D.3+—

3232

2.設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)廠(chǎng);，，點(diǎn)。在曲線(xiàn)尸ln(2x),那么|PQ|的最小值為()

A.1-ln2B.72(1-In2)C.1+ln2D.0(1+In2)

3.尸為曲線(xiàn)G：N=爐上一點(diǎn)，Q為曲線(xiàn)G：V=Inx上一點(diǎn)，那么|PQ|的最小值為.

4.假設(shè)x,a力均為任意實(shí)數(shù)，且(a+2>+(6-3)2=1,那么(x-+(Inx-的最小值為.

A.30B.18C.3近-1D.19-6&

5.假設(shè)[b-(a-2)『+[Inb-(a-1)F3"，-機(jī)對(duì)"6>0,a1及恒成立，那么機(jī)的最大值為.

2

6.設(shè)F(x,y)=(x+y>+(x--)2,(x,y喂Rj0),那么尸(x,y)的最小值為?

y

7.函數(shù)/(x)=(ev-m)2+(X-⑼"其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，m為變量，且加iR),當(dāng)/(x)取最小值時(shí),

m=?

8.假設(shè)存在a>0,6i火，使得(2b-21na>=(b-qA成立，那么實(shí)數(shù)z的取值范圍是.

9.函數(shù)/(x)=1+云2+6+4(b,c,d為常數(shù)，當(dāng)?(0,1)時(shí)取極大值，當(dāng)—(1,2)時(shí)取微小值，那么

3+；>+(C-3)2的取值范圍是()

A.(§,5)B.(75,5)C.(*25)D.(5,25)

10.Ina-ln3=lnc,64=-3,那么(a-(d-的最小值為()

A3行18「16「12

A.----DB.—C.—D.—

5555

11.假設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=[x2-21nx上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)尸到直線(xiàn)夕=x-g的距離的最小值為()

Ap3近30/T

A.2B?---C.---D.yj5

22

12.曲線(xiàn)y=Inx上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=x+1的最短距離是()

A.72B.2C.—D.1

2

13.曲線(xiàn)y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x-y+3=0的最短距離為.

14.點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=x?-Inx上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)尸到直線(xiàn)y=x-2的最小距離為.

15.設(shè)點(diǎn)P,。分別是曲線(xiàn)y=xe'e是底數(shù))和直線(xiàn)y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)，那么兩點(diǎn)間距離的最小值

為.

16.直線(xiàn)x=a(a>0)分別與直線(xiàn)y=3x+3,曲線(xiàn)y=2x+In工交于43兩點(diǎn)，那么\AB\最小值

為.

17.函數(shù)〃x)=爐+lYx-2m(x+lnx)+2療+1,假設(shè)存在/[)￡1成立，那么實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

13

A.-B.1C.-D.2

22

⑶設(shè)e表示自然對(duì)數(shù)的底數(shù)’函數(shù)分戶(hù)一+(、-)"一?'關(guān)于x的不等式小)￡有解‘那

么實(shí)數(shù)a值為.

19.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)意|6-2|+(c+31nd)2=0,那么(6-")?+(a-c>的最小值是.

20.實(shí)數(shù)a,6cd滿(mǎn)意6=a-2e。，c+d=4其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么(a-c>+(b-"了的最小值為

(〕

A.1B.18C.20D.22

21.實(shí)數(shù)mb滿(mǎn)意ln(b+1)+a-3b=0,實(shí)數(shù)c,d滿(mǎn)意2d-c+6=0,那么(a-+(b-的最小值

為.

22.設(shè)。=?x-"+(/-2而>+a+2,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，那么。的最小值為.

四、穩(wěn)固練習(xí)參考答案

變式練習(xí)1：答案：A

變式練習(xí)2：答案：a31

變式練習(xí)3：答案：—

變式練習(xí)4：解析:

由式子結(jié)構(gòu)聯(lián)想：。為拋物線(xiàn)犬=4y上點(diǎn)P(a,a)到對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx圖像上任意點(diǎn)N(x,lnx)的距離加上

點(diǎn)尸(凡會(huì))到拋物線(xiàn)/=心的準(zhǔn)線(xiàn)產(chǎn)-1的距離，設(shè)尸為拋物線(xiàn)》2=4y的焦點(diǎn)，那么由拋物線(xiàn)定義可知,

D=PF+PA3￡4,明顯，當(dāng)4尸,尸三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最短.即求焦點(diǎn)F到對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx圖像上任意點(diǎn)的距

離的最小值.

V\FA^=(Inx-I)2+/令/(x)=(Inx-I)2+x2,

Inr+T2—11

那么/'(X)=2(----------),且/⑴=0.設(shè)%(x)=lnx+1,那么〃?)二一+2x>0,

xx

v+丫2—1

Af'(x)=2(——-——)在(0,+￥)上單調(diào)遞增，.?.當(dāng)xi(0,1)時(shí)，/(x)〈八1)=0,當(dāng)xi(L+￥)時(shí),

X

/,?>/'(1)=0,.../(x)mi?=〃1)=2，...|9|而「應(yīng)，即。喃=V2.

點(diǎn)評(píng)：此題，由式子結(jié)構(gòu)聯(lián)想，兩點(diǎn)間距離公式，構(gòu)造成圖像上兩點(diǎn)距離，通過(guò)拋物線(xiàn)定義，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)

共線(xiàn)時(shí)的最短距離，通過(guò)求導(dǎo)法，以及切線(xiàn)法，與圓相切的方法，予以解決，需要較高的數(shù)學(xué)功底.

O

變式練習(xí)5：答案：-

2

變式練習(xí)6：答案：V2-1

變式練習(xí)7：實(shí)數(shù)〃滿(mǎn)意x-%*=2(1-m)=3/,n=2-2m,因此點(diǎn)(x,y)在曲線(xiàn)

yn

y-x-3e、上，點(diǎn)(加,〃)在曲線(xiàn)y=2-2x上，(X-w)2+(歹-的幾何意義就是曲線(xiàn)y二工-3eY到直線(xiàn)

丁二2-2x上點(diǎn)的距離最小值的平方，求曲線(xiàn)歹二x-3F平行于直線(xiàn)少二2-2x的切線(xiàn)，l-3ev,令

M=l-3e*=-2,得x=0,因此切點(diǎn)(0,-3),切點(diǎn)到直線(xiàn)y=2-2x的距離八也了2=二=石，就是

+4

兩曲線(xiàn)的最小距離，(X-m)2+(y-a)2的最小值/=5,故答案為B.

變式練習(xí)8：解：依題意可得了...產(chǎn)…，，

ly=2(x+1)2a-2\y=x+Inx=e"+Q

：.A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a~2,2a-2),B(ea,ea+a),

：.\AB\=7(ea-a+2)2+(ea+a-2a+2)2=,2(e"-a+2>.

令/z(a)=e"-a+2,alR,那么〃二"-1，

AaI(-￥,0)時(shí)陽(yáng)a)<0;aI(0,+￥)時(shí)，力心)>0,所以〃(°)在。=0時(shí)取得最小值為

h(a)mm=〃(0)=3>0所以1/1310=/?(0)=郎.

1.解：設(shè)尸(%,九)是卜=，上任意一點(diǎn)，那么過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y-e"=e'"(x-/),依題意有

|1\g'"-1

Jx()-t*,.*.!x0-t淖，即(e%了+(*>=12,e%=3,

bo+(xo~z)2=12j(e'，)2+(x0-f)2=12

2x

x0=；ln3,/.t-e°+x0=3+yIn3,選擇D.

2.?.?片卜，與y=ln(2x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)了=x對(duì)稱(chēng)，...|尸。|的最小值"等于直線(xiàn)尸x到曲線(xiàn)y=

(或尸ln(2x))距離的2倍.?.?弁=ge*,由y/;e*=1得x=ln2,.?.切點(diǎn)(ln2,l),

d=2a￡2=及(1-ln2),，選擇B.

3.過(guò)程參考第2題，答案：V2.

4.設(shè)P(-2,3),0(%,%)是曲線(xiàn)y=Inx上任意一點(diǎn)，那么(x-q>+(Inx-bf表示(歸0卜,易得過(guò)0

的切線(xiàn)/的方程為廠(chǎng)lnx0=,(X-/),當(dāng)P0./時(shí)，|叫最小，

此時(shí)lPQ：y~lnx0=-xQ(x-x0),*.*尸0過(guò)點(diǎn)P(~2,3),x；+2x0+lnx0-3=0,

/.x0=1(此處需證明(也易證)函數(shù)g(x)=f+2x+加工-3的單調(diào)性)，，。。,0),

222

|尸0心=J(-2-1『+3?=3五).\[(x-a)+(Inx-Z))]min=(3^2-I)=19-66.

5.解：[b~(a-2)f+[Inb-(a-1)F表示直線(xiàn)歹=x+1上的動(dòng)點(diǎn)尸(a,a+1)與曲線(xiàn)〃x)=Inx上的動(dòng)點(diǎn)

QS，ln〃)兩點(diǎn)間的距離”的平方.依題意加￡峨,設(shè)曲線(xiàn)y(x)=Inx上與直線(xiàn)？=x+1平行的切線(xiàn)

的切點(diǎn)為(x0,y0)，f^x)-->—=1>

Xx0

2

=

??xo-1,??"min一~,??m-m￡1min-2，?.WI[-1,2],??見(jiàn)儂2.

6.設(shè)P(q,a)為直線(xiàn)y二x上任意一點(diǎn)，Q(b,-令為直線(xiàn)廠(chǎng)上任意一點(diǎn)，那么尸(人「|尸。仁，設(shè)曲

線(xiàn)y=-2上與直線(xiàn)y二％平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為(%,%)，

x

;的與，由馬二1得丁士JL不妨設(shè)co,那么/=JL.??切點(diǎn)(立-偽，

x不

2

二|P0|.=￥=2,二F(x)mi?=|Pd.=4.

IQlmin\/m,nI

7.答案：

2

8.依題意有(=(b-a)2+(2b~21na)2表示直線(xiàn)了=2x上的動(dòng)點(diǎn)P(6,2/7)與曲線(xiàn)/(x)=21nx上的動(dòng)點(diǎn)

Q(a,21na)兩點(diǎn)間的距離的平方，設(shè)曲線(xiàn)/(x)=21nx上與y=2x平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為(x0,為)，那么切線(xiàn)

方程為y-21nx0=2(x-%)，依題意可得工=2,所以/=1，...切線(xiàn)方程為y=2x-2,...兩條平行線(xiàn)

V/(x)=x3+bx2+cx+d,/./")=3X2+2hx+c,?.?函數(shù)/(x)在xi(0,1)時(shí)取得極大值，當(dāng)xI(1,2)時(shí)

取微小值，.??/")=3/+2bx+c=0在(0,1)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)根，，/電)>0J(l)<0J(2)>0，即

|c>0

i3+26+c<0>在60c坐標(biāo)系中畫(huà)出其表示的可行域，如下圖，(6++(c-3),表示點(diǎn)/(-；,3)與可

|12+4b+c>0

行域內(nèi)的點(diǎn)連線(xiàn)的平方，點(diǎn)4(-g,3)的直線(xiàn)2b+c+3=0的距離為|-1+3+3|

亞,由4b+c+12=0與

2b+c+3=0聯(lián)立得交點(diǎn)為(-4.5,6),與點(diǎn)3)的距離為5,二(b+1)2+(c-3)2的取值范圍為(5,25),

二選擇D.

10.答案：B

11.設(shè)曲線(xiàn)y二士/一21nx上與2平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為(打,打)，那么y仁3x-士，

22x

二?切線(xiàn)方程為y-(3月-2Inx0)=(3x0-—)(x-x0)?由3%-2=i,得/=1,

2%/

.?.切線(xiàn)方程為卜=x+g,依題意點(diǎn)P到直線(xiàn)y=X-|的距離的最小值即為兩條平行線(xiàn)y=x-g與