關(guān)于空間向量法解決立體幾何證明復(fù)習(xí):2.向量的夾角:OAB向量的夾角記作:1.空間向量的數(shù)量積:第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天4.向量的模長:3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天5.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對使第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天空間四點P、M、A、B共面實數(shù)對推論:第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天一.引入兩個重要的空間向量

1.直線的方向向量把與直線平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天2.平面的法向量與平面α垂直的向量叫做平面α的法向量.αn第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由

=（-1，-1，2），=（-1，1，2）第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點，求平面EDB的一個法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ml一.平行關(guān)系：第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天α第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天αβ第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天二、垂直關(guān)系：lm第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天lABC第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天αβ第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG

證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDPEXYZ解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點分別在對角線上，且求證：ABCEFDMN第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點分別在對角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點分別在對角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí)棱長為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動點，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy

解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ

證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ

證2：第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天,E是AA1中點，

例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個法向量是平面C1BD.

平面EBD第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天

證明2：E,E是AA1中點，

例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD第31頁,共34頁，2024年2月25日，星期天ABCDPXYZG第32頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例4棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1