海淀區(qū)2022?2023學年第一學期期末練習

局二數(shù)學

2023.01

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.已知集合〔I」，11J,則AD5=()

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+co)D.

[-2,+co)

在復平面內(nèi)，復數(shù),對應點位于（

2.)

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

已知函數(shù)/（%）=&—工—1,在下列區(qū)間中，

3.包含/（%）零點的區(qū)間是（)

X

1B.目

A.C.(1,2)D.(23

兀工

4.已知〃二炮51=51!1于0=23,貝|（)

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

5.若圓小+丁―2x—2沖+〃=o截直線％—2y+l=0所得弦長2,則。二（)

A.-1B.0c.1D.2

6.已知｛??｝為等差數(shù)列，4=3,。4+。6=-10.若數(shù)列也｝滿足

b.=%+4+1（n=1，2,），記也｝的前幾項和為s“，則以=（）

A.-32B.-80C.-192D.-224

7.某校高一年級計劃舉辦足球比賽，采用抽簽的方式把全年級6個班分為甲、乙兩組，每

組3個班，則高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組的概率是（）

8.設(shè)a、4是兩個不同的平面，直線加U&,則“對廠內(nèi)的任意直線/,都有機_L/

是“。_L，”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.己知函數(shù)/'（x）=cos2x在區(qū)間+|?eR）上的最大值為“⑺，則M（。的最小

值為（）

10.在實際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管”.它的制作方法如下：如圖2,用

一個與圓柱底面所成角為45的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可

以得至『‘直角彎管在制作“直角彎管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段

（如圖3）的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形

恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象（如圖4）.記該正弦型函數(shù)的最小正周期為T,截口橢圓

的離心率為e.若圓柱的底面直徑為2,則（）

圖1

1/9

c.T=47t,e=-D.T=47T,e=—

22

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線y2=2x的焦點坐標為.

12.在［x—2］的展開式中，/的系數(shù)為.

13.如圖，在正三棱柱ABC-A與G中，P是棱8月上一點，A3=A4=2,則三棱錐

P-ACQ的體積為.

14.設(shè)。為原點，雙曲線。：卡-匯=1的右焦點為尸，點尸在。的右支上.則。的漸近線

3

OPOF

方程是；|op|的取值范圍是.

15.己知函數(shù)/(x)=￡—2x+2/\g(x)=ex—f.給出下列四個結(jié)論：

①當/=0時,函數(shù)y=/(x)g(x)有最小值；

②于eR,使得函數(shù)y=/(x)g(x)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞增；

③于eR,使得函數(shù)y=/(x)+g(x)沒有最小值；

④士eR,使得方程/(x)+g(%)=0有兩個根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=sin((yx+9)[0>O,|同用五點法畫/(X)在區(qū)間上的

圖象時，取點列表如下：

兀兀5712兀11兀

X

12~6nT五

/(%)010-10

(1)直接寫出/(X)解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在ABC中，f(B)=^,b=2y/3,a+c=6,求..ABC的面積.

17.如圖，在四棱錐P—A6CD中，平面

ABCD,AD±DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD=1,M為棱PC的中點.

2一

（1）證明：//平面QA。；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角尸-ZW-6的余弦

值.

條件①：PB=6;條件②：BD±BC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.“地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1）,考慮

到受市場影響，預測該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價格情況如表1（該預測價格與畝產(chǎn)量互

不影響）.

明年冬小麥統(tǒng)一收購價格（單位：元/kg）2.43

概率0.40.6

表1

假設(shè)圖1中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.

（1）試估計X地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為1500元的概率；

（2）設(shè)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為X元，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）H地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進行某項技術(shù)改良，則可使每

畝冬小麥產(chǎn)量平均增加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣

該項技術(shù)改良？并說明理由.

19.己知函數(shù)/（x）=xln（x+l）.

（1）判斷0是否為了（尤）的極小值點，并說明理由；

（2）證明：+

x22

22

20.己知橢圓后：.+%=1過點尸（―2,1）和Q（20,0）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點G（0,2）作直線/交橢圓E于不同的兩點A,3,直線己4交》軸于點直線

交，軸于點N.若|GM|-|GV|=2,求直線/的方程.

21.對于一個有窮正整數(shù)數(shù)列Q,設(shè)其各項為％,%,,an,各項和為S（Q）,集合

｛（/,J）lai>aj,l<i<j<“｝中元素的個數(shù)為T（Q）.

（1）寫出所有滿足S（Q）=4,T（Q）=1的數(shù)列Q；

⑵對所有滿足T（Q）=6的數(shù)列Q,求S（Q）的最小值；

⑶對所有滿足S（Q）=2023數(shù)列0,求I。）的最大值.

答案解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.已知集合A={+2小3},一{?。?},則ASB=（）

A.[-2,3]B.[0,3]C,（0,+co）D.

[-2,+co）

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定義可求得集合

【詳解】因為集合A={+2VX＜3},5={小＞0},因此，AoJB=[-2,+w）.

故選：D.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)一L對應的點位于（）

2—z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡復數(shù)，從而根據(jù)對應點的坐標得到結(jié)果.

12+z2+z21.

[詳解]+

二對應的點坐標為：

，對應的點位于第一象限

本題正確選項：A

【點睛】本題考查復數(shù)對應的復平面的點的問題,關(guān)鍵是能夠通過復數(shù)的除法運算化簡復

數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知函數(shù)"x）=、&-,―1,在下列區(qū)間中，包含“X）零點的區(qū)間是（）

B.c.（1,2）D.（2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷出函數(shù)在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，計算出端點值，利用零點存在性定理得

到答案.

【詳解】/（力=6-工-1定義域為（0,+。），在定義域上連續(xù)且單調(diào)遞增，

X-

其中/]]=14一1<0,佃岑—2—1<0,/（1）=71-1-1<0,

L1I-1

/（2）=V2---l<0,/（3）=V3---l>0,

由零點存在性定理可得：包含/（九）零點區(qū)間為（2,3）.

故選：D

兀1

4.已知a=lg5,b=sin—,c=23,貝!J（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可/

【詳解】因為lgJIU<lg5<lglO,所以g<a<l,

IT7TI

因為sin—<sin—,所以b<一,

762

因為2：>2°，所以因此。<〃<。，

故選：B

5.若圓/+丁―2x—2ay+/=。截直線x—2y+l=0所得弦長為2,則。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知直線％-2y+l=0過圓心，由此可求得實數(shù)。的值.

【詳解】圓的標準方程為（龍―以+（丁—a）2=l,圓心為C（l,a）,圓的半徑為/"=1,

因為若圓一+丁―2x—2。丁+/=0截直線x—2y+l=0所得弦長為2,

所以，直線x—2y+l=0過圓心C,則1—2a+l=0,解得a=L

故選：C.

6.已知｛4｝為等差數(shù)列，6=3,%+4=T0?若數(shù)列出｝滿足

Z??=a?+a?+1(ra=l,2,),記也｝的前幾項和為S"，貝?。?=()

A.-32B.-80C.-192D.-224

【答案】B

【解析】

【分析】求出等差數(shù)列｛%,｝的通項公式，可求得數(shù)列出｝的通項公式，推導出數(shù)列出｝為

等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出58的值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則。4+3=2。5=-10,所以，生=一5,

??"'a

cin=%+(“—l)d=3—2("-1)=-2〃+5,

所以，2=%+4+i=—2〃+5—2(〃+1)+5二一4〃+8,

則％i_〃=T（〃+l）+8_（T〃+8）=Y,所以,數(shù)列出｝為等差數(shù)列,

因此,色=8"4）=4x(4—24)=—80.

故選：B

7.某校高一年級計劃舉辦足球比賽，采用抽簽的方式把全年級6個班分為甲、乙兩組，每

組3個班，則高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組的概率是（）

1111

A.—B.-C.—D.一

3456

【答案】C

【解析】

【分析】利用組合數(shù)的概念結(jié)合古典概型即可求解.

【詳解】由題意得，把全年級6個班分為甲、乙兩組共有C汜；=20種方法，

高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組共有C：C：=4種方法，

C1C31

所以高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲組的概率是念|==,

*35

故選:C.

8.設(shè)a、尸是兩個不同的平面，直線mua,則“對廠內(nèi)的任意直線/,都有mJU”

是”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用線面垂直的定義、面面垂直的判定定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可

得出結(jié)論.

【詳解】因為尸是兩個不同的平面，直線機ua,

若對夕內(nèi)的任意直線/,都有mJJ,根據(jù)線面垂直的定義可知小，，，

根ua,:.aL/3,

所以，“對月內(nèi)的任意直線/,都有冽，/"n；

若。，力，因為加U&,對月內(nèi)的任意直線/,加與/的位置關(guān)系不確定，

所以，“對力內(nèi)的任意直線/,都有田，/"?！癮工/3”.

因此，“對廠內(nèi)的任意直線/,都有機_L/”是“。”的充分而不必要條件.

故選：A.

兀

9.已知函數(shù)"x)=cos2x在區(qū)間t,t+~?eR)上的最大值為"⑺，則"⑺的最小

值為()

口

AV3RA/3r11

A.15.----C.-U.

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)在％=。取最大值，可判斷t,t+^(/eR)要么在"％)的單調(diào)減區(qū)間

上，要么滿足左端點到對稱軸j+H不小于右端點，即可得E</<三+E,進而可求M(?)

的最小值.

兀

【詳解】/(x)=cos2x的周期為兀，〃x)=cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間為kn,—+kn,

兀

ZeZ,單調(diào)遞減區(qū)間為—+kn,Tt+kn,keZ

JIJI

當％=/取最大值，故可知+—<Z—+kTt,Ti+kn,

ijr>jr>jr

當EV/vi+,Wg+E時，即左兀<%?W+防1,k￡Z,f(x)在'"+](%￡R)單調(diào)

遞減，顯然滿足最大值為〃(。，

當/<。<]+防1々+三時，要使"(/)是最大值，則需滿足

兀7、兀兀77,/兀7,

—Fkit—12—Ft——Fkit=>kit</<—Fkit,k￡Z

2J3UJ3

綜上可知當也＜/＜三+也"eZ時，/（%）在％=/取最大值”⑺,

A/（/）=2cos2,在E;4/＜§+E:,左eZ單調(diào)遞減，故當/=耳+射1時，取最小值,

且最小值為---,

2

故選：D

10.在實際生活中，常常要用到如圖1所示的“直角彎管它的制作方法如下：如圖2,用

一個與圓柱底面所成角為45的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可

以得至廣直角彎管在制作“直角彎管”時截得的截口是一個橢圓，若將圓柱被截開的一段

（如圖3）的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展開成平面圖形，則截口展開形成的圖形

恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象（如圖4）.記該正弦型函數(shù)的最小正周期為T,截口橢圓

的離心率為e.若圓柱的底面直徑為2,則（）

圖1

A.T=2TL,e——B.T=2兀，e=——

22

1J7

C.T=4TI,e=-D.T—4-TI,e-.....

22

【答案】B

【解析】

【分析】由條件求出橢圓的長半軸長。和短半軸長6,由此可求。力，再求離心率e,再求

圓柱側(cè)面展開圖的底邊邊長，由此可得正弦型函數(shù)的周期.

【詳解】設(shè)截口橢圓的長半軸長為。，短半軸長為力，半焦距長為

因為圓柱的底面直徑為2,所以2b=CD=2,故5=1,因為橢圓截面與底面的夾角為

45，所以NAO5=45，所以2Z?=03=OAcos45=2acos45，所以a=行，所以

,所以e=￡=[=也,

c=ay/22

觀察圖4知，正弦型函數(shù)的最小正周期T為圓柱的側(cè)面展開圖的底邊邊長，即圓柱的底面

圓的周長，所以丁=2兀義1=2兀.

故選：B.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.拋物線y2=2x的焦點坐標為.

【答案】6，0）.

【解析】

【詳解】試題分析：焦點在x軸的正半軸上，且p=l,利用焦點為（多0）,寫出焦點坐標.

解：拋物線y2=2x的焦點在x軸的正半軸上，且p=l,.?.]=尚，故焦點坐標為（2，0）,

故答案為《，0）.

考點：拋物線的簡單性質(zhì).

12.在1%—2]的展開式中，V的系數(shù)為.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用二項式定理得到的展開通項，從而求得/的系數(shù).

【詳解】因為1%—2]

的展開通項為（+1

令4—2左=2,得％=1,此時(=(—2)C%2=—2x4尤2=—8/,

所以爐的系數(shù)為—8.

故答案為：-8.

13.如圖，在正三棱柱A3C-4與￡中，尸是棱8四上一點，A3=AA=2,則三棱錐

P-ACQ的體積為.

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理確定三棱錐的高，再用椎體體積公式求解即可.

取AC中點為。，連接

因為一ABC為正三角形，所以08,AC,

又因為A4，平面ABC,06u平面ABC,

所以A&，。'

且A41cAe=4pAeu平面ACCiA,

所以08,平面ACGA，

OB=，不斤=6,即B到平面ACG4的距離為OB=下,

又因為BB[//44,BBX<z平面ACQA,A&u平面ACQA,,

所以34//平面ACGA，

又因為P是棱55]上一點，所以尸到平面ACQA的距離為OB=6,

所以Vp-ACG=§XSACC[XOB=j'

故答案為：2叵.

3

14.設(shè)。為原點，雙曲線。：好-上=1的右焦點為尸，點P在C的右支上.則C的漸近線

3

OPOF

方程是；同的取值范圍是.

【答案】①.y=+y[3x②.。,2]

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程與漸近線方程的關(guān)系可寫出雙曲線。的漸近線方程；求出

OPOF

<OP,O的取值范圍，可得出=2c°s<°P,OF>,結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)

OPOF

可求得,尸|的取值范圍.

【詳解】在雙曲線C中，a=l,b=6，.=，/+/=2,則/(2,0),

所以，雙曲線C漸近線方程為y=±?x=±JK,

a

直線丁=氐的傾斜角為;，由題意可知0?0夕,0尸><],則

—<cos<OP.OF><1,

2

CP°FII

所以,?,.=|OF|cos<OP,OF>=2cos<OP,<9F>e(l,2]

故答案為：y=±s/3x；(1,2].

15.己知函數(shù)〃力=￡—2x+2/,g(x)=eX—J給出下列四個結(jié)論:

①當r=0時，函數(shù)y=/(x)g(x)有最小值；

②于eR,使得函數(shù)y=/(x)g(x)在區(qū)間[L+8)上單調(diào)遞增；

③士eR,使得函數(shù)y=/(九)+g(x)沒有最小值；

④小eR,使得方程/(x)+g(x)=O有兩個根且兩根之和小于2.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系可判斷①③的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)

系可判斷②的正誤；取/=-1，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可判斷④的

正誤.

【詳解】對于①,當/=0時，y=/(%)g(%)=(%2-2%),則了式必―2)e*,

由9<0可得—0<工<及，由：/>0可得工<—0或工>行，

此時，函數(shù)y=(V—2力1的增區(qū)間為卜oo,一、歷卜(J5,+oo),減區(qū)間為卜"四)，

當x<0或x>2時，y=(x?—2尤)e*>0,當0<%<2時，y=(x?-2尤)e*<0,

故函數(shù)y=(%2—2%卜*在尤=6處取得最小值，①對；

對于②，/=(2x-2)(ex-r)+(x2-2x+2r)e^=(/—2)e*+2r(e*—x+l),

令/z(x)=e、—x+l,其中x21,則“(x)=e*—l>0,

所以，函數(shù)/i(x)在［l,+8)上單調(diào)遞增，所以，/z(x)=e'-x+l>/z(l)=e>0,

貝!Ix-ex<1-e<0>

由y'=(x?-2)e*+2r(e*-x+l)20可得2f?(，*,

ex-x+1

1--------其中

e*—x+1

2

x-4+f-2e-

x3-4x+4-2xe

e-x+1)-x+1)

4/

令q(x)=V—4+二—2e)其中貝可(x)=2(

所以，函數(shù)q(x)在［L+8)上單調(diào)遞減，

故當時,q(x)Wq(l)=l—2e<0,則p'(x)<0,即夕(x)在［1,+°°)上單調(diào)遞減,

1mx=P(1)=1，則2/21,解得②對;

對于③，y=/(x)+g(x)=x2-2x+e'+/,y'-2x-2+ex,

因為函數(shù)y'=2x-2+e'在R上單調(diào)遞增，

y'ko=T<。，y'ki=e>o,所以，存在七?0,1),使得V=o,

當x<Xo時，y<0,此時函數(shù)y=f—2x+e*+r單調(diào)遞減，

當X〉/時，/>0,此時函數(shù)y=/-2工+6"+/單調(diào)遞增，

所以，對任意的實數(shù)/,函數(shù)y=2x+e*+/有最小值，③錯;

對于④，=x2-2x+ev+t,不妨令a(0)=l+r=。，即取/=一1,

由③可知，函數(shù)〃(x)=*—2x+e*—1在(—,/)上單調(diào)遞減，在(/，+8)上單調(diào)遞增，

因為40?0,1),貝！|"40)<”0)=0,u(2)=e2-l>0,

所以，存在不?天,2),使得比(%)=0,

此時函數(shù)"(x)的零點之和為%+0=西<2,④對.

故答案為：①②④.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(￡)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線丁=。與

函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=sin3x+e)[0>O,[d<g].用五點法畫/(九)在區(qū)間-白,膏上的

圖象時，取點列表如下：

71兀5兀2兀11兀

X

~12~6nT~12

/(X)010-10

(1)直接寫出了(%)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）在ABC中，f（B）=^,b=243,a+c=6,求ABC的面積.

【答案】（1）f（x）=sin^2x+^；E-|?，航+《（左eZ）；

⑵2行

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“五點法”可得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得;

7[

（2）由題可得8=—,然后根據(jù)余弦定理及三角形面積公式即得.

3

【小問1詳解】

由題可知函數(shù)的最小正周期為兀，

所以。=&=2,

71

JIJI'）I

根據(jù)“五點法”可得2*7+0=7，即/=

626

所以/（x）=sin[2x+W1,

ITJTITTTTT

由2kli<2x+—<2kn+—,左GZ,可得fat<x<kn-\--,keZ,

26236

所以函數(shù)/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為也-孑配+￡（丘Z）；

【小問2詳解】

因為/（8）=sin123+e]=g,又3€（0,兀），23+￡€[個,等],

所以23+匹='，即8=2，

663

由余弦定理可得〃=片+，-2〃ccos3=（〃+c）2—2〃c-2〃ccos3,

所以（2A/5）=62—3ac,即QC=8,

所以s=-acsinB=-x8x—=2^.

ABC222

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，P￡>_L平面

ABCD,AD±DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD=1,M為棱PC的中點.

2一

（1）證明：//平面MD；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求二面角尸-B的余弦

值.

條件①：PB=6,條件②：BDLBC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

⑵一逅

6

【解析】

【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算求二面角的余弦值

即可.

則有MN//CD,MN=-CD,

2

又因為AB//CD,AB=工8,所以AB//腦V,AB=

2

所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以5M//AN,

又因為平面ANu平面QA。，

所以//平面PAD

【小問2詳解】

因為？D_L平面ABCD,AD,DCu平面ABCD,

所以PD，A￡>,，DC,且AD，DC,

所以以DA,DC,DP為蒼軸建系如圖，

若選擇①：PB=6因為PDJ_平面ABCD.BDU平面A5CD,

所以PD,6￡>,所以5。=萬萬=攻，則AB=萬斤=1，

所以CD=2,則D(0,0,0),5(1,1,0),P(0,0,l),C(0,2,0),M(0,l,1),

因為ZML平面PDC,所以ZM=(1,0,0)為平面PDM的一個法向量,

設(shè)平面DMB的法向量m=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,1),

DB-m=x+y=0

所以1,令尤=1,y=T,z=2,

DM-m=y+—z=0

2

所以加=(1,-1,2),

DA-m1y/6

設(shè)二面角尸——B為氏cos<DA,m>=

DAlImlA/66

因為由圖可知二面角尸一DAf—5為鈍角，所以cos，=一逅

6

若選擇②：BD±BC,設(shè)AB=a,則C￡)=2a,

BD=Ja?+1,BC=y/a2+1，

因為BDLBC,所以儲+1+1+1=442解得。=1,

則D(0,0,0),B(l,l,0),P(0,0,l),C(0,2,0),M(0,l,1),

因為ZM_L平面PDC,所以D4=(1,0,0)為平面PDM的一個法向量,

設(shè)平面DMB的法向量m=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,1),

DB-m=x+y=0

所以1,令％=1,y=—1,z=2,

DM-m=y+—z=0

2

所以加=(1,一1,2),

DA-m1A/6

設(shè)二面角尸—DM—B為。，cos<DA,m>=

|DA||m|y/66，

因為由圖可知二面角尸—ZW—B為鈍角，所以cos，=—』5

6

18.4地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1）,考慮

到受市場影響，預測該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價格情況如表1（該預測價格與畝產(chǎn)量互

不影響）.

明年冬小麥統(tǒng)一收購價格（單位：元/kg）2.43

概率0.40.6

表1

假設(shè)圖1中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.

（1）試估計H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為1500元的概率；

（2）設(shè)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為X元，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）H地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進行某項技術(shù)改良，則可使每

畝冬小麥產(chǎn)量平均增加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣

該項技術(shù)改良？并說明理由.

【答案】（1）0.15

（2）分布列答案見解析，E（X）=1242

（3）建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，理由見解析

【解析】

【分析】（1）計算出畝產(chǎn)量是500kg的概率，結(jié)合表1以及獨立事件的概率乘法公式可求得

所求事件的概率；

（2）分析可知隨機變量X的可能取值有960、1080>1200、1350、1500,計算出隨機

變量X在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，進而可求得E（X）的值；

（3）設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為Jkg,增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為〃kg,則〃=J+50,

設(shè)增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為F元，計算出增產(chǎn)的50kg會產(chǎn)生增加的收益，與125比

較大小后可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：由圖可知，畝產(chǎn)量是400kg的概率約為0.005x50=0.25,

畝產(chǎn)量是450kg的概率約為0.01x50=0.5，畝產(chǎn)量是500kg的概率約為

0.005x50=0.25,

估計H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為1500元的概率為0.25x0.6=0.15

【小問2詳解】

解：由題意可知，隨機變量X的可能取值有：960、1080>1200、1350>1500,

尸（X=960）=0.25x0.4=0.1,P（X=1080）=0.5x0.4=0.2,

P（X=1200）=0.25x0.4+0.25x0.6=0.25,

P（X=1350）=0.5x0.6=0.3,P（X=1500）=0.25x0.6=0.15,

所以，隨機變量X的分布列如下表所示：

X9601080120013501500

P0.10.20.250.30.15

E（X）=960x0.1+1080x0.2+1200x0.25+1350x0.3+1500x0.15=1242.

【小問3詳解】

解：建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，

設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為Jkg,增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為77kg,則〃=J+50,

設(shè)增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為y元，分析可知

E（Y）=E（X）+50x（2.4x0.4+3x0.6）,

所以，增產(chǎn)的50kg會產(chǎn)生增加的收益為50x（2.4x0.4+3*0.6）=138>125,

故建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良.

19.己知函數(shù)/（x）=xln（x+l）.

（1）判斷0是否為了（力的極小值點，并說明理由；

（2）證明：

x22+

【答案】（1）。是“尤）的極小值點，理由見解析

（2）證明過程見解析

【解析】

【分析】⑴求/（x）=xln（x+l）的定義域，求導，得到/'（0）=0,且1,0）時,

（（%）<0,xe（0,4w）時，>0,故。是的極小值點；

(2)對不等式變形得到IM**1)+/-x>0,令g(x)=ln(x+1)+g/一x(x>—1),

求導，得到其單調(diào)性，從而得到g(x)正負，故史上工土^>0恒成立，結(jié)論得證.

【小問1詳解】

。是/(X)極小值點，理由如下：

/(x)=.rln(x+l)定義域為(-l,+oo),

To

r(x)=ln(x+l)+-^,其中r(o)=inl+有=0,

當xe(—1,0)時，ln(x+l)<0,上<0,故/''(x)=ln(x+l)+上<0,

X+1X+1

當X￡(0,+oo)時，ln(x+l)>0,—^>0,故/'(x)=ln(x+l)+—^>0,

故/(x)=xln(x+1)在xe(-1,0)上單調(diào)遞減,在％e(0,-+W)上單調(diào)遞增,

故0是/(尤)的極小值點；

【小問2詳解】

f(x}1..xln(x+1)1

一孚〉——九+1等價/A于---\——->——九+1,

%22%22

In(%+1)H—X?—x

R即n」_」—>o>

X

令g(x)=ln(x+l)+gx2-%(%>-1),

1尤2

貝Ug'(x)=——+x-l=——(X〉—1)，

JX+lX+V)

當x>—1時，g'(x)?0,所以g(x)在X>—1上單調(diào)遞增，

又g(o)=o,

故當X>。時，g(x)>g(o)=o,當一1<%<0時，g(x)<g(o)=o,

則ln(x+l)+2--x>°恒成立，

X

故以3一"

%22

22

20.己知橢圓E：二+二=1過點尸（—2,1）和Q（20,0）.

a2b2

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點G（0,2）作直線/交橢圓E于不同的兩點A,3,直線己4交》軸于點直線

PB交y軸于點N.^\GM\-\GN\^2,求直線/的方程.

22

【答案】（1）上+2L=i

82

⑵y=x+2或％=0

【解析】

【分析】⑴兩個點P（-2,1）,Q（20,O）代入解方程即可.

（2）斜率不存在單獨算出|GMHGN|=2是否成立；斜率存在時把/設(shè)出來與橢圓聯(lián)立，韋達

定理求出兩根之和與兩根之積用斜率左來表示，然后|G“HGN|用兩個根表示，化簡求值即

可.

【小問1詳解】

41?

-----1----=1,

將點P（—2,1）,0倒0,0）坐標代入橢圓E的方程，得，b。解得/=822=2,所

以橢圓E的方程為：—+^=1

82

【小問2詳解】

若直線/的斜率不存在，即直線/為x=0時，A和加重合，8和N點重合，分別為橢圓

的上下頂點（0,3）（0,-夜），此時|GMJGN|=（2—四）x（2+應）=2,符合題意.

若直線/斜率存在，設(shè)直線A3的方程為y=Ax+2,55,%）（王力―2且

y=kx+2

2）,聯(lián)立方程<犬2,2得，（4左2+1）公+16AX+8=0,

[82

A=（164『—32（4左2+1）=32（442—1）>0,.?.左2>；,即左〉g或左<一；

-16k8,M—2

…=0…2=川2三所以直線出的方程為

（2（%）

（x+2）+l,取1=0得〃0,同理可得M0,-^~^+1

v%+2,、尤2+2,

2（%-1）+]_2=